2022-2023學年河南省南陽市六校高二年級下冊學期期末考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年河南省南陽市六校高二下學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1．已知變量關(guān)于的線性回歸方程為，且，，則時，預(yù)測的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)回歸直線過點，代入回歸方程計算得的值，再將代入回歸方程計算即可得答案.【詳解】因為回歸直線過點，所以，得，所以所以時，預(yù)測的值為．故選：C2．已知等比數(shù)列的前項和為，，則（

）A．16 B．8 C．6 D．2【答案】D【分析】先利用等比數(shù)列前項和公式及性質(zhì)求出公比，然后利用等比數(shù)列通項公式求出首項即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，即，可得，即，又，所以．故選：D.3．已知O為坐標原點，為一個動點．條件p：O，A，三點共線；條件q：動點A在拋物線上，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由列式整理可知p是q的充分條件，取原點驗證可知p是q的不必要條件，然后可得答案.【詳解】當動點A滿足p時，直線OB的斜率存在，且不為0，有，即，化簡得，p是q的充分條件；反之，拋物線的頂點并不滿足p，p是q的不必要條件．故選：A．4．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為C的右支上一點．若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，然后由公式可得，即可得漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為．由題可知，，則，所以，所以，所以C的漸近線方程為．故選：C5．給出新定義：設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，是的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為的“拐點”，已知函數(shù)的一個拐點是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】二次求導，根據(jù)拐點定義求得，然后代入函數(shù)可得.【詳解】由題可知，，結(jié)合題意知，即，又，所以，所以．故選：B6．已知F為拋物線的焦點，點在拋物線上．若，，則（

）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】根據(jù)拋物線方程可得，準線為，結(jié)合拋物線的定義可得，，進而結(jié)合題意可得，進而得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】由拋物線，可得，準線為，根據(jù)拋物線的定義可得，，，所以，故數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，因為，所以，所以，所以．故選：C.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性求解.【詳解】由題可知．設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，由的單調(diào)性可知，即，即，故．故選：A．8．已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點，動直線：和：交于點P，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所過定點和位置關(guān)系可得點P軌跡方程，然后利用點到直線的距離公式和兩點間的距離公式可得面積最小值.【詳解】根據(jù)題意可知，動直線過定點，動直線：，即過定點，因為，所以無論m取何值，都有，所以點P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標為，半徑為，設(shè)，則點P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B

二、多選題9．已知向量是平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則下列點也在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】記選項中的四個點依次為A，B，C，D，結(jié)合數(shù)量積的坐標運算驗證，，，是否與垂直即可．【詳解】記選項中的四個點依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與不垂直，故A錯誤；，故與垂直，故B正確；，故與垂直，故C正確；，故與垂直，故D正確；故選：BCD.10．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，a為大于0的常數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．越大，越小 D．【答案】AC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義及對稱性求解即可.【詳解】由題意，X服從正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線的對稱軸為.對于A，因為a大于0，所以，故A正確；對于B，因為，而，所以，故B錯誤；對于C，越大，正態(tài)分布曲線越矮胖，表示總體的分布越分散，故越小，故C正確；對于D，由題可知，故，故D錯誤．故選：AC.11．已知數(shù)列的每一項均為0或1，其前n項和為，數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．數(shù)列的所有可能情況共有種B．若為定值，則恒為0C．若為定值，則為常數(shù)列D．數(shù)列可能為等比數(shù)列【答案】CD【分析】由分步乘法計數(shù)原理可判斷A；為定值，即為定值，則或，分別討論或，求出可判斷B；為定值，即為定值，結(jié)合題意分析知只有能滿足要求可判斷C；取特值可判斷D.【詳解】由分步乘法計數(shù)原理可知的值為0或1，共2種情況，所以數(shù)列的所有可能情況共有種，故A錯誤；為定值，即為定值，由題可知或，當時，，當時，，B錯誤；為定值，即為定值，由題可知為0或1，當時，則，此時無滿足題意解，故只有能滿足要求，所以為常數(shù)列，故C正確；當為1，0，0，…時，，是公比為1的等比數(shù)列，故D正確．故選：CD.12．已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．恒有一個極大值點和一個極小值點B．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是C．若，則直線與的圖象有2個不同的公共點D．若，則有6個不同的零點【答案】ACD【分析】利用導數(shù)討論單調(diào)性，然后可得極值點，可判斷A；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論導函數(shù)符號即可判斷B；利用導數(shù)討論單調(diào)性，作圖分析可判斷C；先解方程，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題可知，因為，所以恒有兩個異號的實根，，不妨設(shè)，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以恒有一個極大值點和一個極小值點，故A正確；因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以對任意的，恒成立，所以，解得a≥1，故B錯誤；若，則，解得，此時，則當時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，又當時，，所以直線與的圖象有2個不同的公共點，故C正確；

若，則，，因為，所以的3個零點為，0，，又，且，所以當分別為，0，時，均有2個不同的x的值與其對應(yīng)，所以有6個不同的零點，故D正確．故選：ACD三、填空題13．若的展開式中的系數(shù)為20，則實數(shù)．【答案】2【分析】利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】由題可知含的項為，則的系數(shù)為，即，解得，故答案為：.14．如圖是《中國生物物種名錄》中記載的2013—2022年中國生物物種及種下單元的數(shù)量變化圖，從中依次不重復地抽取兩個年份的數(shù)據(jù)進行研究，則在第一次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)超過90000的條件下，第二次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)也超過90000的概率為．

【答案】【分析】利用條件概率公式計算即可.【詳解】由圖可知，這10年中物種及種下單元的總數(shù)超過90000的年份為2017—2022年，共6年，設(shè)事件A為“第一次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)超過90000”，事件B為“第二次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)超過90000”，則．故答案為：15．已知正項數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式為．若滿足的正整數(shù)n恰有3個，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列，的單調(diào)性列出不等式組求解即可.【詳解】由題可知數(shù)列單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故，，，，故只需即可，即解得．故答案為：.16．已知函數(shù)，是的導函數(shù)，若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】利用基本不等式判斷出，則在上遞增，求得的最小值，由此化簡不等式，進而求得的取值范圍.【詳解】由題可知，兩處等號不能同時取到，所以，在R上單調(diào)遞增．，當且僅當時等號同時成立，所以．又，所以，解得．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解不等式恒成立問題，可先求得不等式含的一側(cè)的最值（用導數(shù)或基本不等式），然后利用函數(shù)的單調(diào)性來對問題進行求解.利用基本不等式求最值時，要注意等號成立的條件.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式列方程組求首項和公差，然后可得通項公式；（2）由錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為d．因為，，所以，解得.所以，即的通項公式為．（2）由（1）知．所以，，兩式作差得，則．18．如圖，在四棱錐中，，且，平面底面ABCD，是邊長為2的等邊三角形，，，Q為AD的中點，M是棱PC上靠近點C的三等分點．

(1)求證：；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值.【詳解】（1）在中，，Q為AD的中點，所以．因為平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．又平面ABCD，所以．（2）在直角梯形ABCD中，，，Q為AD的中點，所以且，所以四邊形BCDQ為平行四邊形，所以．因為，所以，由（1）可知平面ABCD，所以，以Q為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．

易知平面AQB的一個法向量．因為M是棱PC上靠近點C的三等分點，所以點M的坐標為，所以，．設(shè)平面MQB的法向量為，則即;令x＝3，可得.設(shè)二面角A－QB－M的平面角為θ，則．由圖可知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為．19．已知函數(shù)，，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導數(shù)分析單調(diào)性即可求解；（2）由（1）可知的單調(diào)性，從而求得，進而利用導數(shù)分析的單調(diào)性，從而求得，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析其單調(diào)性，進而求解.【詳解】（1）由題可知的定義域為，．當時，，∵時，；時，；，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知．由已知可得，∵時，；時，；時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴．由，可得．設(shè)，則．∵，，∴在上單調(diào)遞增．∴，又當趨向負無窮時，趨向負無窮，∴b的取值范圍為．20．淄博燒烤走紅契合了公眾“說走就走”的情緒．美食也是生活，更是社會情緒的折射．隨著城市間人口流動的日益頻繁，給自己一個說走就走的旅行，是當下很多年輕人的選擇．為了解年輕人對淄博燒烤的態(tài)度，隨機調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）：非常喜歡感覺一般合計男性a女性2a100合計70(1)求a的值，并判斷是否有95%的把握認為年輕人對淄博燒烤的態(tài)度與性別有關(guān)．(2)從樣本中篩選出4名男性和3名女性共7人作為代表，這7名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡淄博燒烤．現(xiàn)從這7名代表中任選3名男性和2名女性進一步交流，記為這5人中非常喜歡淄博燒烤的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)30，沒有(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得a，然后可完成列聯(lián)表，由卡方公式計算可得；（2）由排列組合與古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解.【詳解】（1）由題可知，解得．2×2列聯(lián)表如下：非常喜歡感覺一般合計男性7030100女性6040100合計13070200，所以沒有95%的把握認為年輕人對淄博燒烤的態(tài)度與性別有關(guān)．（2）設(shè)進一步交流的男性中非常喜歡淄博燒烤的人數(shù)為m，女性中非常喜歡淄博燒烤的人數(shù)為n，則，且的所有可能取值為2，3，4．，，，所以的分布列為234P則．21．已知橢圓C：的左頂點為A，上頂點為B，坐標原點O到直線AB的距離為，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于M，N兩點，直線AM，AN分別與y軸交于P，Q兩點，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和兩點間距離公式，列關(guān)于a，b的方程組求解可得；（2）分斜率存在和不存在討論，當斜率存在時，設(shè)，，利用點M，N坐標表示出P，Q坐標，結(jié)合韋達定理可得.【詳解】（1）由題意知，．因為的面積為，所以①．，因為點O到直線AB的距離為，所以②．由①②結(jié)合可得.所以橢圓C的方程．（2）由（1）可知．當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，代入橢圓方程得，不妨設(shè)此時，，則，直線AM的方程為，當時，，易得，所以．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由，得．設(shè)，，則，．直線AM的方程為，

令，得，即，同理，得．所以．綜上可得．22．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合導數(shù)的四則運算即可得解.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析得時不合題意，從而討論時的情況，利用不等式將問題轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，利用導