高等數(shù)學-緒論

01為何要學習高等數(shù)學名人聲音要辯證而又唯物地了解自然，就必須掌握數(shù)學。弗里德里希·恩格斯數(shù)學是打開科學大門的鑰匙弗朗西斯·培根數(shù)學是科學的皇后，她常常屈尊去為天文學和其它自然科學效勞，但在所有的關(guān)系中，她都堪稱第一約翰·卡爾·弗里德里·高斯一種科學，只有當它成功地運用數(shù)學時，才能達到真正完善的地步卡爾·馬克思1.1高等數(shù)學的基礎性和工具性高數(shù)數(shù)學是所有高等院校經(jīng)濟類、理工類專業(yè)學生的一門重要的必修課，甚至一些文科類專業(yè)也把高等數(shù)學作為選修課。課程都是安排在大學的第一年，也就是說踏進大學的校門，首先必須要學習的就是高等數(shù)學這門課程。從這個角度就可以一定程度上反映出來高等數(shù)學的重要性。首先給大家列舉這樣一個事實第一，高等數(shù)學是后續(xù)數(shù)學課程的基礎，對所有理工類、經(jīng)

濟類的學生來說，大一學完高等數(shù)學，后面還要學習線

性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計，而高數(shù)是這兩門課的基礎。第二，高數(shù)也是其他學科的基礎和工具。大學期間后續(xù)還要

學習很多的專業(yè)課程，這些都需要扎實的數(shù)學基礎，如

果高數(shù)學不好，那么會直接影響這些后續(xù)課程的學習。這主要體現(xiàn)在它的基礎性和工具性。1.1高等數(shù)學的基礎性和工具性數(shù)學主要是研究現(xiàn)實世界中的“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”。世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。凡是研究量的大小、量的變化、量與量之間關(guān)系以及這些關(guān)系的變化，就少不了數(shù)學。同樣，客觀世界存在有各種不同的空間形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，……無處不用數(shù)學。數(shù)學不但研究空間形式與數(shù)量關(guān)系，還研究現(xiàn)實世界中的任何形式和關(guān)系，只要這種形式和關(guān)系能抽象出來，用清晰準確的方式表達，即所謂化為數(shù)學模型。1.1高等數(shù)學的基礎性和工具性高數(shù)（或者說數(shù)學）的主要特點：追求精確、邏輯嚴密、高度抽象，通過高數(shù)的學習可以培養(yǎng)我們的理性思維、邏輯思維以及抽象思維等等。這里給大家舉幾個例子，給大家展示一下用數(shù)學的思維去看我們?nèi)粘Ｉ钪械囊恍﹩栴}。當你把學校給你的所有東西都忘記以后剩下的就是教育而我們恰恰是運用剩下的東西去思考，去戰(zhàn)勝困難，去創(chuàng)造我們的幸福。知識忘記了，能力沉淀下來：灌輸?shù)耐浟耍盏某恋硐聛怼?.2高等數(shù)學的思維訓練和數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)功能1）先有雞？先有雞蛋？對這樣的問題，數(shù)學的思維是先問一問什么是雞，什么是雞蛋，它們之間有什么聯(lián)系。只要概念清楚了，問題自然迎刃而解。這里我們從雞蛋入手，什么是雞蛋呢？雞蛋的概念必須與雞有關(guān)，否則問題就沒有意義。根據(jù)常識，我們可以提供兩個可能的定義：（1）雞生的蛋才叫雞蛋；（2）能孵出雞的蛋和雞生的蛋都叫雞蛋。1.2高等數(shù)學的思維訓練和數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)功能如果選擇定義（1），自然是先有雞，第一只雞是從某種蛋里出來的，只是這種蛋不是雞生的，按定義，不叫雞蛋。

如果選擇定義（2），一定是先有蛋。孵出了第一只雞的蛋，按定義是雞蛋，可它并不是雞生的。

從這個問題中可以得出，沒有理性思維、邏輯思維，很多問題都容易陷入怪圈。拿這種看似高深難纏的哲學問題來折磨自己，其實就是庸人自擾，根源在于沒有數(shù)學思維。1.2高等數(shù)學的思維訓練和數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)功能2）熊的顏色有一只小熊從地點P出發(fā)，先向正南方走1英里，又向正東走了1英里，繼而左轉(zhuǎn)向正北走了1英里，此時這只小熊又回到了地點P，問此熊是什么顏色的？1.2高等數(shù)學的思維訓練和數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)功能轉(zhuǎn)專業(yè)的需要，本校理工科轉(zhuǎn)專業(yè)唯一考試科目參加江蘇省高等數(shù)學競賽，我校的成績在全省同類高校名列前茅參加全國大學生數(shù)學建模競賽，我校組隊參賽多次獲得全國一等獎

為了考研考出更好的成績考研數(shù)學包含高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其中

數(shù)學一和數(shù)學三高等數(shù)學約占56%，

數(shù)學二高等數(shù)學約占78%，

因此想考研必須學好高等數(shù)學1.3高等數(shù)學學習的現(xiàn)實意義全國大學生數(shù)學建模競賽（CUMCM）近年題目年份A題B題C題D題2009制動器試驗臺的控制方法分析眼科病床的合理安排衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控會議籌備2010儲油罐的變位識別與罐容表標定2010年上海世博會影響力的定量評估輸油管的布置對學生宿舍設計方案的評價2011城市表層土壤重金屬污染分析交巡警服務平臺的設置與調(diào)度企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革天然腸衣搭配問題2012葡萄酒的評價太陽能小屋的設計腦卒中發(fā)病環(huán)境因素分析及干預機器人避障問題2013車道被占用對城市道路通行能力的影響碎紙片的拼接復原古塔的變形公共自行車服務系統(tǒng)2014嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略創(chuàng)意平板折疊桌生豬養(yǎng)殖場的經(jīng)營管理儲藥柜的設計2015太陽影子定位“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置月上柳梢頭眾籌筑屋規(guī)劃方案設計2016系泊系統(tǒng)的設計小區(qū)開放對道路通行的影響電池剩余放電時間預測風電場運行狀況分析及優(yōu)化2017CT系統(tǒng)參數(shù)標定及成像“拍照賺錢”的任務定價顏色與物質(zhì)濃度辨識巡檢線路的排班2018高溫作業(yè)專業(yè)服裝設計智能RGV的動態(tài)調(diào)度策略大型百貨商場會員畫像描繪汽車總裝線的配置問題02高等數(shù)學的學習內(nèi)容2.1數(shù)學的發(fā)展歷程初等數(shù)學時期（公元前3世紀—公元17世紀），又稱為常量數(shù)學時期。主要研究的對象是常量或者均勻變化的問題。例如：勻速運動問題（速度不變），勻加速運動問題（加速度不變，速度均勻變化），直邊圖形（不彎曲），圓弧邊圖形（均勻彎曲），有限次四則運算等。形成兩大分支：幾何學和代數(shù)學。

高等數(shù)學（近代數(shù)學）時期（1637年—19世紀末），核心內(nèi)容為微積分。主要研究對象是變量或者非均勻變化的問題。2.1數(shù)學的發(fā)展歷程微積分學，或者數(shù)學分析，是人類思維的偉大成果之一。它處于自然科學和人文科學之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具，……——理查·柯朗2.1數(shù)學的發(fā)展歷程現(xiàn)代數(shù)學階段（1874年至今），主要內(nèi)容有集合論、抽象代數(shù)、拓撲學、泛函分析等等。

在今天的數(shù)學中，“數(shù)”和“形”的概念已發(fā)展到很高的境地。比如，非數(shù)之“數(shù)”的眾多代數(shù)結(jié)構(gòu)，像群、環(huán)、域等；無形之形的一些抽象空間，像非歐幾里得空間、線性空間、拓撲空間、流形等。

微積分對于許多工程技術(shù)的重要性就像望遠鏡之于天文學，顯微鏡之于生物學一樣。微積分是學好其它理工課程（如大學物理、理論力學、材料力學、電工基礎等）的基礎，也是學好專業(yè)課（如量子力學、流體力學、自動控制等）的工具。2.1數(shù)學的發(fā)展歷程只有微積分學才能使自然科學有可能用數(shù)學來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程、運動?！ダ锏吕锵！ざ鞲袼古c微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的科學技術(shù)問題從數(shù)學角度歸納起來有：1.已知變速運動的路程，求瞬時速度和加速度；2.求已知曲線的切線；3.求給定函數(shù)的最大值與最小值；4.求給定曲線長度；求平面曲線圍成的面積；求已知曲面圍成

的體積；求物體的重心；已知變速運動物體的速度、加速度，

求物體運動的路程與時間的關(guān)系等。2.1數(shù)學的發(fā)展歷程高等數(shù)學課程主要包括微積分、空間解析幾何和常微分方程，其中微積分占得的比重是最大的。恩格斯在《自然辯證法》中指出:“在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀下半葉微積分學的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”2.2高等數(shù)學的主要內(nèi)容1.

分析基礎:函數(shù),極限,連續(xù)

2.

微積分學:一元微積分(上冊)(下冊)3.

向量代數(shù)與空間解析幾何4.

無窮級數(shù)5.

常微分方程

多元微積分2.2高等數(shù)學的主要內(nèi)容→極限

極限是微積分中最基本的概念之一，是用來描述變量的變化趨勢的概念，微積分中的很多基本概念都與極限有關(guān)，比如微分學中的導數(shù)是一種極限、積分學中的定積分是一種極限、無窮級數(shù)的收斂發(fā)散是用極限定義的?！鷮?shù)導數(shù)是微分學中的重要概念，它描述的是函數(shù)的自變量變化時因變量的變化率，它可以解決與變化率相關(guān)的問題，如切線的斜率、經(jīng)濟中的邊際分析、物體的冷卻模型等。2.2高等數(shù)學的主要內(nèi)容→積分

積分學分為定積分和不定積分，定積分為求不規(guī)則圖形的面積、體積提供了一套通用的方法，不定積分用來求一個函數(shù)的原函數(shù)，在微分方程中應用很多。微積分基本定理指出，微分和積分(確切地說是和不定積分)互為逆運算，這也是這兩種理論被統(tǒng)一稱為微積分的原因。2.2高等數(shù)學的主要內(nèi)容03高等數(shù)學的教學特點

對于大學課程，特別是作為學科基礎課的高等數(shù)學，課堂教學是重要環(huán)節(jié)。高等數(shù)學的課堂教學與中學數(shù)學的課堂教學相比，有下述三個顯著的差別。高等數(shù)學課堂是一、二百人的大課堂，在這種大課堂上不可能經(jīng)常讓同學們提問題。同學們在學習的基礎上、水平上、理解接受能力上肯定存在差異，但是教師授課的基點只能是照顧大多數(shù)，不可能給跟不上、聽不全懂的少數(shù)同學細講、重復講。①課堂大3.1高等數(shù)學的教學特點每次授課兩節(jié)，共90分鐘。②時間長3.1高等數(shù)學的教學特點高等數(shù)學的內(nèi)容極為豐富，而學時又相對很少（同中學數(shù)學課相比），平均每次課要講授教材內(nèi)容一至兩節(jié)（甚至更多）。③進度快3.1高等數(shù)學的教學特點另外，大學與中學的教學要求有很大的不同，教師講課主要講重點、難點、疑點，講分析問題的方法，講解題的思路，而例題要比中學少得多，不象中學上數(shù)學課那樣，對一個重要的定理，教師要仔細講、反復講，講完之后又舉大量典型的例子。04如何學習好高等數(shù)學

可能大家有所耳聞，高等數(shù)學是大學課程里較難的一門課，也就是掛科率比較高。有幾句流傳較廣的描述是這么說的。更悲壯點是這么說的高數(shù)真的有那么難嗎？它到底是難還是簡單？“有課樹叫高數(shù)，上面掛了好多人”“徘徊高樹（數(shù)）下，自掛東南枝”如何學好高等數(shù)學沒有考察就沒有發(fā)言權(quán)。好多同學根本就沒有認真地去學，對高等數(shù)學連最基本地認識都沒有，就說高數(shù)難，學不會。我想，這是在盲目不負責任的下結(jié)論。如果說你已經(jīng)很努力，花了很多時間都學不會，那么它對你來說就算真的有點兒難了。所謂“難者不會，會者不難”，難易是相對的，怎么才能學好高數(shù)呢？如何學好高等數(shù)學學習態(tài)度要端正。首先，要有信心，相信自己通過努力能學會。其次，要勤奮，多花時間，多下功夫。世上無難事，只怕有心人。4.1態(tài)度決定一切高等數(shù)學的內(nèi)容多，涉及的知識廣而深，理論性強，每次兩節(jié)課的教學內(nèi)容多且難，新生開始時會不適應，要想避免出現(xiàn)這種局面，就要在課前預習。預習時不是簡單地看一遍課本，而是要細致地看每一個定義、定理、例題，如果有時間可以做幾道課后習題。在看書時要多問幾個問什么，把不懂的地方標出來，這樣聽課時才有針對性，做到有的放矢，提高聽課效率。4.2科學的學習方法(1)課前預習高等數(shù)學的課堂容量大、講課進度快，教師在講課時主要講重點、難點和疑點，并將自己的見解融入到教學中，講自己考慮問題時的思路。學生做筆記時要重點記錄老師的解題思路、對重點、難點、疑點的分析。高等數(shù)學的教材注重邏輯性，但對一些理論的來龍去脈沒有說明，老師會在課堂上補充理論的來源、與之相關(guān)的背景知識、在實際中的應用和應用時需要注意的問題。學生要將老師補充的內(nèi)容記下來，方便以后復習，筆記本就是一本很好的參考書。4.2科學的學習方法(2)課堂上做筆記復習時要特別注意基本概念、基本定理、基本方法，復習后要能將書上的定義、定理、重要結(jié)論用自己的語言復述出來。學生在復習時既要動腦又要動手，將課堂上沒聽懂的例題自己演算幾遍，并將自己在復習時想到的新方法記下來。4.2科學的學習方法(3)課后認真復習根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，復習的最佳時間是記憶材料后的1到24小時，最晚不超過