2022-2023學(xué)年河北省唐山市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省唐山市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：D2．已知向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，，，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B3．已知為虛數(shù)單位，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理可得也是方程的根，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得.故選：A4．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)底面半徑為，高為，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)即為底面周長(zhǎng)求出，再由勾股定理求出，最后由錐體體積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意圓錐的母線，設(shè)底面半徑為，高為，則，解得，所以，則圓錐的體積.故選：C5．小明為了加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì)，從網(wǎng)上購(gòu)買了一對(duì)大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個(gè)全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓柱的體積公式，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榇髨A柱的底面直徑是8cm，高為2cm，故兩個(gè)大圓柱的體積為，又連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，故連桿圓柱的體積為，所以一只健身啞鈴的體積為.故選：C.6．如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面四邊形的直觀圖，其中，，則平面四邊形的面積為（

）

A．10 B． C． D．20【答案】B【分析】根據(jù)題意利用斜二測(cè)畫法得到原圖形，即可求出其面積.【詳解】設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則，，原圖形如圖所示：，，故.故選：B.7．已知，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則等于（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】直接根據(jù)正弦定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大邊對(duì)大角等隱含條件，注意多解情況的處理，屬于基礎(chǔ)題．8．正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個(gè)小球，則小球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)小球與正四棱錐各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，計(jì)算求解即可．【詳解】當(dāng)小球與正四棱錐各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，設(shè)小球的半徑為，

由底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，可得正四棱錐的高，所以，又側(cè)面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．二、多選題9．下列四個(gè)命題中，真命題是（

）A．兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B．四邊形可以確定一個(gè)平面C．若直線，相交，且平面，則D．若直線平面，直線平面，則【答案】AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用確定平面的條件和點(diǎn)、線、面的包含關(guān)系即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，通過特殊四邊形即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，利用直線與平面平行的定義和直線與平面的位置關(guān)系即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，利用平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系即可判斷出正誤.【詳解】選項(xiàng)A，設(shè)，不重合，易知可確定唯一平面，又，所以，又，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)?，平面，所以面，故，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€平面，直線平面，則或與相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.10．在正方形中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．存在，使得D．的最小值為2【答案】AD【分析】根據(jù)給定的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由，得，由，得，，對(duì)于A，，而，則，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，而方程無實(shí)根，則不存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：AD11．如圖，，，，為三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，下列圖形中，直線與是異面直線的為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】由異面直線的定義判斷A與D；由平行公理判斷B；利用反證法思想說明C．【詳解】對(duì)于A，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故A正確；對(duì)于B，如圖，

、為所在棱的中點(diǎn)，所以，又，由平行公理可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，

分別取底面三角形兩邊的中點(diǎn)，，連接，，則且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因?yàn)榕c無公共點(diǎn)，若與平行，得到與平行，這樣矛盾，可得與異面，故C正確；對(duì)于D，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故D正確．故選：ACD．12．在中，角的對(duì)邊分別為，下列說法正確的是（

）A．若，，則為等邊三角形B．是成立的充要條件C．若的面積為，則D．若點(diǎn)滿足，且，則【答案】ABD【分析】利用正弦、余弦定理，三角形面積公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大邊?duì)大角，得，又以上過程均可逆，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，如圖，在中，，在中，，兩式相比得，因?yàn)?，且，所以，，且，所以，故，所以選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.三、填空題13．若復(fù)數(shù)，，，其中，為實(shí)數(shù)，則.【答案】【分析】先根據(jù)，其中，為實(shí)數(shù)，利用復(fù)數(shù)相等求得x，y求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)，，，其中，為實(shí)數(shù)，所以，解得，則，，所以，故答案為：14．已知，，，且，，三點(diǎn)共線，則.【答案】【分析】由三點(diǎn)共線，得，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求.【詳解】三點(diǎn)共線，.，.故答案為：.15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若邊上的高為，且滿足，則.【答案】【分析】利用面積公式及條件得到，再利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，得到，又因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，即，所?故答案為：.16．已知四點(diǎn)，，，在半徑為1的圓上，，則的最大值為.【答案】【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取，，設(shè)，則，，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)求最值．【詳解】因?yàn)榍覉A的半徑為，所以與所對(duì)的圓心角均為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取，，

設(shè)，則，，則，，，，；．．當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將向量轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角恒等變換公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.四、解答題17．已知向量與滿足，，與的夾角為.(1)求；(2)求；(3)當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用數(shù)量積的定義直接計(jì)算作答.（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合（1）的結(jié)論求解作答.（3）利用垂直關(guān)系的向量表示不解作答.【詳解】（1）因?yàn)?，，與的夾角為，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，.18．已知，，復(fù)數(shù)，且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，得到，再根據(jù)條件得到，又由題設(shè)知，從而求出得到結(jié)果；（2）利用（1）中的結(jié)果和復(fù)數(shù)的除法，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19．如圖，圓錐的底面半徑，母線的長(zhǎng)為3，為上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn).

(1)求繩子的最短長(zhǎng)度；(2)過點(diǎn)作一個(gè)與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）將圓錐側(cè)面沿母線展開可得一扇形，連接，此時(shí)繩子的長(zhǎng)度最短，計(jì)算即可；（2）上部分圓錐體積為，下部分圓臺(tái)體積為，設(shè)大圓錐體積為，分別計(jì)算即可.【詳解】（1）將圓錐側(cè)面沿母線展開可得一扇形，連接，此時(shí)繩子的長(zhǎng)度最短，

在中，，，設(shè)，因?yàn)閳A錐的底面半徑，母線的長(zhǎng)為3，則，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即最短繩長(zhǎng)為.（2）過點(diǎn)作與底面平行的截面，將圓錐分為上下兩部分，

上部分圓錐體積為，下部分圓臺(tái)體積為，設(shè)大圓錐體積為，則，即，，所以.20．在中，，，為的平分線，在邊上.

(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，利用余弦定理，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)，結(jié)合面積公式，求得，得到，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，由余弦定理可得，所以，即邊的長(zhǎng)為.（2）解：設(shè)，由，可得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所?21．如圖，某景區(qū)綠化規(guī)劃中，有一塊等腰直角三角形空地，，，為上一點(diǎn)，滿足.現(xiàn)欲在邊界，（不包括端點(diǎn)）上分別選取，兩點(diǎn)，并在四邊形區(qū)域內(nèi)種植花卉，且，設(shè).

(1)證明：；(2)為何值時(shí)，花卉種植的面積占整個(gè)空地面積的一半？【答案】(1)證明過程見解析(2)時(shí)，花卉種植的面積占整個(gè)空地面積的一半【分析】（1）先得到，，再利用正弦定理得到答案.（2）計(jì)算出整個(gè)空地面積，設(shè)m，則m，利用正弦定理及面積關(guān)系得到，化弦為切，求出正切值.【詳解】（1）由題意得，，，因?yàn)?，，四邊形?nèi)角和等于，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，證畢；（2）由題意得m，故，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)m，則m，在中，由正弦定理得，即，解得①，由三角形面積公式得，，故，所以②，由①②得，化簡(jiǎn)得，分子分母同除以得，解得22．如圖，扇形的半徑為2，圓心角為，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且于，于.設(shè)，將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，由圖中空白部分旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積記為，體積記為.

(1)若，求；(2)當(dāng)為多大時(shí)，最