2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡梅溪湖中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第第頁2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡梅溪湖中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡梅溪湖中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.的相反數(shù)是()

A.B.C.D.

2.刻蝕機(jī)是芯片制造和微觀加工最核心的設(shè)備之一，中國自主研發(fā)的納米刻蝕機(jī)已獲成功，納米就是米數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.B.C.D.

3.不在函數(shù)圖象上的點是()

A.B.C.D.

4.若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則，滿足()

A.，

B.，

C.，

D.，

5.在中，，，的對邊分別是，，，若，則下列等式中成立的是()

A.B.C.D.

6.將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，所得到的拋物線為()

A.B.

C.D.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是()

A.B.C.D.

8.關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為()

A.B.C.D.

9.順次連接矩形四邊中點所得的四邊形一定是()

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

10.某種型號油電混合動力汽車計劃從甲地開往乙地，如果純用電行駛，則電費為元，如果純?nèi)加托旭?，則燃油費為元已知每行駛千米，純?nèi)加唾M用比純用電費用多元如果設(shè)每行駛千米純用電的費用為元，那么下列方程正確的是()

A.B.C.D.．

11.在“雙減政策”的推動下，某初級中學(xué)校學(xué)生課后作業(yè)時長明顯減少年上學(xué)期每天作業(yè)平均時長為，經(jīng)過年下學(xué)期和年上學(xué)期兩次調(diào)整后，年下學(xué)期平均每天作業(yè)時長為設(shè)該校平均每天作業(yè)時長這兩學(xué)期每期的下降率為，則可列方程為()

A.B.

C.D.

12.已知拋物線經(jīng)過點，，，且，則，，的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.因式分解：．

14.要使代數(shù)式有意義，則應(yīng)滿足的條件是______．

15.如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為．

16.如圖，已知在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是________．

17.已知點在直線上，則的值為______．

18.如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，點為的中點，的頂點在軸上，頂點在直線上，則的面積為______．

三、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

解一元二次方程：

；

．

20.本小題分

為了讓同學(xué)們了解自己的體育水平，初二班的體育老師對全班名學(xué)生進(jìn)行了一次體育模擬測試得分均為整數(shù)，成績滿分為分，班的體育職員根據(jù)這次測試成績，制作了統(tǒng)計圖和分析表如下：

根據(jù)以上信息，解答下列問題

這個班共有男生______人，共有女生______人；

求初二班女生體育成績的眾數(shù)是______，男生體育成績的中位數(shù)是______．

若全年級有名學(xué)生，體育測試分及以上的成績?yōu)榈?，試估計全年級體育測試成績達(dá)到等的有多少名學(xué)生？

21.本小題分

如圖，點、、分別是各邊中點．

求證：四邊形是平行四邊形；

，求四邊形周長．

22.本小題分

如圖，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點，與過點的一次函數(shù)的圖象相交于點．

求一次函數(shù)圖象相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

求的面積．

23.本小題分

如圖，在中，，是的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，連接，．

求證：四邊形是菱形；

若，，求的長．

24.本小題分

為助力我省脫貧攻堅，某村在“農(nóng)村淘寶網(wǎng)店”上銷售該村優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品，該網(wǎng)店于今年六月底收購一批農(nóng)產(chǎn)品，七月份銷售袋，八、九月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，九月份的銷售量達(dá)到袋．

求八、九這兩個月銷售量的月平均增長率；

該網(wǎng)店十月降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該農(nóng)產(chǎn)品每袋降價元，銷售量可增加袋，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價多少元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在十月份可獲利元？若農(nóng)產(chǎn)品每袋進(jìn)價元，原售價為每袋元

25.本小題分

若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)在上的“極差函數(shù)”．

函數(shù)；，其中函數(shù)______是在上的“極差函數(shù)”；填序號

已知函數(shù)：．

當(dāng)時，函數(shù)是在上的“極差函數(shù)”，求的值；

函數(shù)是在為整數(shù)上的“極差函數(shù)”，若為整數(shù)，求的值．

26.本小題分

如圖所示，拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點點為拋物線的頂點．

求拋物線的表達(dá)式及頂點的坐標(biāo)；

若點是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；

若點是拋物線對稱軸上的動點，點是拋物線上的動點，是否存在以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反數(shù)是．

故選：．

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．

本題考查相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．

2.【答案】

【解析】解：．

故選：．

絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．

3.【答案】

【解析】A.當(dāng)時，，此點在函數(shù)圖象上，不符合題意；

B.當(dāng)時，，此點在函數(shù)圖象上，不符合題意；

C.當(dāng)時，，此點不在函數(shù)圖象上，符合題意；

D.當(dāng)時，，此點在函數(shù)圖象上，不符合題意．

故選：．

分別把各點代入正比例函數(shù)的解析式進(jìn)行檢驗即可．

本題考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知正比例圖象上各點的坐標(biāo)一定合適此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)一次函數(shù)圖象得，隨的增大而減小，且函數(shù)圖象與軸交于負(fù)半軸，

所以：，．

，

故選：．

根據(jù)一次函數(shù)的圖象可知，隨的增大而減小，且函數(shù)圖象與軸交于負(fù)半軸，從而得到和的取值范圍．

本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：，

，

，

故選：．

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知，則為斜邊，即可得出答案．

本題主要考查了勾股定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度后，得到的拋物線的解析式為：．

故選：．

根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．

此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．

7.【答案】

【解析】解：點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為．

故選：．

根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．

本題考查了關(guān)于軸、軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．

8.【答案】

【解析】解：原方程整理得：，

一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

，

即，

解得：，

故選：．

先整理，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解．

本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：連接、，

在中，

，

，

同理，，，

又在矩形中，，

，

四邊形為菱形．

故選：．

因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形．

本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：定義，四邊相等，對角線互相垂直平分．

10.【答案】

【解析】解：每行駛千米，純?nèi)加唾M用比純用電費用多元，且每行駛千米純用電的費用為元，

每行駛千米純?nèi)加偷馁M用為元．

根據(jù)題意得：．

故選：．

根據(jù)每行駛千米純?nèi)加唾M用與純用電費用間的關(guān)系，可得出每行駛千米純?nèi)加偷馁M用為元，利用行駛路程總費用每行駛千米所需費用，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得．

故選：．

利用年下學(xué)期平均每天作業(yè)時長年上學(xué)期每天作業(yè)平均時長該校平均每天作業(yè)時長這兩學(xué)期每期的下降率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：由題意得，拋物線的對稱軸為直線，開口向上，

，

點離對稱軸水平距離最近，其次是點，點離對稱軸最遠(yuǎn)，

，

故選：．

當(dāng)時，拋物線上的點離對稱軸水平距離越近，則對應(yīng)的函數(shù)值越小，反之越大，根據(jù)這一特點即可作出選擇．

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握當(dāng)拋物線開口向上時，拋物線上的點離對稱軸越近，則對應(yīng)的函數(shù)值越小或越大，反之越大或越小，是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵．

先提公因式，再利用平方差公式即可進(jìn)行因式分解．

【解答】

解：原式，

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：代數(shù)式有意義，

，

．

故答案為：．

根據(jù)二次根式及分式有意義的條件解答即可．

本題考查的是二次根式及分式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】【分析】

本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以寫出等式的解集．

【解答】

解：由圖象可得，

當(dāng)時，，該函數(shù)隨的增大而減小，

不等式的解集為，

故答案為：．

16.【答案】

【解析】【分析】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)、基本作圖，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．

做出角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

【解答】

解：作于，

由基本尺規(guī)作圖可知，是中的角平分線，

，，

，

的面積，

故答案為：．

17.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，牢記直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

由點在直線上，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出，將其代入中即可求出結(jié)論．

【解答】

解：因為點在直線上，

所以，

所以，

所以．

故答案為：．

18.【答案】

【解析】解：當(dāng)時，，

點的坐標(biāo)為，．

點為的中點，

．

四邊形為平行四邊形，點在軸上，

軸．

當(dāng)時，，

解得：，

點的坐標(biāo)為，

，

，

的面積．

故答案為：．

利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點的坐標(biāo)，結(jié)合點為的中點可得出的長，由四邊形為平行四邊形，可得出軸，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出的長，結(jié)合平行四邊形的對邊相等可得出的長，再利用平行四邊形的面積計算公式，即可求出的面積．

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的面積，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出點，的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：，

，

，

，

或，

解得：，；

，

，，，

，

則，

，．

【解析】先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；

利用公式法求解即可．

本題考查解一元二次方程，熟練掌握因式分解法和公式法是解題關(guān)鍵．

20.【答案】分分

【解析】解：由男生的條形統(tǒng)計圖得：男生人數(shù)為：人，則女生為人，

故答案為：；；

從扇形統(tǒng)計圖中可以看出，分的占比最多，因此女生的眾數(shù)為分，男生人的成績從小到大排列后處于第、位的兩個數(shù)都是分，因此男生的中位數(shù)是分，

故答案為：分；分；

名，

答：估計全年級體育測試成績達(dá)到等的有名學(xué)生．

從條形統(tǒng)計圖可以求出男生的人數(shù)，進(jìn)而求出女生的人數(shù)，

根據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)，處于中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)進(jìn)行解答，

樣本估計總體，求出初二班的等所占的百分比，進(jìn)而估計總體等所占的百分比，然后求出等的人數(shù)．

本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的制作方法，眾數(shù)、中位數(shù)的意義及求法，以及樣本估計總體的統(tǒng)計方法，從統(tǒng)計圖表中獲取數(shù)據(jù)及數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．

21.【答案】證明：、分別為、的中點，

，

、分別為、中點，

，

四邊形是平行四邊形；

解：點、、分別是各邊中點，，

，，

四邊形是平行四邊形，

四邊形的周長為．

【解析】根據(jù)三角形中位線定理可得，，即可；

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出四邊形的周長．

本題考查平行四邊形的判定、三角形的中位線性質(zhì)、熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．

22.【答案】解：點在一次函數(shù)的圖象上，

，

點，

設(shè)一次函數(shù)圖象相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，

把點，代入，

得，

解得，

一次函數(shù)圖象相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

一次函數(shù)的圖象與軸交于點，

當(dāng)時，，解得，

，

，，

，

．

【解析】本題考查了兩直線相交問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積的計算，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．

把點代入即可求得的值，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；

求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．

23.【答案】證明：點是的中點，

，

，

，，

在和中，

，

≌，

，

，

四邊形是平行四邊形，

又，

平行四邊形是菱形；

解：由得：四邊形是菱形，

，，，

，

，

，

，

，

，

是等邊三角形，

．

【解析】證≌，得，則四邊形是平行四邊形，再由，即可得出結(jié)論；

由菱形的性質(zhì)得，，，再證是等邊三角形，即可得出結(jié)論．

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】解：設(shè)八、九這兩個月的月平均增長率為．

由題意得：，

解得：，不合題意，舍去，

答：八、九這兩個月的月平均增長率為．

設(shè)：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在十月份可獲利元．

根據(jù)題意可得：，

解得：，不合題意，舍去．

答：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在十月份可獲利元．

【解析】直接利用月銷量月的銷量，進(jìn)而求出答案．

首先設(shè)出未知數(shù)，再利用每袋的利潤銷量總利潤列出方程，求解即可．

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

25.【答案】

【解析】解：當(dāng)時，

對函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

，

函數(shù)在上的“極差函數(shù)”；

對函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

，

函數(shù)不是在上的“極差函數(shù)”；

故答案為：；

當(dāng)時，，

拋物線對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，

當(dāng)，即時，，，

，

解得；

當(dāng)時，，，

，

解得舍去或舍去；

當(dāng)時，，，

，

解得舍去或舍去；

當(dāng)時，，，

，

解得；

綜上所述，的值為或；

，

拋物線的對稱軸為直線，

，

，

，

函數(shù)：在為整數(shù)上的“極差函數(shù)”，

，，

，即Ⅰ，

為整數(shù)，

為整數(shù)，

即為整數(shù)，

，且為整數(shù)，

是的因數(shù)，

又，

或，