2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案（猜想卷一）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（猜想卷一）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前.考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答腮卡上.用2B鉛筆將

試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角??條形碼粘貼處工

2.作答選擇期時(shí).選出每小即答案后.用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng).用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案“答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案；不幫使用鉛筆和涂改液.

不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答圖卡的整潔.考試結(jié)束后.將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小蓬分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

蓬目要求的。

1.設(shè)全集1/={-2.-1,0.1.2}.4={-2,-1）.8={-2.-1.0“）.則（。,4）「8=（）

A.{-2.-1}B.{0,1}C.{-1.0.1}D.{-2,-1.0,1）

2,虛數(shù)單位i的平方根是（）

A.-1B.-[12—J'2.1

22

C號(hào)+季

3.第24屆冬奧會(huì)于2022年在北京和張家口市聯(lián)合舉行.冬奧會(huì)志愿者的服務(wù)工作是冬奧會(huì)成

功舉辦的重要保障,在冬奧會(huì)志愿者的選拔T.作中,某高校承擔(dān)了志愿者選拔的面試T作,面

試成績(jī)滿分1（）。分.同學(xué)們面試得分的頻率分布立方圖如圖所示,則此次面試中得分的90%分

位數(shù)是（）

A.85'藍(lán)標(biāo)磁蓊馥幡

4.Cr，+2y)(I+y-”)5展開式中的系數(shù)是()

A.10B.-5C.5D.-10

§.已知匕?）的通項(xiàng)公式為a?=ET則其前〃項(xiàng)和為

A，1-(n+D!2TH

6,將函數(shù)/（r）-、in2H的圖象向右平移當(dāng)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)v=g（.r）的圖象.則函數(shù)/（r）

O

g（公的最大值為（）

A.處咨B.AC.-j-D.呼

444

7.拋物線的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線4一<=1的漸近線相交于A,8兩點(diǎn)，若

44

△ABF的周長(zhǎng)為4則力=（）

A.2B.2"C.8D.4

8.已知正數(shù).K,y.z滿足了Iny=pe*=zr.則；r.y,u的大小關(guān)系為（）

A.x>y>zB.y>H>zC.z>z>yD.以上均不對(duì)

二、選擇題：本題共4小題，每小題.；分，共2（）分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對(duì)的得分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得N分。

9.已知直線/仁平面a.f［線mU平面a.則（）

A.若/與m不垂直.則與a一定不垂直

B.若,與m所成的角為30°,則I與a所成的角也為3（廣

C.l//m是/〃a的充分不必要條件

D.若/與a相交.則/與",一定是異面直線

（3x—x:,0<x^2?

10.已知函數(shù)/（.r）是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x>0n.h/（x）=.l?,（__2）meR.那么

，，HJZ

|r\.r>2,

函數(shù)g（?=/Cr）-2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）

A.2B.4C.6D.8

II.在平面近角坐標(biāo)系rOy中,已知點(diǎn)A（1.商.若將點(diǎn)A繞原點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?；《?得到點(diǎn)

B（aj）.%）.記/（仍=/+".8（2）=2工（>貝，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A."0）=2位OS傳-0）

B.不存在0,使得/（。）與g（0）均為整數(shù)

C./*S）-8g?D=2

D.存在某個(gè)區(qū)間（a㈤（“<6）.使得/⑺與gS）的單調(diào)性相同'不：/系翻春密措

12.已知函數(shù)/(j-)=.r(ln?門，>=三.若對(duì)任意的l.ej.均存在nei—1.1],使

得/（4）=gCr，）.則u的取值可能是（）

A.0B.2C.-3D.I

三、填空題：本題共4小蓬，每小翅5分，共20分。

13.某高中有1000名高三學(xué)生,學(xué)生們的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（90.25）,那么數(shù)學(xué)成績(jī)滿

足95<X<100的學(xué)生人數(shù)大約有（保留整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：6827.「（“一2<<*《〃+2。）弋0.9545.

14.在四面體ABCD中.△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.△ABD是以BD為斜邊的等腰11角

三角形.平面ABD」.平面ABC,則四面體ABCD的外接球的表面積為.

15.安排高二年級(jí)一、二兩個(gè)班一天的數(shù).用、外、物、體,一班的化學(xué)及二班的政治各六節(jié)課.要求

體育課兩個(gè)班一起上,但不能排在第一節(jié)；由于選課之故,一班的化學(xué)和二班的政治要安排在

同-節(jié)；其他語、數(shù)、外、初四科由同一任課教肺分班上課?則不同的排課方法共TT種.

16.在aABC中，BC=3.AC=4./ACB=90\D在邊AB上（不與端點(diǎn)重合）.延長(zhǎng)CD到P.使

得CP=9,當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí).PD的長(zhǎng)度為：若育=，”啟+（今一力）港

（，”為常數(shù).m/0且卜則BD的長(zhǎng)度是.

四、解答嶷：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）在①AB=21.②/ADB=135-.③/BAD=/C這三個(gè)條件中任選一個(gè).補(bǔ)充在下

面的問翹中,使得問超成立.并求BD的長(zhǎng)和△ABC的面積.

如圖.在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn).AD_LAC.AD=l.sin/BAC=

嶂、.求BD的長(zhǎng)和△ABC的面積.R~~hC

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答.按第?個(gè)解答計(jì)分.

is.(12分)已知S.是數(shù)列”.：的前”項(xiàng)和必=3.且當(dāng)")2時(shí).S..手.S1成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式:

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足&.=—3若小包.…?穩(wěn)?求正整數(shù)”的值?

19.(12分)如圖.在三校柱八加’一4，，(中.X'=BB=2Br=2./(BB：=

2/CAH=9>?且平面ABC」平面BCCB.

(1)求證：平面ABC1平面AC以；

(2)設(shè)點(diǎn)P為克線BC的中點(diǎn).求真線A,P與平面ACBi所成角的正弦值.

20.(12分)已知橢圓<+4=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)和上IS點(diǎn)分別為點(diǎn)F(<.”>(/,><>心和點(diǎn)A.

ab

ft線6.7—5y-14=0交橢圓于B.C兩點(diǎn).且F恰好為△ABC的重心.

(1)求橢圓的離心率，

(2)拋物線V=2Ar的焦點(diǎn)是F.P為拋物線潛線上任一點(diǎn).過點(diǎn)PH：拋物線的切線PD.PE.

切點(diǎn)分別為D,E.f［線上=()與T［線PE>.PE分別交于M.N兩點(diǎn)，點(diǎn)、M.N的縱坐標(biāo)分別為

m求rnn的值.

21.(12分)北京冬奧會(huì)于2022年2月4日在北京開幕,為了解決比賽中的計(jì)分問題.運(yùn)用計(jì)算機(jī)

編程.設(shè)計(jì)一個(gè)將輸人的正整數(shù)F?歸零”的程序如下:按下回車鍵.等可能的將［0.D中的任意

一個(gè)整數(shù)皆換A的值并輸出A的值.反復(fù)按回車犍執(zhí)行以上操作直到輸出氏=()后終止操作.

(1)若輸入的初蛤值A(chǔ)為3.記接回車鍵的次數(shù)為八求￡的概率分布與數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)輸入的初始值為A&eN-).求運(yùn)行??歸零”程序中輸出1)的概率.

22.(12分)已知函數(shù)/(/)=：+*nr(“eR).g(T)=M-.r-；

(1)討論/(工)的單崗性；

(2)若函數(shù)F(工)=/Cr)+gGr)存在兩個(gè)極值點(diǎn)了】.4.且曲線y=F(z)在l=處的切

線方程為y=G(.r).求使不等式F(.r)VG(i)成立的I的取值范限.怨竟笆像聲檢片聲葭

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一芍試

數(shù)學(xué)試題詳解答案

因?yàn)槿?一」?，

1.BU=(-2l,02)A=(-2,-l),7.A雙.的蛾：—^-=1的潮近線方錢為y—±烏工.

B=(-2,—1,0???所以t/A=(0.1.2MH(C/A)OB=

(o.ih?a粕物線丁=2扭■(篦>0)的準(zhǔn)蛾方程為:=一令.由總

■得A(—.與p)?B(—與，—亨,)?；?IAB|=

事外IFA|=|FBI="+(%)’=竽八又

△ABF的周長(zhǎng)為4后????|FA|+|FB|+|AB|=

一力+平3+岑。=4反第那。=2.秋選A

8.A?；/lny="=zx.祥Tny=cr?則￡=lny,y=d.

所以伉v.H,即v;l,JL:=lnx<v.-=7^-=]—

yln>Iny

1?即鐮上工>,>4,故選A.

9.AC對(duì)于A?當(dāng)/與m不垂直/,假設(shè)/_La,那么由

/117一定能群列/_1_切,這與已知條件矛盾.因此/與

a一走不垂直,A正確：易知B錯(cuò)誤，由，〃切可以推

出/〃a?怛是由/〃a不一定能推出/〃切?因此，〃刖

是/〃a的充分不必要條件.C正項(xiàng)】劉/與a相交,則

/與m相交版異面.D錯(cuò)誤.散選AC

3JT—/?(Xx^2.

1BC當(dāng)上>0寸,/Cr)=，m(工一2).,0<

I?r二Z?

In

4.B當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式是三葉?第二個(gè)多&式中是工/.x<2寸，令3“一》=2?薩祥工=1或2共有兩個(gè)

此葉?一?。(一"C；y?=-5/y,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)園式,是?，學(xué)x>2時(shí),全空二二2=2?郎(〃》—2)工=2m?

2yH.第二個(gè)多看式中是二少?此葉不可能?散Py4x

的系敕為一5,故選B.當(dāng)?方程無解：當(dāng)時(shí)?/="二、，符

m=2?tm>2m-Z2

工A,=島汀=洋帚==一品7T所以其前2Ml

合理章?方程有1解；者m<2?,工=衛(wèi)\<2.不

m-Z

""為吉-力擊得+…+一

yy=符合理意.方程無制；所以當(dāng)x>0?t./(x)=2有

2個(gè)敗3個(gè)維?而函敕〃上)是定義在R上的制西

<n+l>!'''敝.所以函4tg(x)=八/)一2在定義城內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)可能是4所6,故選BC

<g(x)=sin^2^x—^~)]=sin(2x—

11.BC由A".萬)如A為角g■終邊上一點(diǎn),所以

/(x)g(x)=sin(2?z—Jsin2x="1"siif2x-^sin2x

B(2cos(^■—6).2sin(辛-0)).所以/(")=

c-Sn4xi”(l，一

=-----------4-----------=------------i----------——J)+2cos(-6)=2j^ssi(—0-\~~)=

以當(dāng)=-1時(shí)?、=有最大值2>/f應(yīng)11(苫-6)=260)3(6一&).人正確.g《8)=

為94c…，(『).(1：麴鞭褫行曾

當(dāng)d=金時(shí)./”)=ABD?..?R4_L平面ABC?則DA_1_AC?可得DA.AB.

AC兩兩互相垂直,且DA=AB=AC=^X2=".

2々;小夕)=4?/("》一8/3)=—24/2<、錯(cuò)誤.對(duì)

于屋仍.當(dāng)_令吟_澳<湊,中金vy11%以A為項(xiàng)點(diǎn)?AB.AC?AD為過A點(diǎn)的三條依構(gòu)造

正方休?可得四面冰ABCD外掛球的半徑口=

g(8)單調(diào)遞增；時(shí)于，(少?專一”V僉一人°?即僉V—>/(￡)'+《。了+(0*=亨.J四面體ABCD

人皆時(shí)J9)單調(diào)逋增；所以人力與g(6)都在￡的外接球的裊面釵為4nR:=4nX(§『=6兀

同(各稱)上單調(diào)遞增.D正確.我選BC

答案：6n

12.BD由理惠可許/《了)=1|1工一。+1,所以人工)在K.解析：根據(jù)近房?分3步進(jìn)行分析：①缽育課妥求兩

上單調(diào)逼成,在(17.+8)上單調(diào)遞增：個(gè)也一起上?但不能持在第一節(jié)?體育課的持法有5

林；②一成的化學(xué)和二班的政治要安排在同一節(jié).

-g'(1)=:13一￡所以g(z)在《一F.-1;

e則這兩節(jié)的持法有5針，③制下日科?不能安擇在

語建增，在(a+l,+8)上單調(diào)通或，①若匕即同一節(jié)上課，假設(shè)安排在第一,二、三.四節(jié),對(duì)于一

生，,有，G)&U?eJ上單調(diào)遞或?則/(x)^［e(l-u).班?有A；鐘安邦方法?假謾語文持在第一節(jié)?對(duì)于

—a1?而a+l>l?則g(工)在［―1?1］上單調(diào)遞增?二班,語文不能排在第一節(jié)?有3仲排法?軻下3科

焦爪”)￡［——+1),匕3)有一。(1+")'二《1-a)?有3鐘邦法?則軻下4科有24X9=216針擇法，故

有5X5X216=5400科持法.

—>，?符合號(hào)由②若??.答案：5400

16.解析：吉D為AB中點(diǎn)M

在［1?e讓單調(diào)遞增，財(cái)fG)u［―a?e(l-a)］.若OR

時(shí)，在EiABC中.BC=—

a<l.?gG)在［一1?1］上單調(diào)遞增?則gGr)￡

3,AC=4,ZACS=

F-e(l+a)JJ］?有一e《a+D-，?只《1J

90*.愿AB=5,所以

e(l-a)，得a=1卜若a《一2??用g(i)在［-1?口上AB

CD=Y=胃■?又

單調(diào)遞減?則g(x),［1「.-(Kl+a)］.有-e(1+

CP=9?所以PD=CP-CD=9-y=y.MTD

a)Ve(l—a)?不符合；若一2VaV0,有g(shù)(x)?M=

AAB中點(diǎn)叭PD的長(zhǎng)度為號(hào).PC=mPA+

g(d+1)=^Y.t一匕(1—a)?不苻合.③若1/

(~~—m\PB(m為常4t?”i#0且m#“國(guó)以

</(工)即=/(1|)=-di/(x)n.B=niax(e(l—

a).—a}?而a+l>l.則8(1)在［—1?1］上單調(diào)速C為坐標(biāo)原點(diǎn)?分別以CA.CB所在支線為工.》軸

Jf,JHg(x)6又有一?盛立平面直角坐標(biāo)系?則A(4.0).B(0.3).^PC=

mPA+--m)PB=m(PC4-CA)4-

一e(1+a)>^max(e(l—a).-a),擇合

(卷-一叫面+雷,整理得I=-2mCA4-(3-

我怠?0上所述?a2l?ita的取值范圍為［1.

+8).故選BD.

2m)CB——2m<4.0)4-(2m-3)(0.3)=(-8m.6m—

13.解析：柜據(jù)國(guó)*,X服從正方分布N(90.251?其中

9).由CP=9,得64m——9>=81.斛仔“，或

〃=90?0=5,又由95=〃+a?100=〃+2(j?P(〃一

X^t+a)?0.6827?P(〃-ZtryX7〃+&)?0.9545.

m=0(含比PC的方程為v=F?上直線

則P(〃小、\,「，)="―orn

AB的方程為告+冬=1,聚立兩支妓方錢可得了=

0.1359?則做學(xué)成績(jī)滿足95、X、100的學(xué)生人數(shù)

大的有1000X。.1359~136.Tm-y=3-2,"."D償溺).；.\BD\=

答案：136

14.解析：,?△ABD是以BD為轎邊的手段直角三角V(S)：+(B_3)=T-二BD的長(zhǎng)］是祟

希，,AB_LAD?AB=AD.由???平面ABDj_平面

答案號(hào)號(hào)漏碰藥看跳著

ABC.平面ABDH平面ABC=AB.ADU平面

17.解：選條件①，sinZBAC=sin（90*+/BAD）=cos^_ADB=_g?sinz_ADB=—―

（4分）

cos/BAD=今冬

所以sinB=sin（/BAD+/ADB）=整'

所以sinZBAD=@.（2分）

5（-旬+竽x繕得

在A.4BD中?由余弦定理?爵BD=

ABAD

Q25C-2X2石乂1乂唔=713.（4分）在“BD中?由正弦定理?得

sinz^ADBsinB

BD：二竽?卬—

在ABD中.由正弦定理,得喝用=（6分）

sm乙ADbsin-BAD

BD到2Vo_/L3,因?yàn)閟inC=d?所以co$。=.所以S"C=；，

sin/BAP*即、tn/ADB-53c

T所以AC=2.（8分）

所以△ABC的面秘為孚X2X孚=告.

所以MILADB=（6分）

（10分）

所以、in/.ADC=2,3,eg/AfX?=—^―.所以18.解：（1）由題意知當(dāng)Bj,S.+S.T=叫,

、，+S.r=MS.-S.r）.整理得?S.=暮、

IM/ADC=5"?所以AC=,.

（1分）

所以AABC的面枳為3x26x9x給=3?由s=q=3...?$=%x號(hào)X匚1xRx…義

n—1Z力—3w-4

43，

（10分）號(hào)乂,'3=?（/+〃）.經(jīng)檢驗(yàn)，$=3也符合.故

選條件②?sinZBAC=sin（90,+/BAD）=

cos/RAD—V^?$=亳（/+”）.（3分）

：?當(dāng)〃及2時(shí)必—S?—=/（/+“）—!"［（〃一

所以sinjBAD=§.（2分）

一l）］=3n.

所以sinB=sin（/BAD+135"）=Tx（-f）+由“1=3也淌足a.=3%（5分）

；?數(shù)列（a?的通項(xiàng)公式為a.=3n.（6分）

竽x妥簾“分）rU.Z?\CQ?.9.1/-I”-1―

（2）由（1）得仇=17=1f=——X

研nn"n

在△ABD中.由正弦定理.得不黑彳=能=吐匕（8分）

n

?it!_I.3.2,4...3、.

而%?得.=后??4?8..........圾-X--—X—?-X

BD=/2.（6分）?.：…匚“廿1=用.<10分）

4nnZn

因?yàn)镹ADB=135,所以/ADC=45?，所以AC=1?

由中=黑?得"=88.（12分）

（8分）4〃I/O

所以ZMBC的面枳為?|?x6x1乂蜉=L19.（1）證明：因?yàn)锳C=2BC=2,所以BC=1

因?yàn)?jCAB="|"，所以_CAB=亳.

（10分）

",A"fBCAC1_2

選條件③?sinZBAC=sin（90*+/BAD）=在二,41"中.---r=--Q.BHPn---=--Q.

sinAsinBnsinB

一

C8NBAU=^^o

所以sinB=1,即ABJ_BC?（2分）

所以sinZBAD=^-.（2分）乂因?yàn)槠矫鍭BC1平面BC（B?平面ABC。平面

B|GCB=BC,ABU平面ABC.

因?yàn)?BAD=/C,所以sinC=^.所以4B1平面BCCB.

5

又B.CU平面BiQCB.所以ABJ_B,CL

在RtAACD中?可得cosZADC=g.所以&AB,BC+.B,B=亍.匚頭弟'建教得尉措

化算可用2d=56?.（4分）

所以A（V=BlB：+BC；—2B|B-BC?cos?=3,

即BiC=73.由①②以及/=6'+「.解得1&=2.

所以BC_LBC.（5分）|c=l.

而AB_LBC?ABU平血ABC.BCU平面ABC,ABf）

所以<?=￡=￡.（6分）

BC=B.a5

所以BC-平面ABC（2）拋物線y=2.的焦點(diǎn)是F（I.O）.

乂BiCC平面4cBi?所以平面ABC」_平面ACB.

（則g~=l,所以p—2.

（6分）

（2）解:在平面ABC中過點(diǎn)'所麒拋物線的方程為V=4n（7分）

c作AC的垂線CE，xfSC^L7?c,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為《一】?門）?

以c為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以/

設(shè)直線尸D的方程為y=JhQ+D+>,設(shè)直線PE

CA.CE.CBi所在直線為/\A/

的方程為y=&（i+l）+”?

了.門：軸建立如圖所示的/\V

/=4工，

聯(lián)立方程組可得

空間直角坐標(biāo)系?：—濕0fy=Ai（工+1）+”.-4y+

4Al+4?=0.

則C（0.0.0）,B（—."^.O）.1E

所葭△=16—4尢《4相+4”）=0.

A<2.0.0）.Bt（0.0-/3）.則有好+?加一1=0，（9分）

廉取同理可得，層+"At—1=0?

故和?月是方程A+yM-l=0的兩個(gè)根，

所以A/=（一丁.乎.一萬卜所以（?："=1"’分別令工=0,可得，”=加+

Hf

平面用的一個(gè)法向量為〃=（）（分）

AC0,1.0,10>>「?”=Ax+yP?故mn=*1+》>）（A：+y/）=y%+

設(shè)直線AP與平面ACBi所成的角為a?（3+%”儼+4%=-1.（12分）

則直線AZ與平面ACBi所成角的正弦值為

21.解：（"（「3）=+乂+=+?「（『2）=!><

sina-?cos<A^P.n=——‘''”—=

IA.PI?Iitl-y4--1-=--.P<e=（3分）

3/3

則S的概率分布如下表：

".一L一嚼（12分）

Vn+§+3123

11

20.解式D由九意可知?F（c?0）,A（0，）?P

T~2—

設(shè)B（.r）,vj）.C（xx.%）.線段B0的中點(diǎn)為G。。.3）,

由三角形重心的性質(zhì)可知.酢=2甫.即<c.-6=所以E（S）=lxl+2x4-+3X』=杯.（3分）

2（1°—<■?>#）?

（2）設(shè)運(yùn)行“歸零”程序中輸出，（Ow（rr&A-l）的概

--=―-^■.故G（寺,一一

率為匕，得出匕=擊.（7分）

將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入直線6x-5v-14=0,可得%+

5法一：則匕=p.+tX1]+P.+XX不方+尸?+?X

g-14=0（D.（2分）二

乂G為線段BC的中點(diǎn)，?J■一|???+p_.x].

刁+3-1A

則xi4-x：=3c?M+g=—&?