2022年九年級中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-二次函數(shù)與線段周長問題附答案

2023中考專題訓(xùn)練——二次函數(shù)與線段周長問題

1.已知：如圖，拋物線y=ax?+bx+2與x軸的交點是A(3,0)、B(6,0),與y軸的交點是

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)P(x,y)(0<x<6)是拋物線上的動點，過點P作PQ〃y軸交直線BC于點Q.

①當(dāng)x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少；

②是否存在這樣的點P,使△OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)尸%+〃?("?為常數(shù))的圖象與*軸交于點八(-3,

0),與y軸交于點C.以直線x=l為對稱軸的拋物線y=o?+/7x+c(a,A,c為常數(shù)，且。加)經(jīng)過

A,C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.

(1)求，”的值及拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這

樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標(biāo)及相

應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；

(3)若P是拋物線對稱軸上使AACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平

行的直線交拋物線于M(占，%),M式孫必)兩點，試探究唳產(chǎn)是否為定值，并寫出探究過

1V11ivi2

程.

3.如圖,已知二次函數(shù)y=-x2+6x+c與x軸交于A、B兩點,A在B左側(cè)，點C是點A下方，且

AC_Lx軸.

(1)已知A(—3,O),B(-b0),AC=OA.

①求拋物線解析式和直線0C的解析式；

②點P從。出發(fā),以每秒2個單位的速度沿X軸負半軸方向運動,Q從0出發(fā)，以每秒&個單位

的速度沿0C方向運動，運動時間為t.直線PQ與拋物線的一個交點記為M,當(dāng)2PM=QM時，求t

的值(直接寫出結(jié)果，不需要寫過程)

(2)過C作直線EF與拋物線交于E、F兩點(E、F在x軸下方)，過E作EG±x軸于G,連CG,BF,

求證：CG〃BF

4.如圖1,直線1：y=；x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y=gx2+bx+c

經(jīng)過點B,與直線1的另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上，DE〃y軸交直線l于點E,點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形

(如圖2),設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t(0VtV4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式

以及p的最大值；

(3)將^AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90。或180。，得到△AQiBi,點A、0、B的對應(yīng)點分別

是點八|、01田1.若4AiOiBi的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“落點”，

請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180。時點A、的橫坐標(biāo).

試卷第2頁，共10頁

5.如圖1,拋物線(存0)的頂點為C(1,4),交無軸于A、B兩點，交y軸于

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖2,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中點E的橫坐標(biāo)為2,若直線

P。為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點“，使D、G、H、F

四點所圍成的四邊形周長最??；若存在，求出這個最小值及點G、”的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由；

(3)如圖3,在拋物線上是否存在一點T,過點T作x軸的垂線，垂足為點M,過點M作MN//BD,

交線段AD于點N,連接MO,梗XDNMS^BMD.若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

6.已知如圖1,拋物線y=-]x+3與x軸交于A和3兩點(點A在點8的左側(cè))，與y

o4

(1)如圖2,若在直線AC上方的拋物線上有一點F,當(dāng)△4￡＞尸的面積最大時，有一線段

(點M在點N的左側(cè))在直線8。上移動，首尾順次連接點A、M、N、尸構(gòu)成四邊形AMNF,

請求出四邊形AMNF的周長最小時點N的橫坐標(biāo)；

(2)如圖3,將AOBC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)a。(0VaY180。)，記旋轉(zhuǎn)中的為△。Q。，若直

線9C與直線AC交于點P,直線夕C與直線0c交于點。，當(dāng)ACP。是等腰三角形時，直接

寫出CP的值.

7.如圖，二次函數(shù)》=W2+版-1的圖象與x軸與交于點A、點8(2,0),與y軸交于點C,

ZACB=90°.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)直線/與軸平行，分別交線段AB、CB于點E、F,且與拋物線交于點P.

①求線段PF取得最大值時，0E的長；

②四邊形ACPB的面積是否存在最大值？如果存在求出此最大值和點P的坐標(biāo);如果不存在,

說明理由.

=1_2

(3)不解方程組，直接寫出'的解.

y=ax2+bx-\

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半

軸上，NAOC的平分線交AB于點D,E為BC的中點，已知A(0,4)、C(5,0),二次函

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(2)F、G分別為x軸、y軸上的動點，順次連結(jié)D、E、F、G構(gòu)成四邊形DEFG,求四邊形

DEFG周長的最小值；

(3)拋物線上是否存在點P,使40DP的面積為12?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

9.已知：如圖，拋物線y=ax?+bx+2與x軸交于點A(4,0)、E(-2,0)兩點，連結(jié)AB,過

點A作直線AKLAB,動點P從A點出發(fā)以每秒石個單位長度的速度沿射線AK運動，設(shè)運

動時間為t秒，過點P作PCLx軸，垂足為C,把AACP沿AP對折，使點C落在點D處.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點D在△ABP的內(nèi)部時，△ABP與△ADP不重疊部分的面積為S,求S與t之間的函

數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；

(3)若線段AC的長是線段BP長的g,請直接寫出此時t的值；

(4)是否存在這樣的時刻，使動點D到點O的距離最??？若存在請直接寫出這個最小距離；

若不存在，說明理由.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-gf+〃x+c(b,c為常數(shù))的頂點為P,等腰直角三

角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為(0,-1),C的坐標(biāo)為(4,3),直角頂點B在第四象限.

(1)如圖，若該拋物線過A,B兩點，求b,c的值；

(2)平移(1)中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q.

①點M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點，當(dāng)以M,P,Q三點為頂點的三角

形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求點M的坐標(biāo)；

②取BC的中點N,連接NP,BQ.當(dāng)取最大值時，點Q的坐標(biāo)為_____________.

/Vr4-

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系wy中，直線y=-；x+2與X軸交于點8,與y軸交于點C,拋物

線y=ax?+/?x+c的對稱軸是直線x=],與x軸的交點為點A,且經(jīng)過點8、C兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點”為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)忸知-。0|的值最小時，請你求出點"的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點N,過點N作軸于點”，使得以點8、N、”為頂點的三角形與

相似？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.如圖1,拋物線y=or2+(a+2)x+2(“0)與x軸交于點A(4,0)和點C,與>軸交于點8.

(1)求拋物線解析式和B點坐標(biāo)；

(2)在x軸上有一動點尸(，%0),過點尸作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點〃.當(dāng)點"

位于第一象限圖象上，連接AM，BM，求面積的最大值及此時〃點的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點8關(guān)于x軸的對稱點為。，連接AD,BC.

①點尸是線段AC上一點(不與點A,C重合)，點。是線段AB上一點(不與點A8重合)，則兩條

線段之和PQ+8P的最小值為；

②將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。。(0<I<180),當(dāng)點C的對應(yīng)點。落在A4BD的邊所在直線上時,

則此時點B的對應(yīng)點用的坐標(biāo)為.

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13.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABC。如圖放置，其中AB=6,tanWC=2,點。的坐標(biāo)

為（-2,0）,拋物線y=a?+6:+c經(jīng)過點8、C、D.

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）連接8。，點P是8。下方拋物線上一動點，過點P作PELx軸交8。于點E,作PFLBD交

BD于點F，是否存在點尸使！PER的周長最大？若存在，求出！PEF周長的最大值及此時點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

14.如圖，拋物線y=/_3“x+c與x軸交于A（-l,0）、B兩點，與V軸交于點C（0,2）,P是線段

BC上的動點（點P不與B、C重合），連接AP并延長交拋物線于另一點Q,連接AC、CQ、

BQ.

（1）求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)；

（2）記ABC。的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達式;

(3)點P在運動過程中，求黑的最大值及此時點Q的坐標(biāo).

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與拋物線y=-/F+&+c(力，。是常數(shù))交

于A、8兩點，點A在x軸上，點8在y軸上.設(shè)拋物線與龍軸的另一個交點為點C

(1)求該拋物線的解析式；

(2)戶是拋物線上一動點(不與點A、8重合)，

pn

①如圖2,若點尸在直線上方，連接0P交A3于點。，求方的最大值；

②如圖3,若點P在x軸的上方，連接PC,以PC為邊作正方形CPEE,隨著點P的運動，正

方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點￡或廠恰好落在y軸上，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標(biāo).

16.己知，如圖，二次函數(shù)y=-x?+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),點E為二次函

數(shù)第一象限內(nèi)拋物線上一動點，EHLx軸于點H,交直線BC于點F,以EF為直徑的圓OM

與BC交于點R.

(1)求這個二次函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)4EFR周長最大時.

①求此時點E點坐標(biāo)及aEFR周長.

②點P為。M上一動點，連接BP,點Q為BP的中點，連接HQ,求HQ的最大值.

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17.如圖拋物y=-光-竿x+6與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交

于點C.C,D兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，連接BD交y軸于點E,拋物線對稱軸交x軸于

點F.

(1)點P為線段BD上方拋物線上的一點，連接PD,PE.點M是y軸上一點，過點M作

MN，y軸交拋物線對稱軸于點N.當(dāng)APDE面積最大時，求PM+MN+等NF的最小值；

(2)如圖2,在(1)中PM+MN+且NF取得最小值時，將△PME繞點P順時針旋轉(zhuǎn)120。后

2

得到△PME,點G是MN的中點，連接M-G交拋物線的對稱軸于點H,過點H作直線1〃PM,

點R是直線1上一點，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點S,使以點M，，點G,點R,點S

為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點S的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過原點，與x軸交于另一點A,對稱

軸x=-2交x軸于點C,直線1過點N(0,-2),且與x軸平行，過點P作PM11于點M,△AOB

的面積為2.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)NMPN=NBAC時，求P點坐標(biāo)；

(3)①求證PM=PC；

②若點Q坐標(biāo)為(0,2),直接寫出PQ+PC的最小值.

19.如圖1,拋物線yjzix2-3nix+n(〃?#))與x軸交于點C(-1,0)與y軸交于點B(0,3),

在線段。4上有一動點E(不與。、A重合)，過點E作x軸的垂線交直線于點N,交拋物

線于點P,過點P作PMLAB于點M.

(1)分別求出拋物線和直線AB的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)△PMN的面積為S/,AAEN的面積為S2,當(dāng)興盛時，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段0E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)的到09,旋轉(zhuǎn)角為a((TVa

2

<90°),連接￡A、E'B,求￡A+§￡8的最小值.

20.綜合與研究

如圖，拋物線尸-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C點D(m,

0)為線段OA上一個動點(與點A,。不重合)，過點D作x軸的垂線與線段AC交于點P,

與拋物線交于點Q,連接BP,與y軸交于點E.

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點D是OA的中點時，求線段PQ的長；

(3)在點D運動的過程中，探究下列問題：

①是否存在一點D,使得PQ+qPC取得最大值？若存在，求此時m的值；若不存在，請說

明理由；

②連接CQ,當(dāng)線段PE=CQ時，直接寫出m的值.

備用圖

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參考答案:

1.(1)y=#-x+2；(2)6=3,1；②P(3,0)或尸(|()或產(chǎn)(茅裊.

【分析】(1)已知了A,B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式.

(2)①Q(mào)P其實就是一次函數(shù)與二次函數(shù)的差，二次函數(shù)的解析式在(1)中已經(jīng)求出，而

一次函數(shù)可根據(jù)B,C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出.那么讓一次函數(shù)的解析式減去二次函數(shù)

的解析式，得出的新的函數(shù)就是關(guān)于PQ，x的函數(shù)關(guān)系式，那么可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出PQ

的最大值以及相對應(yīng)的x的取值.

②分三種情況進行討論：

當(dāng)/QOA=90。時，Q與C重合，顯然不合題意.因此這種情況不成立；

當(dāng)NOAQ=90。時，P與A重合，因此P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)；

當(dāng)/OQA=90。時，如果設(shè)QP與x軸的交點為D,那么根據(jù)射影定理可得出DQ2=OD?DA.由

此可得出關(guān)于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數(shù)式中即可得出P的坐標(biāo).

【解析】解：(1):拋物線過A(3,0),B(6,0),

.儼+36+2=0

,?j36a+66+2=0'

解得：,9,

b=-\

所求拋物線的函數(shù)表達式是y=|x2-x+2.

(2)①:當(dāng)x=0時,y=2,

???點C的坐標(biāo)為(0,2).

設(shè)直線BC的函數(shù)表達式是y=kx+h.

6k+h=0

則有

h=2

k=--

解得：，3.

h=2

.,.直線BC的函數(shù)表達式是y=-；x+2.

：0Vx<6,點P、Q的橫坐標(biāo)相同,

PQ=YQ-yp=(-；x+2)-(^x2-x+2)

--1x2+-2x

93

=--(x-3)2+1

9

???當(dāng)x=3時，線段PQ的長度取得最大值.最大值是1.

②解：當(dāng)NOAQ，=90。時，點P與點A重合，

AP(3,0)

當(dāng)/Q，OA=90。時，點P與點C重合，

/.x=0(不合題意)

當(dāng)/OQ，A=90。時，

設(shè)PQ與x軸交于點D.

NOQD+/AOQ，=90。，/QAD+NAQA90。，

NOQ，D=NQ，AD.

又,?ZODQ,=ZQ,DA=90°,

-?.△ODQ^AQ^A.

.DQDA,。八

??—=-r,即nrDQ'2=OD?DA.

ODDQ”

(--x+2)2=x(3-x),

3

10x2-39x+36=0,

312

??X1=-,X2=—,

1/3-3c3

yi=—x(-)2----+2=—；

,9224

y2=l(工)2上+2=3

,95525

._.33..126、

N或”名)?

.??所求的點P的坐標(biāo)是P(3,0)或尸((，》或「葭裊?

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合及相似三角形的判定與性質(zhì).

151.1151515r-15

2a

2.(1)m=—,y=--x+-x+—；(2)E(2,—),SACEF=—;(V31---),S口ACFE二

4424424

15技+嗎⑶定值?

4

【分析】(1)首先求得m的值和直線的解析式，根據(jù)拋物線對稱性得到B點坐標(biāo)，根據(jù)A、

B點坐標(biāo)利用交點式求得拋物線的解析式；

(2)存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形.過點E作EG，x軸于

點G,構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點坐標(biāo)和平行四邊形

的面積.注意：符合要求的E點有兩個，不要漏解；

(3)本問較為復(fù)雜，分幾個步驟解決：

第1步：確定何時4ACP的周長最小.利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的原理解決；

第2步：確定P點坐標(biāo)P(l,3),從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3-k；

第3步：利用根與系數(shù)關(guān)系求得Mi>M2兩點坐標(biāo)間的關(guān)系，得至Uxi+X2=2-4k,xiX2=-4k-3.這

一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計算做準(zhǔn)備；

第4步：利用兩點間的距離公式，分別求得線段M1M2、MIP和M2P的長度，相互比較即可

得到結(jié)論：乂鼠2P=1為定值.這一步涉及大量的運算’注意不要出錯'否則難以得出最

后的結(jié)論

【解析】解：(1)：y=：x+m經(jīng)過點(-3,0),

.'.0=-—+m,解得m=身，

44

直線解析式為y=gx+?,C(0,

444

???拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=l,且與x軸交于A(-3,0),

??.另一交點為B(5,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x-5),

?.?拋物線經(jīng)過C(0,二)，

4

—=a*3(-5),解得a=-!，

44

拋物線解析式為y=-[x2+；x+；；

424

(2)假設(shè)存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,

則AC〃EF且AC=EF.如答圖1,

(i)當(dāng)點E在點E位置時，過點E作EG_Lx軸于點G,

VAC//EF,AZCAO=ZEFG,

ZEGF=ZCOA=90

又,：乙GFE=4OAC,

EF=AC

/.△CAO^AEFG,

EG=CO=—,即VE=—，

44

j

v=-7Xe2+TXe+解得XE=2(XE=0與C點重合，舍去),

4424

?口”15、Q15

??E(2,—),S°ACEF=—;

42

(ii)當(dāng)點E在點E位置時，過點E作EGJ_x軸于點G，，

同理可求得日(67+1,-岸)，S°ACF-E-=15^-105.

44

(3)要使AACP的周長最小，只需AP+CP最小即可.

如答圖2,連接BC交x=l于P點，因為點A、B關(guān)于x=l對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點

之間線段最短，可知此時AP+CP最小(AP+CP最小值為線段BC的長度).

VB(5,0),C(0,—),

4

???直線BC解析式為產(chǎn)-33x+15:，

44

Vxp=LAyp=3,即P(1,3).

令經(jīng)過點P(L3)的直線為丫=1^+1),貝ljk+b=3,即b=3?k,

則直線的解析式是：y=kx+3-k,

y=kx+3-k,y=-:x2+,

聯(lián)立化簡得：x2+(4k-2)x-4k-3=0,

xi+x2=2-4k,x?X2=-4k-3.

*.*yi=kxi+3-k,y2=kxz+3-k,

*'?yi-y2=k(X1-X2).

根據(jù)兩點間距離公式得到：

M|M2=+("-%/=J(X|_*2)2+A(X|-X2)2=J1+1]J(X|一與1

??MIM2=+k~—%)~—4X|X,=Jl+K(2-4k)--4(-4%-3)=4(1+K)

又MF=7(^-1)2+(>>-3)2=7(X,-1)2+(^,+3-^-3)2=1尸；

22

同理M2P=\J1+k.^/(%2-I)

22222

；.MIP.M2P=(1+k)?7(x1-l)(x,-l)=(1+k)?^[x,x2-(xl+x2)+l]

=(1+k2)?J[-4I_3_(2_4Z)+11=4(1+k2).

.,.M|P?M2P=M|M2,

【點評】本題是難度很大的中考壓軸題，綜合考查了初中數(shù)學(xué)的諸多重要知識點:代數(shù)方面，

考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次

根式的運算等；兒何方面，考查了平行四邊形、全等三角形、兩點間的距離公式、軸對稱-

最短路線問題等.本題解題技巧要求高，而且運算復(fù)雜，因此對考生的綜合能力提出了很高

的要求.

3.(1)①產(chǎn)一/一4%一3；尸x；②t="土歷或63±3府；(2)證明見解析.

1850

【分析】(1)把A(—3,0),B(-l.0)代入二次函數(shù)解析式即可求出；由AC=OA知C點坐標(biāo)

為G3,-3),故可求出直線OC的解析式；②由題意得O/2f,P(—230),過。作QHLx軸于

H,

PGPM]

得OH=”Q=f,可得2(—r,-f),直線P。為y=-X—2Z,過用作軸于G由=7==7=彳，

則2PG=GH,由2kp=昆—七/|,得2kp-=年歷~XQ\,于是2卜2/—xj=即+0,

解得乙=-3r或%=-1r,從而求出M(—3⑴或M),再分情況計算即可；(2)過

F作切，x軸于“，想辦法證得tan/CAG=tanNFBH,即/CAG=/FB”，即得證.

【解析】y=-x2+bx+c

fO=—9—3b+c[Z?=—4

解：(1)①把A(—3,O),B(-1,0)代入二次函數(shù)解析式得八,,解得：

[0=-l-/?+c[c=-3

.,.產(chǎn)一A2-4x—3；

由AC=OA知C點坐標(biāo)為(-3,-3),；.直線OC的解析式尸；

②OP=2f,P(-2f,0),過。作QH_Lx軸于”，

'：Q0=y[2t,'-0H=HQ=t,

Q(-t,-t),.\PQ：y=-x—26

過M作MGLx軸于G,

?_P_G___P__M___1

GH~QM~2f

：.2PG=GH

—

,?2|xP—|=\xG|,即2'一如|=kw,

2卜2,-x/M=匕+1\,

?**XM=_3f或%=一丁，

當(dāng)M(—3")時:r=-9r+12/-3,

.11±5^3

??t=----------

18

當(dāng)M)時：-=一"

33393

.63±3714?

??t=-------------

50

綜上：,=但叵或一但畫

1850

(2)設(shè)A(m,0)、B(n,0),

，加、〃為方程X2一版一C=0的兩根,

/?m+n=h,mn=-c,

?\y=-x2+(ni+n>)x—mn=—(x—tn)(x—n),

VE>F在拋物線上，設(shè)E(x，-再2+(m+〃)氏—〃2")、F(X,-X2+(,

22m+n)x2-nm),

設(shè)EF：y=kx+b,

.\yE=kxE+h

??丹—?=%(%￡—4)

...1=2^=Tj+占2+W+")(X1f)=,"+…

xE-xFx}-x2

AXXX

F\y=^tn+n-xx-2)(-1)-(1-ni)^-ri),令％=加

yc=(^m+n—xl—x2)(7?2-x1)—(xj-陽)(％-n)

—(加一％)(，%+〃一％-H)=(m-Xj)(/??-x2)

又<

AG=XA-xE=m-x^

AC

tanNCAG-......=x—tn,

AG?2

另一方面：過/作/軸于”,

FH=(w-z??)(x2-ri),BH=x2-nf

FH

/.tanZFB//=-----=x-m

BH2-

tanZCAG=tanZFBH

：.ZCAG=ZFBH

：.CG//BF

【點評】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)及

正確作出輔助線進行求解.

]5728

4.(1)n=2；y=yx2-^-x-1；(2)p=--/2/；當(dāng)t=2時，p有最大值1~；(3)6個，

—7-成4一.

123,

【分析】(1)把點B的坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值，再把點C的坐標(biāo)代入直線求解即

可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

(2)令y=0求出點A的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，

然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NABO=NDEF,再解直角三角形用DE表示出EF、

DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得

到P與t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答；

(3)根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)角為90?？傻肁Qi〃y軸時,BQi〃x軸，旋轉(zhuǎn)角是180。判斷出AQi〃x

軸時，BIAI〃AB,根據(jù)圖3、圖4兩種情形即可解決.

【解析】解：

3.

(1),直線1：y=4x+m經(jīng)過點B(0,-1),

m=-1，

_3

直線1的解析式為y=Ix-1,

3.

,直線1：y=4x-l經(jīng)過點C(4,n),

3.

n=4x4-1=2,

?.,拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,-1),

12

yX4+4;b+c=O

c=-l

解得lc=-l,

[5.

???拋物線的解析式為y=Ex2-Wx-l；」

3.

(2)令y=0,則4x-1=0,

1

解得x=3,

.?.點A的坐標(biāo)為(3,0),

4_

OA=3,

在RtZiOAB中，OB=1,

2

AB^OA^OB^^)2+12=t,

：DE〃y軸，

/.ZABO=ZDEF,

OB2

在矩形DFEG中，EF=DE?cosZDEF=DE?AB=5DE,

0A_4

DF=DE?sin/DEF=DE?AB=5DE,

13.14

：.p=2(DF+EF)=2(5+5)DE=5DE,

???點D的橫坐標(biāo)為t(0Vt<4),

15.3.

AD(t,2t2-4t-1),E(t,4t-1),

3.15.1_

DE=(4t-1)-(2t2-4t-l)=-2t2+2t>

141_7_28

；.p=5x(-2t2+2t)=-5t2+5t,

7_287.

Vp=-5(t-2)2+5,且-5<o,

28

.?.當(dāng)t=2時，p有最大值5.

(3)“落點”的個數(shù)有6個，如圖1,圖2中各有2個，圖3,圖4各有一個所

_4

如圖3中，設(shè),Ai的橫坐標(biāo)為m,則Oi的橫坐標(biāo)為m+3,

1_5.14.5,1

2m2-4m-1=2(m+3)2-4(m+3)-1,

7

解得m=12,

4.

如圖4中，設(shè)Ai的橫坐標(biāo)為m,則BI的橫坐標(biāo)為m+3,B］的縱坐標(biāo)比例A1的縱坐標(biāo)大1,

15.L111

/.2m2-4m-1+1=2(m+3)2-4(m+3)-1,

4.

解得m=3,

74_

...旋轉(zhuǎn)180。時點Al的橫坐標(biāo)為12或3

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法

求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，長方形的周長公式，以及二次函數(shù)的最值問題，本題難

點在于(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90。判斷出A|Oi〃y軸時,BQ|〃X軸，旋轉(zhuǎn)角是180。判斷出AQ|〃X

軸時，BiAiZ/AB,解題時注意要分情況討論.

5.(l)y=-(x-1)2+4；

(2)四邊形。FHG的周長最小為2+26，G(I,1),W(1,0)；

315

⑶點7的坐標(biāo)為(5,7

【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-l)2+4,然后將點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即

可求得此拋物線的解析式；

(2)作F關(guān)于龍軸的對稱點k(0,-1),連接所，交x軸于“，交對稱軸x=l于G,四邊形

)HG的周長即為最小，則根據(jù)題意即可求得這個最小值及點G、，的坐標(biāo)；

(3)首先設(shè)”的坐標(biāo)為(。,0),求得8。與的長，由平行線分線段成比例定理，求得MN

的長，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可得加2=E>/犯，則可得到關(guān)于。的一元二

次方程，解方程即可求得答案.

(1)

解：設(shè)所求拋物線的解析式為：y=o(x-l)2+4,依題意，將點8(3,0)代入，得：

+4=0,

解得：a——\,

所求拋物線的解析式為：y=-(x-l『+4；

(2)

解：存在.如圖，

圖2

拋物線的對稱軸方程為：x=\,

:點E的橫坐標(biāo)為2,

二)=-4+4+3=3,

.?.點E(2,3),

???設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b,

\-k+b=O

[2k+h=3'

僅=1

,[b=\'

???直線AE的解析式為：產(chǎn)x+1,

??.點尸(0,1)，

???。(0,3),

???。與E關(guān)于對稱，

作尸關(guān)于x軸的對稱點F(0-l),

連接E尸交x軸于"，交對稱軸ml于G,

四邊形DFHG的周長即為最小，

設(shè)直線￡尸的解析式為：y=nu+n,

彳一，

2m+〃=3

m=2

解得:

n=-\

???直線E9的解析式為：）=2-1,

???當(dāng)）=0時，2x7=0,得x=；,

即嗚，。）,

當(dāng)x=l時，y=l,

G（l,1）,

???OF=2,FH=F'H=O+f瀉,DG=用下=芯,

.?.使O,G,H,尸四點所圍成的四邊形周長最小值為：

DF+FH+GH+DG=2+—+—+^5=2+2^

22

解：存在，理由如下;

D

NI

/OM\X

圖3

?.-BD=>/32+32=3>/2,

設(shè)M(c,0),

MN||BD,

.MN_AM

MN=*(l+c),DM=A/32+C2,

要使ADNMSABMD,

DMMN

DM2=BDMN,

BDDM

可得：9+c2=30x3立(1+c),

3

解得：c=-或c=3(舍去).

存在，點T的坐標(biāo)為色，1)

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長最短問題,相似三角形的判定與性質(zhì)，

以及平行線分線段成比例定理等知識.此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

2

6.(1)N點的橫坐標(biāo)為：-

恬小1025后4病—2410713^8765.

(2)CP的值為：----—或4-二一或一-」一或二一-4.

33913513

3

【分析】U)先求出點48坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出直線AO解析式；再建立SAAOQ-z

225

(〃，+])2+7，進而求出尸點的坐標(biāo)，再確定出點M的位置，進而求出點4,A2坐標(biāo)，

即可確定出A2F的解析式為尸?丁107片]9①，和直線3。解析式為尸1；x-1②，聯(lián)立方程組即

1682

可確定出結(jié)論；

(2)分四種情況討論計算，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理表示出線段，用相似三角形的性

質(zhì)即可求出尸。的值.

(1)

33

解：?.?拋物線廣丁1+3與x軸交于4和B兩點，

84

.'.x=2或％=-4,

，A(-4,0),B(2,0),

a：D(0,-1),

；?直線A。解析式為尸

如圖1,過點尸作FHLc軸，交AD于H,

FH=--m2-—m+3-(--小-1)=--tn2-—

84482

???S^ADF=S^AFH+S^DFH=JFHx\xD-xA\=2FH

3]

=2(--w2-—ZH+4)

82

3

=--m2-m+S

4

32、，25

="-（z加+―）2+—，

433

2

當(dāng)tn=--時，S^ADF最大,

?尸（210

如圖2,作點A關(guān)于直線BD的對稱點"把4沿平行直線BD方向平移到4,且4也=6,

連接上下，交直線8。于點N,把點N沿直線BO向左平移不得點此時四邊形AMN尸

的周長最小.

tanZO^D=—,

2

,.,A8=6,

??.AK二述，

5

44GA“12A/5

?AA/=2/4K=----

5

?》1224

在mZkABK中，AH=《,A/H=y,

Q

???OH=OA-AH=-,

AA/（-1,-y）,

過42作A2P_LA2”，

???ZA!A2P=ZABK,

A1A2—f

?"2P=2,AiP=\,

107o

.,.A2F的解析式為尸?上①，

loo

???B(2,0),D(0,-1),

直線B。解析式為尸;x-1②，

2

聯(lián)立①②得，戶-［不，

2

，N點的橫坐標(biāo)為：-yjg;

(2)

解:VC(0,3),B(2,0),D(0,-1),

：.CD=4,BC=y/l3,0B=2,

BC邊上的高為￡>H,

根據(jù)等面積法得，；BCxDH=；CDxOB,

...。/0摯=%=通

BC71313

VA(-4,0),C(0,3),

：.0A=4f003,

??八°A4

??tanZACD=----=—,

0C3

①當(dāng)PGPQ時，簡圖如圖1,

4

VtanZACD=—,

3

???設(shè)CG=3〃，貝ijQG=3mPG=4mPQ=PC=5a,

：.DQ=CD-CQ=4-6a9

?：APGQS&DHQ,

.PGPQ

^~DH~'DQ'

4〃5a

8V134-6。，

13

."二_亞

339

."C=5a=W-2^1

339

過點P作PGLCD,

4

*tanZAC￡>=—,

3

???設(shè)CG=3小則PG=4m

CQ=PC=5a,

：.QG=CQ-CG=2a,

:,PQ=2ma,

：.DQ=CD-CQ=4-5a,

■:APGQsRDHQ,

同①的方法得出，尸。=4-勺叵;

13

過點Q作QGJ_PC,過點C作CNLPQ,

設(shè)CG=3a,IJliJQG=4a,PQ=CQ=5a,

：.PG=3a,

PC=6a,

：.DQ=CD-CQ=4-5af

利用等面積法得，CNxPQ:PCxQG,

*'?ON—,

■:XCQ^SRDQH,

同①的方法得出PC=3-M3

513

④當(dāng)PC=C。時，簡圖如圖4,

設(shè)CG=3a,則PG=4a,CQ=PC=5a,

：.QD=4+5a,PQ=4y/5,

?：AQPGs叢QDH,

同①方法得出.CP=5叵-4,

13

綜上所述，PC的值為：&史恒或4-嶇或生㈣1或返-4.

3391351313

【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，面積公式及計算方法，等腰三角

形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分情況討論計算是解本題的關(guān)鍵，構(gòu)造出相似三角形

是解本題的難點.計算量較大.

x=1,

30

7.（1）丫=/_尸_［（）①1；當(dāng)機=1時，如邊形田￡面積最大=7⑶%3

224V=

2

【解析】分析：（1）由AAOCSACOB得：OA=1，則點A0）,把A、B代入聯(lián)立

方程組，即可求解；（2）①由題意得到直線BC的解析式為：y=；x-l,分別設(shè)出點E、F、

P的坐標(biāo)，用含m的式子表示，從而求出線段PF取得最大值時，OE的長；

②利用S四邊形AeE=SAABc+SAc,+S—,得到關(guān)于m的二次函數(shù)，配成頂點式，即可求解；

（4）根據(jù)函數(shù)圖象可得出結(jié)果.

本題解析：

（1）NAC8=90°,OCJLAB,=——=—

OCOB2

???OA=g,.?.點A的坐標(biāo)為（-；,0

八11入ia=1,

()=一?！狿-1,

：.\42/.3

h-----

0=4。+28—12

(2)①設(shè)直線BC的解析式為y=H-l,由圖象得:

0=2J

直線BC的解析式為：y=；x-L

如圖，設(shè)：E(m,0),則Fpf/w,/n2-1w-l

=-m~+2m=一("'+1(0<tn<2)

???當(dāng)m=l時，產(chǎn)七大二1

.".OE=1

②如圖：

四邊形ACPB的面積存在最大值，

=

S四邊形ACP5S4ABe+SQF+S*PF=耳AB-OC+—FP-CM+—FP-BE

111o9

=-(24--)xl+-(-m2+2w)x2=-(/n-l)92+-(0<7?i<2),

,9

當(dāng)加=IH'J,S四邊形AW面積最大=

3

???P(L

(3)由圖可知:

8.⑴H-4c+岳⑶PJ9+呵77+啊或p(29-河,

■55888

77-5麗)或p(29+a-18+標(biāo))或p(29-a-18-歷)

--88--88-

【分析】(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、C兩點，把A、C的坐標(biāo)代入即可得到二次函數(shù)的表

達式為；

(2)先求出D,E的坐標(biāo)，計算出DE的長，再作D關(guān)于y軸對稱點D，(—4,4),E關(guān)

于x軸的對稱點E，(5,-2),連結(jié)E，D，交x軸于點F,交y軸于點G,連結(jié)DG,EF,則

四邊形DEFG的周長最小，而DE+GF+BF=ED=3g,從而得到四邊形DEFG的周長的最

小值；

(3)設(shè)p(x,y),分P在x軸上方和P在x軸下方二種情況討論，如圖1,

S^ODP=S梯形PONM—SAPMD-SAOPN=2y—2x=12,得至U