2022-2023學年河北省滄州市高一年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年河北省滄州市高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的運算律和復數(shù)的模的公式可得.【詳解】，所以.故選：B2．一組數(shù)據(jù)，5，6，7，7，8，11，12的平均數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（

）A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【答案】C【分析】先由平均數(shù)可求出，再根據(jù)中位數(shù)的定義判定即可.【詳解】由題意得，解得，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：C.3．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】首先求出，的坐標，再根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，，又，，解得.故選：A4．設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列結(jié)論：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則至少與，中一個平行則下列說法正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②③【答案】C【分析】根據(jù)空間中的直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于①，垂直于同一條直線的兩個平面平行，所以①正確；對于②，若，，則或，所以②錯誤；對于③，由，得或與相交，故③錯誤；對于④，，，則至少與，中一個平行，故④正確．故選：C．5．1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式：（，為虛數(shù)單位），這個公式在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)此公式，可知（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所給公式，變形整理化簡即可.【詳解】由題意可知，.故選：A6．某圓臺的側(cè)面展開是一個半圓環(huán)（如圖所示），且其中內(nèi)、外半圓弧所在圓的半徑分別為2和6，則該圓臺的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓臺的體積公式求解.【詳解】設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，，所以，，且圓臺的母線長為，則圓臺的高為,所以圓臺的體積為,故選：.7．甲班和乙班同學在體育課上進行拔河比賽，比賽采取三場兩勝制（當一個班獲得兩場勝利時，該班獲勝，比賽結(jié)束），假設每場比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽結(jié)果互不影響，則甲班最終獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意甲班最終獲勝分三種情況進行討論，進而求出結(jié)果.【詳解】甲班最終獲勝有三種情況：①甲班前兩場獲勝；②甲班第1場和第3場獲勝，第2場輸；③甲班第1場輸，第2場和第3場獲勝.故甲班最終獲勝的概率為.故選：D.8．在中，，，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)條件確定是等邊三角形，再建立坐標系，用坐標法求數(shù)量積的范圍.【詳解】，，，，可得，，，若，則，，，可得，，，即，即是等邊三角形.如圖所示，以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，，，.由題意設，則，，.因為，所以.故選：C.

二、多選題9．已知，為復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則與的虛部相等C．若，則或 D．若，則【答案】AC【分析】對于可直接利用復數(shù)的性質(zhì)進行判斷；對于C，通過取模運算即可判定；對于D，取特殊值可判定.【詳解】對于A，若，則和互為共軛復數(shù)，所以，故A正確；對于B，若，則與的虛部互為相反數(shù)，故B錯誤；對于C，若，則，所以或，可得或，故C正確；對于D，取，，可得，故D錯誤.故選：10．某校組織“校園安全”知識測試，隨機調(diào)查600名學生，將他們的測試成績（滿分100分）按照，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（

）

A．圖中B．估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85C．若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表，則這600名學生成績的平均數(shù)約為79.5D．若按各組人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取30名成績低于80分的學生，則成績在內(nèi)的學生應抽取10人【答案】BCD【分析】利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1計算判斷A；利用頻率分布直方圖結(jié)合第p百分位數(shù)、平均數(shù)的意義計算判斷BC；利用分層抽樣求出抽取的人數(shù)作答.【詳解】對于A，由圖知，解得，A錯誤；對于B，成績在內(nèi)對應的頻率為，成績在內(nèi)對應的頻率為，因此第60百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，，所以估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85，B正確；對于C，平均數(shù)約為，C正確；對于D，成績低于80分的三組學生的人數(shù)之比為，則應選取成績在內(nèi)的學生人數(shù)為，D正確.故選：BCD11．已知正方形的邊長為2，向量，滿足，，則（

）A． B．C．在上的投影向量的模為 D．【答案】BD【分析】利用條件表示出，進而可以判斷A錯誤；利用向量的數(shù)量積運算可以判斷B正確；利用投影向量的定義即可判斷C錯誤；由可以判斷D正確.【詳解】對于A，由已知可得，在正方形中可得，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，在上的投影向量的模為，故C錯誤；對于D，，又與均不是零向量，所以，故D正確.故選：BD.12．如圖，已知點在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑，，為圓柱的兩條母線，且，，，則（

）

A．平面B．直線與平面所成的角的正切值為C．直線與直線所成的角的余弦值為D．點到平面的距離為【答案】ACD【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用異面直線所成角的定義可判斷C選項；利用等體積法求出點到平面的距離，可判斷D選項.【詳解】對于A，由已知得平面，平面，所以，又因為是底面圓的直徑，在圓周上且異于、兩點，所以，又，、平面，所以平面，故A正確；對于B，因為平面，所以直線與平面所成的角為，因為，則，所以，，，故，故直線與平面所成的角的正切值為，故B錯誤；對于C，連接，

因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以直線與直線所成的角為或其補角，在中，，，所以，故C正確；對于D，設點到平面的距離為，則，即，又，，所以，解得，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．如圖，一個水平放置的的斜二測畫法的直觀圖是等腰直角三角形，若，則原三角形的面積為.【答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行，長度不變；與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行，長度減半，分別求出的長度，即可求出面積.【詳解】根據(jù)題意可得，在中，，，所以的面積為故答案為：.14．甲、乙各自從“籃球”“足球”“排球”“游泳”“體操”5個社團中隨機選擇1個社團加入，且他們加入的社團不同，則他們加入的都是球類運動社團的概率是.【答案】/0.3【分析】先找到5個社團選兩個分給兩個人的個數(shù)為20，再找到3個球類運動社團選兩個的個數(shù)有6個，從而求得概率.【詳解】總的樣本點的個數(shù)為20，事件“他們加入的都是球類運動社團”包含的樣本點有6個，故所求概率為.故答案為：.15．在中，點滿足，若線段上的一點滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用向量三點共線定理得到即可.【詳解】，，.，，三點共線，，，，，.故答案為：16．如今中國被譽為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋.高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領先水平.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切.設，則該模型中5個球的表面積之和為.

【答案】【分析】把正四面體分割成以內(nèi)切球球心為頂點的個小三棱錐，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，進一步計算即可.【詳解】如圖所示，

設為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長為，高為，的中點為，連接，，，，，，則，正四面體的高.因為，所以，所以；設小球的半徑為，小球也可看作一個小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，所以；故該模型中5個球的表面積之和為.故答案為：.四、解答題17．已知復數(shù)（為正實數(shù)），且.(1)求；(2)若在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；（2）由共軛復數(shù)和復數(shù)的乘法運算化簡，再由題意可知，解不等式即可得出答案.【詳解】（1）由為實數(shù)，可得，解得，因為，所以.所以.（2）由（1）可知，所以因為在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.18．如圖所示，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，，且，，分別是，的中點.

(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件可以證明平面，平面，進而可以證明平面平面；（2）利用條件可以求出到平面的距離，進而利用體積公式可以求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，是的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，從而.因為平面，平面，所以平面.同理平面，又，所以平面平面.（2）設的中點為，連接，則.

因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面，所以到平面的距離為，所以.19．根據(jù)城市空氣質(zhì)量污染指數(shù)的分級標準，空氣污染指數(shù)（API）不大于100時，空氣質(zhì)量為優(yōu)良.某城市環(huán)境監(jiān)測部門從上個月的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)中隨機抽取5天的空氣污染指數(shù)，所得數(shù)據(jù)分別為90，110，，，150，已知這5天的空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為110.(1)若，從這5天中任選2天，求這2天空氣質(zhì)量均為優(yōu)良的概率；(2)若，求這5天空氣污染指數(shù)的方差的最小值.【答案】(1)(2)440【分析】（1）由這5天的空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為110可得，從而，再用古典概型的計算方法即可求解；（2）由方差的計算公式可得，根據(jù)的范圍即可求其最小值,【詳解】（1）由題意知，則.因為，所以.從這5天中任選2天，所有的結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種，這2天的空氣質(zhì)量均為優(yōu)良的結(jié)果為，只有1種，故所求的概率為.（2）方差，因為，所以當時，的值最小，最小值為440.20．已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，證明：是直角三角形.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】化簡條件，利用余弦定理即可求得；利用正弦定理，把題中邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，進一步計算即可求得.【詳解】（1）由整理可得，由余弦定理可得，又，.（2）由及正弦定理，可得，，，，，，即是直角三角形.21．為了保護一件珍貴文物，博物館需要用一個密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的幾何模型如圖，上部分是正四棱錐，下部分是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍.

(1)若，，求玻璃罩的容積是多少升（玻璃厚度不計）；(2)若，當為多少時，下部分的正四棱柱側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？【答案】(1)(2)當時，正四棱柱側(cè)面積最大，最大為【分析】（1）根據(jù)題意可知，再根據(jù)錐體的體積公式和柱體的體積公式即可求出結(jié)果.（2）連接，設，根據(jù)題意和勾股定理用表示出，，的長度，再根據(jù)面積公式可得正四棱柱的側(cè)面積，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）（1），.玻璃罩的容積.（2）連接，設，

則，，，正四棱柱的側(cè)面積.，當且僅當，即時，取等號.當時，正四棱柱側(cè)面積最大，最大為.22．某大學為調(diào)研學生在，兩家餐廳用餐的滿意度，從在，兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了200人，分別對這兩家餐廳進行評分，滿分為60分.整理評分數(shù)據(jù)，將評分分成6組：，，，，得到餐廳評分的頻率分布直方圖，以及餐廳評分的頻數(shù)分布表如下：

餐廳評分的頻數(shù)分布表評分區(qū)間頻數(shù)4610308070根據(jù)學生對餐廳的評分定義學生對餐廳的“滿意度指數(shù)”如下：評分滿意度指數(shù)123(1)在調(diào)查的200名學生中，求對餐廳的滿意度指數(shù)為2的人數(shù)；(2)從該大學再隨機抽取1名在，餐廳都用過餐的學生進行調(diào)查，用樣本中不同的滿意度指數(shù)的頻率估計這名學生對應的滿意度指數(shù)的概率，假設他對，餐廳的評分互不影響，求他對餐廳的