結(jié)構(gòu)力學(xué)教程-第15章 結(jié)構(gòu)的動力計算

Dynamiccalculationofstructures第15章結(jié)構(gòu)的動力計算第15章結(jié)構(gòu)的動力計算教學(xué)目標(biāo)了解動力計算自由度的判斷，有阻尼振動和無阻尼振動的區(qū)別與聯(lián)系。

掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理及方法。

熟練掌握兩個自由度體系自由振動時的動力特性（自振頻率、主振型）的計算。理解自由度體系在發(fā)生受迫振動時微分方程的建立方法以及和自由振動時的區(qū)別與聯(lián)系。教學(xué)內(nèi)容15.1動力計算概述15.2單自由度體系的自由振動15.3單自由度體系的受迫振動15.4兩個自由度體系的自由振動15.5兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動第15章結(jié)構(gòu)的動力計算知識點

動力計算概述單自由度體系自由振動微分方程的建立單自由度體系自由振動計算實例阻尼對自由振動的影響單自由度體系受迫振動微分方程的建立一般荷載下的強迫振動阻尼對受迫振動的影響兩個自由度體系自由振動微分方程的建立—剛度法剛度法求解兩個自由度體系自由振動n個自由度體系自由振動——剛度法兩個自由度體系自由振動微分方程的建立—撓度法撓度法求解兩個自由度體系自由振動主振型的正交性和主振型矩陣

兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動—剛度法兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動—撓度法15.1動力計算概述知識點動荷載的特點是荷載隨時間而變化動荷載區(qū)別于靜荷載的關(guān)鍵性特征是，由于荷載變化所引起的動力響應(yīng)不可忽略，即慣性力(InertiaForce)影響不可忽略。（1）動力計算與結(jié)構(gòu)靜力計算相似，動力計算的任務(wù)主要是研究結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的各種反應(yīng)，如變形、內(nèi)力等，為結(jié)構(gòu)設(shè)計提供依據(jù)。由于在動力荷載作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的特征性質(zhì)，動力計算將涉及結(jié)構(gòu)的一系列動力特征如頻率、周期、振型等的研究與計算。動力計算的目的（1）動力計算動力計算的基本方法是以達伯原理(D’Alembert’sPrinciple)為理論依據(jù)的“動靜法”，即在結(jié)構(gòu)上施加“慣性力”，并將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題來求解。

因此，動力計算的基本方法是以靜力分析方法為基礎(chǔ)的。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)是學(xué)好動力學(xué)的重要前提。動力計算主要方法（1）動力計算（2）學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的重要意義結(jié)構(gòu)動力設(shè)計計算的基礎(chǔ)知識動力荷載作用下結(jié)構(gòu)設(shè)計，城市建設(shè)環(huán)境評價（如軌道交通環(huán)境評價）等等。工程防災(zāi)(抗風(fēng)抗震)的重要先修內(nèi)容地震破壞塔科馬大橋風(fēng)振破壞周期荷載簡諧荷載—機械振動（3）動荷載類型非簡諧3.動荷載類型周期荷載在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。如爆炸荷載等沖擊荷載3.動荷載類型隨機荷載：地震、風(fēng)唐山地震北京飯店測點（南北向部分）19767.2803:42單位:cm/s2

時間間隔0.01s3.動荷載類型（4）動力自由度確定運動過程中任一時刻全部質(zhì)量的位置所需要確定的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目。⑴集中質(zhì)量法n=2n=2為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。n=1n=3n=∞mn=1n=24.動力自由度不計軸向變形n=1n=2n=1n=24.動力自由度平面上的一個剛體自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無限多的體系為無限自由度體系。4.動力自由度(2)廣義坐標(biāo)法y(x,t)x無限自由度體系變形曲線可用三角級數(shù)表示：形狀函數(shù)廣義坐標(biāo)x

yxy(x,t)（3）有限元法FiniteElementMethod12348自由度15.2單自由度體系的自由振動知識點Thedifferentialequationoffreevibrationofasingledegreeoffreedomsystem知識點15.2-1單自由度體系自由振動微分方程的建立kyykym脫離體受力分析：彈性力—ky,與位移y的方向相反慣性力—與加速度的方向相反理論力學(xué)知識的回顧（1）自由振動微分方程kyykymmyky懸臂柱－質(zhì)量體系的自由振動ky剛度系數(shù)k

由結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解

1.自由振動微分方程my剛度法k對質(zhì)點進行受力分析，利用平衡條件ky建立振動微分方程的

2種思路懸臂柱－質(zhì)量體系的自由振動柔度法δmy（）對體系進行受力分析，質(zhì)點位移對單自由度體系

1.自由振動微分方程自由振動微分方程確定了體系自由振動時的運動規(guī)律自由振動微分方程：令這是一個齊次方程，其通解為（2）自由振動微分方程的解C1和C2

可由初始條件確定，設(shè)初始位移和初始速度分別為

2.自由振動微分方程的解y0ty

-y

TTTyt0yt0

A-A

2.自由振動微分方程的解T自振周期yt0Tω圓頻率或角頻率，或簡稱頻率思考外界干擾（初始速度、初始位移）對周期、頻率等有影響嗎？（3）結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例1

求圖示體系的頻率及自振周期。柔度系數(shù)：mll/2ll/21[分析]解：

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率單自由度體系自由振動微分方程自由振動微分方程的解小結(jié)Thedifferentialequationoffreevibrationofasingledegreeoffreedomsystem知識點15.2-2單自由度體系自由振動計算實例

求圖示懸臂桿的自振頻率。（桿件截面積A，慣性矩I，彈性模量E，自身質(zhì)量不計，桿頂重物重量為W）Wl1解：Wl1

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例2mABChl求圖示結(jié)構(gòu)自振頻率。（EI為常數(shù)，桿件自身質(zhì)量不計）[分析]圖乘法求位移1hh[討論]

當(dāng)AB剛度改變?yōu)闊o窮大，或BC改變?yōu)闊o窮大，或均不改變，試比較3者頻率大小。

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例3

IIEI1=

mhk計算圖示剛架的頻率和周期。

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例4計算結(jié)構(gòu)水平振動和豎直振動時的自振頻率，忽略自重。柔度法δ水平振動

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例5剛度法k

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率豎向振動柔度法δ

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率豎向振動剛度法k

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率SDOF的自振頻率采用柔度法和剛度法進行計算。一般來說，當(dāng)結(jié)構(gòu)為靜定，或超靜定次數(shù)較低，便于計算柔度系數(shù)時，采用柔度法；當(dāng)超靜定次數(shù)較高，便于計算剛度系數(shù)時，則剛度法較為方便。如結(jié)構(gòu)具有對稱性，可利用對稱性進行簡化計算。

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

yWk如果在總位移y中，引入由重量W引起的靜位移yst以及由動荷載引起的位移之和來表示：以靜力平衡位置作為基準(zhǔn)點拓展——重力的影響例：圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2m結(jié)構(gòu)約束越強，其剛度越大，自振動頻率也越大。據(jù)此可得：

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

拓展——定性分析

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

例：求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。lEImk1k11k11k拓展——復(fù)雜問題加速度：在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。幅值產(chǎn)生于時，其值分別為：由于在運動的任一瞬時質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣，于是可在幅值處建立運動方程，此時方程中將不含時間t，結(jié)果把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程了，使計算得以簡化。慣性力：

3.結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

拓展——振動特性例：計算圖示體系的自振頻率。ABCDEI=

l/2

l/2lkBCk..A1..A2解：單自由度體系，以表示位移參數(shù)的幅值,各質(zhì)點上所受的力為：化簡后得

自由振動微分方程剛度法k柔度法δ自由振動微分方程的解結(jié)構(gòu)的自振頻率小結(jié)知識點15.2-3阻尼對自由振動的影響阻尼力對質(zhì)點運動起阻礙作用。從方向上看，它總是與質(zhì)點的速度方向相反。從數(shù)值上看，根據(jù)阻尼類別的不同，與質(zhì)點速度的關(guān)系也各不相同：(1)阻尼力與質(zhì)點速度成正比，稱為粘滯阻尼力。(2)阻尼力與質(zhì)點速度的平方成正比，固體在流體中運動到的阻力屬于這一類。(3)阻尼力的大小與質(zhì)點速度無關(guān)，摩擦力屬于這一類。（1）阻尼的概念與分類yykmky有阻尼(粘滯阻尼)自由振動微分方程：FP（t）有阻尼強迫振動微分方程：FP（t）令（2）有阻尼的自由振動設(shè)微分方程的解為如下形式：則λ由下列特征方程所確定：

2.有阻尼的自由振動(1)考慮ξ<1的情況(低阻尼情況)初始條件ae-ξωtty低阻尼y(t)曲線位移曲線顯示為一條逐漸衰減的波動曲線

2.有阻尼的自由振動阻尼對振幅的影響：振幅為由于阻尼的影響，振幅隨時間而逐漸衰減。經(jīng)過一個周期T

后ξ值愈大，則衰減速度愈快ykyk+1Ttkae-ξωtty

當(dāng)ξ<0.2，則ωr/ω≈1，則振幅的對數(shù)遞減率

2.有阻尼的自由振動阻尼對自振頻率的影響：ωr是低阻尼體系的自振頻率在ξ<1的低阻尼情況下，ωr恒小于ω，而且隨ξ值的增大而減小。通常ξ是一個小數(shù)。如果ξ<0.2，則0.96<ωr/ω<1，即ωr與ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的情況下，阻尼對自振頻率的影響可以忽略。

2.有阻尼的自由振動EI=∞m例：圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計為m，加一水平力9.8kN，測得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。在測得周期T=1.5s及一個周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。9.8kN=wxk2=wxmc2

2.有阻尼的自由振動橋梁結(jié)構(gòu)的跳車試驗：在橋跨結(jié)構(gòu)跨中橋面設(shè)置高度10cm的三角形墊木，使30t汽車后軸置于其上，然后突然下落，測定橋梁結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的強迫振動響應(yīng)（阻尼比）。

2.有阻尼的自由振動當(dāng)阻尼增大到ξ=1時，曲線具有衰減，但不具波動，這時的阻尼常數(shù)為臨界阻尼常數(shù)，用Cr表示。(2)考慮ξ=1的情況:λ=－ωy=(C1+C2t)e-ωt

y=[y0(1+ωt)+υ0t]e-ωttyy0θ0(3)ξ>1，體系在自由反應(yīng)中仍不引起振動。初始條件

2.有阻尼的自由振動15.3單自由度體系的受迫振動知識點知識點15.3-1單自由度體系受迫振動微分方程的建立kykyymFP(t)FP(t)強迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動。（1）強迫振動微分方程簡諧荷載：設(shè)其特解為：求得：令：得特解：（2）簡諧荷載下強迫振動微分方程的解則其一般解為：齊次解自由振動部分特解強迫振動部分平穩(wěn)階段：

2.簡諧荷載下強迫振動微分方程的解平穩(wěn)階段：其最大振幅為：最大振幅與最大靜位移之比稱動力系數(shù)：即有：（3）簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)動力系數(shù)的討論：123123它是頻率比值/ω的函數(shù)。特性：時，，作靜荷載處理時，隨頻率比的增大而增大時，的絕對值隨頻率比的增大而減小時，，共振

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)例：一無重簡支梁，在跨中有重W＝20kN的電機，電機偏心所產(chǎn)生的干擾力P(t)＝10sinθt，電機每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)n=500r/min，梁EI＝1.008×104kN.m2。求梁的最大位移和彎矩。2m2mP(t)＝10sinθtW[分析]

為了求最大位移和彎矩，只需求動力系數(shù)。

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)計算示例2m2mP(t)＝10sinθtW⑴自振頻率⑵荷載頻率⑶動力系數(shù)

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)計算示例2m2mP(t)＝10sinθtW⑷最大位移與最大彎矩

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)計算示例例：已知m=300kg，EI=90×105N·m2

,k=48EI/l3

，F(xiàn)P=20kN,θ=80s-1

求梁中點的位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkFPsinθt2m

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)拓展——支座為彈簧r1P為單位力FP(t)＝1作用(y＝0)，質(zhì)點m上沿運動方向所需的力。

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)拓展——動荷載不在質(zhì)點上荷載FP＝1作用時，沿質(zhì)量運動方向產(chǎn)生的位移

3.簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)拓展—動荷載不在質(zhì)點上知識點15.3-2一般荷載下的強迫振動預(yù)備知識：設(shè)體系在初始時刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，有瞬時沖量S作用。初速度：代入初位移：y＝0tFP(t)P思路：將荷載作用看成是由一系列瞬時沖量的疊加，求出每個沖量引起的位移后，疊加即為動荷載引起的位移。FP(t)tt體系在任意荷載下的強迫振動：設(shè)體系在初始時刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，在t=τ時有瞬時沖量S作用由疊加原理得靜止開始一般荷載作用下強迫振動位移為：杜哈梅(Duhamel)積分具有初始速度和位移一般荷載作用下強迫振動位移為：FP(t)ttDuhamel積分可以求解簡諧荷載作用下的動位移嗎？思考當(dāng)t>0時：FP0作用下所產(chǎn)生的靜位移：FP(t)t0FP00動力系數(shù)：2yst（1）突加荷載tFP(t)0FP0階段ⅰ(0≤t≤u)：荷載情況與突加荷載相同y(t)=yst(1-cosωt)

u階段ⅱ(t≥u)：為自由振動。以階段i終了時刻(t=u)的位移和速度為起始位移和起始速度：（2）短時突加荷載階段ⅱ(t≥u)：β1/611/22動力系數(shù)的大小與荷載持續(xù)時間長短有關(guān)（設(shè)系統(tǒng)自振周期為T）：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0β通過杜哈梅積分：tFP(t)0FP0tr動力系數(shù)介乎1與2之間。如果升載時間很短，例如tr<T/4，則動力系數(shù)β接近于2.0，即相當(dāng)于突加荷載的情況。如升載時間很長，如tr>4T，則β接近于1.0，相當(dāng)于靜荷載情況。（3）線性漸增荷載知識點15.3-3阻尼對受迫振動的影響回顧：無阻尼、一般荷載下的強迫振動：FP(t)t＋積分回顧：有阻尼自由振動：FP(t)t0FP0低阻尼y(t)曲線y(t)ωt0π2π3π4π5πyst（1）突加荷載平穩(wěn)階段。任一時刻的動力位移可改用下式來表示：

動力系數(shù)特解齊次解（2）簡諧荷載ξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.02.03.04.03.02.01.001.0βθ/ω5.0隨著阻尼比ξ值的增大(0≤ξ≤1的范圍內(nèi))，由由陡變緩。在θ/ω=1的共振情況下，動力系數(shù)忽略阻尼的影響，則得出無阻尼體系共振時動力系數(shù)趨于無窮大的結(jié)論。因此，為了研究共振時的動力反應(yīng)，阻尼的影響是不容忽略的。在阻尼體系中，θ/ω=1共振時的動力系數(shù)并不等于最大的動力系數(shù)βmax，但二者的數(shù)值比較接近。由上式可見，阻尼體系的位移比荷載滯后一個相位角α

相位角的討論15.4兩個自由度體系的自由振動知識點單自由度振動方程回顧：無阻尼有阻尼自振頻率動力系數(shù)Differentialequationoffreevibrationoftwodegreesoffreedomsystem--themethodofstiffness知識點15.4-1兩個自由度體系自由振動微分方程的建立——剛度法121121（1）振動方程12（2）振動方程的解在振動過程中，兩個質(zhì)點具有相同的頻率ω和相同的相位角α在振動過程中，兩個質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者的比值始終保持不變，即：結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型或振型(NormalModeshape

)兩個自由度的體系有兩個自振頻率；最小的圓頻率，稱為第一頻率或基本頻率ω1；另一個頻率稱為第二頻率ω2。頻率方程（特征方程）FrequencyEquation振幅方程AmplitudeEquation第二振型代表質(zhì)點的振幅代表振動的頻率第一振型或基本振型第一主振型基本頻率ω1

第二主振型基本頻率ω2

在一般情形下，兩個自由度體系的自由振動可看作是兩種頻率及其主振型的組合振動。由初始條件來確定。兩個自由度體系自由振動微分方程——剛度法小結(jié)頻率方程（特征方程）第二振型第一振型或基本振型兩層剛架，其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、二層的質(zhì)量分別為m1、m2。底層柱線剛度和層高分別為i1,h1；頂層柱線剛度和層高分別為i2,h2。求剛度系數(shù)kij。

思考：知識點15.4-2剛度法求解兩個自由度體系自由振動例：圖示兩層剛架，其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間側(cè)移剛度（層間產(chǎn)生單位相對側(cè)移時所需施加的力）分別為k1、k2。

求剛架水平振動時的自振頻率和主振型。11（1）求剛度系數(shù)小大（2）求自振頻率第一主振型第二主振型第一主振型第二主振型（3）求主振型第一主振型第二主振型討論：鞭梢效應(yīng)知識點15.4-3n個自由度體系自由振動——剛度法n個自由度體系拓展：振動方程設(shè)解答為如下形式：方程的解：全部自振頻率按照由小到大的順序排列主振型：知識點15.4-4兩個自由度體系自由振動微分方程的建立——撓度法111212振幅方程振動方程頻率方程第一主振型第二主振型知識點15.4-5撓度法求解兩個自由度體系自由振動例：求等截面簡支梁的自振頻率和主振型，EI為常數(shù)。12（1）求撓度系數(shù)11（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型第二主振型111-1例：求等截面柱的自振頻率和主振型，EI為常數(shù)。課程練習(xí)：多自由度體系在什么情況下只按某個特定的主振型振動？思考例：求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。質(zhì)量m，分布質(zhì)量不計，EI=常數(shù)，l=4m。12（1）求撓度系數(shù)拓展：（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型第二主振型1-111

2.撓度法對稱性symmetry結(jié)構(gòu)的對稱、質(zhì)量分布的對稱第一主振型第二主振型第三主振型第四主振型正對稱反對稱n個自由度體系拓展：振幅方程頻率方程知識點15.4-6主振型的正交性和主振型矩陣OrthogonalityRelationshipNormalModeShapeMatrix（1）正交性第一正交關(guān)系：與質(zhì)量有關(guān)。第一主振型第二主振型n個自由度體系：第一正交關(guān)系相對于質(zhì)量矩陣來說，不同頻率相應(yīng)的主振型是彼此正交的第二正交關(guān)系相對于剛度矩陣來說，不同頻率相應(yīng)的主振型是彼此正交的

GeneralizedMass廣義質(zhì)量GeneralizedStiffness廣義剛度

利用正交關(guān)系來判斷主振型的形狀特點，或用以檢驗所求振型的正確性。利用正交關(guān)系來確定位移展開公式中的系數(shù)。

振型分解法（2）主振型正交性的應(yīng)用例：驗算例10-5中所求得的主振型是否滿足正交關(guān)系，并求出每個主振型相應(yīng)的廣義質(zhì)量和廣義剛度。FirstModeShapeThirdModeShapeSecondModeShape驗證：1.正交關(guān)系k≠lK=l2.廣義質(zhì)量和剛度求：3.頻率利用正交關(guān)系來確定位移展開公式中的系數(shù)

振型疊加法15.5兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動知識點知識點15.5-1兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動——剛度法回顧：自由振動、剛度法y1y212m2m1m1r1m2r2r1r22自由度體系自由振動微分方程FP2(t)FP1(t)r1則在平穩(wěn)振動階段，各質(zhì)點也作簡諧振動：y1y212m2m1r2m1m2r1r2剛度法可解得位移的幅值為

若θ與ω1或ω2重合，則：D0=0，當(dāng)D1、D2不全為零時，位移幅值即為無限大，出現(xiàn)共振Resonance現(xiàn)象。

例10-9：剛架在底層橫梁上作用簡諧荷載FP1(t)=FPsinθt，試畫出第一、二層橫梁的振幅Y1、Y2與荷載頻率θ之間的關(guān)系曲線。設(shè)m1=m2=m，

k1=k2=k。解：FP1=FP，F(xiàn)P2=0

k11=k1+k2，k12=k21=－k2，k22=k2（1）剛度系數(shù)：（2）荷載幅值：（3）自振頻率：（4）位移幅值：m1=m2=m，k1=k2=k

D0=0,當(dāng)D1D2不全為0時，發(fā)生共振討論共振現(xiàn)象3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.