北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊 等腰三角形（4課時(shí)）教案

1.1等腰三角形第1課時(shí)全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理.【過程與方法】經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力.【情感態(tài)度價(jià)值觀】啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.【教學(xué)難點(diǎn)】明確推理證明的基本要求,如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等.教學(xué)過程一.情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知提前請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過的8條基本事實(shí)中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.【教學(xué)說明】對(duì)以前所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.二.思考探究，獲取新知1.你能用所學(xué)知識(shí)證明嗎？已知：△ABC與△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代換）.又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.【歸納結(jié)論】（1）兩角相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）；（2）根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；2.等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？【教學(xué)說明】讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過程.具體操作中，可以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙觀察.探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足.【歸納結(jié)論】（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（簡稱為“等邊對(duì)等角”）（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上的高三條線重合.三.運(yùn)用新知，深化理解1.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B、∠C的度數(shù)分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：兩底角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和等于180°來計(jì)算.解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.（等邊對(duì)等角）∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,∴∠B＝∠C＝65°.2.已知在△ABC中，AB＝AC，直線AE交BC于點(diǎn)D，O是AE上一動(dòng)點(diǎn)但不與A重合，且OB＝OC，試猜想AE與BC、BD與CD的關(guān)系，并說明你的猜想的理由.猜想：AE⊥BC，BD＝CD.證明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO＝∠CAO.∴AE為∠BAC的平分線.∴AE⊥BC，BD=CD.3.如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF.請(qǐng)推導(dǎo)下列結(jié)論：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．證明：（1）∵在△ADE與△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,∴△ADE≌△CBF（SSS）.∴∠D=∠B（2）∵△ADE≌△CBF,∴∠AED=∠CFB,∴∠AEO=∠CFO.∵在△AOE與△COF中,∠AEO=∠CFO,∴AE∥CF.4.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,∠BAC=100°.求∠1、∠3、∠B的度數(shù).解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=∠BAC=50°.又∵AD⊥BC,∴∠3=90°.在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C=40°.【教學(xué)說明】在此練習(xí)過程中，一定要注意學(xué)生的書寫格式，必要時(shí)教師要在黑板上板書過程.四.師生互動(dòng),課堂小結(jié)1.學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，較好地運(yùn)用其性質(zhì)解決等腰三角形的問題.2.知道等腰三角形的頂角平分線、底邊中線與底邊上的高互相重合.五.教學(xué)板書六.課后作業(yè)布置作業(yè):教材“習(xí)題1.1”中第1、3題.七.教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)中，要采用小組合作的方式教學(xué)，在小組合作的基礎(chǔ)上教師通過分析、提問，和學(xué)生一起完成以上幾個(gè)性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個(gè)學(xué)生板演證明,其余學(xué)生注意其證明過程的書寫是否規(guī)范.其后，教師作補(bǔ)充強(qiáng)調(diào).第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會(huì)證明的必要性【過程與方法】把等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較，體會(huì)等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處.【情感態(tài)度價(jià)值觀】體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì).【教學(xué)難點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)過程一.情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？【教學(xué)說明】通過提問的形式，復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.二.思考探究，獲取新知探究1.在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明.【歸納結(jié)論】等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等．如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，的證明方法：證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD、CE為∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．你能證明其它兩個(gè)結(jié)論嗎？探究2.求證：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.已知：在△ABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A=∠B=∠C＝60°【歸納結(jié)論】等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.【教學(xué)說明】通過自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測、測量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出結(jié)論.三.運(yùn)用新知，深化理解1.如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD.證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形.∴∠ABE=∠CBD=60°,AB=CB,BE=BD.在△ABE與△CBD中,AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD.∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.2.如圖，△ABC中，AB=AC，E在CA的延長線上，且ED⊥BC于D，求證：AE=AF證明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵ED⊥BC,∴∠B+∠BFD=90°,∠C+∠E=90°,∵∠BFD=∠EFA,∴∠B+∠EFA=90°,∵∠C+∠E=90°,∠B=∠C,∴∠EFA=∠E,∴AE=AF.3.如圖，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度數(shù).解：∵AD=DC，∴∠ACD=∠A=20°,∵∠ACD∶∠BCD=2∶3,∴∠BCD=30°,∴∠ACB=50°,∴∠ABC=110°.【教學(xué)說明】在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步對(duì)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行綜合應(yīng)用，在書寫過程中掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書寫格式四.師生互動(dòng)，課堂小結(jié)掌握證明的基本步驟和書寫格式，經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高），兩底角的平分線相等，等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.五.教學(xué)板書六.課后作業(yè)布置作業(yè):教材“習(xí)題1.2”中第2、3題.七.教學(xué)反思在探究時(shí)，對(duì)學(xué)生探究的結(jié)果予以匯總、點(diǎn)評(píng)，鼓勵(lì)學(xué)生在自己做題目的時(shí)候也要多思多想，并要求學(xué)生對(duì)猜測的結(jié)果給出證明.

第3課時(shí)等腰三角形的判定及反證法教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】探索等腰三角形判定定理,掌握反證法.【過程與方法】理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡單的證明.【情感態(tài)度價(jià)值觀】培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】理解等腰三角形的判定定理.【教學(xué)難點(diǎn)】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用教學(xué)過程一.情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？問題2.我們是如何證明上述定理的？【教學(xué)說明】通過問題回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行交流.二.思考探究，獲取新知1.我們把等腰三角形的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立嗎？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等嗎？【歸納結(jié)論】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.（簡稱：等角對(duì)等邊）2.小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個(gè)直角．引導(dǎo)學(xué)生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?【歸納結(jié)論】都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法．【教學(xué)說明】總結(jié)這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學(xué)生了解.三.運(yùn)用新知，深化理解1.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角對(duì)等邊)．2.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB=12，AC=18，求△AMN的周長.解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.∵M(jìn)N∥BC,∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.∴MB=MD,NC=ND.∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=30.3.如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形.解：∵S△ABC=(AB·CE)=(AC·BD)且BD=CE，∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.4.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求證：△ADE是等腰三角形.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠D=∠C.∴∠D=∠E.∴△ADE是等腰三角形.5.垂直于同一條直線的兩條直線平行.證明：假設(shè)a、b不平行，那么a、b相交∵a⊥c，b⊥c∴∠1=900，∠2=900∴∠1+∠2=180°而a、b相交，則∠1+∠2≠180°與∠1+∠2=180°相矛盾.∴假設(shè)不成立.即：垂直于同一條直線的兩條直線平行【教學(xué)說明】學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.四.師生互動(dòng)，課堂小結(jié)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)的判定的區(qū)別和聯(lián)系．五.教學(xué)板書六.布置作業(yè)舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說理的基本思路.布置作業(yè):教材“習(xí)題1.3”中第1、2、3題.七、教學(xué)反思通過學(xué)生的練習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定定理掌握的較好，而用反證法證明定理的應(yīng)用掌握不夠好，應(yīng)在這方面多加練習(xí)講解.

第4課時(shí)等邊三角形的判定教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡單的問題.【過程與方法】經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維.【情感態(tài)度價(jià)值觀】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.【教學(xué)難點(diǎn)】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用.教學(xué)過程一.情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是什么？2.等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等邊三角形呢？【教學(xué)說明】開門見山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.二.思考探究，獲取新知1.一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請(qǐng)證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.【教學(xué)說明】學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié).2.用含30°角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由．【教學(xué)說明】學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察，找出一些線段存在相等關(guān)系.從而得出結(jié)論，并加深印象.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【歸納結(jié)論】（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形.三.運(yùn)用新知，深化理解1.見教材P11例32.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求證：∠BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，