安徽省合肥市第四十六中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

安徽省合肥四十六中九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列各數(shù)中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.2.用配方法解下列方程時(shí)，配方錯(cuò)誤的是（）A.化為 B.化為C.化為 D.化為3.某企業(yè)今年1月份產(chǎn)值為萬元，2月份比1月份減少了10%，3月份又開始了回暖，已知3，4月份平均月增長率為10%，則4月份的產(chǎn)值是（）A.萬元 B.萬元C.萬元 D.萬元4.定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.5.如圖，在中，點(diǎn)E，D，F(xiàn)分別在邊AB、BC、CA上，且，.下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）A.四邊形AEDF是平行四邊形B.如果，那么四邊形AEDF是矩形C.如果AD平分，那么四邊形AEDF是菱形D.如果且，那么四邊形AEDF是正方形6.如圖，任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，對于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形EFGH為菱形B.當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形EFGH為矩形C.當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可以為平行四邊形D.當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH不可能為菱形7.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，，F(xiàn)為DE的中點(diǎn).若的周長為18，則OF的長為（）A.3 B.4 C. D.8.為了了解班上體育鍛煉情況，班主任從八（1）班45名同學(xué)中隨機(jī)抽取了8位同學(xué)開展“1分鐘跳繩”測試，得分如下（滿分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，則以下判斷正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9，說明全班同學(xué)的平均成績達(dá)到9分B.這組數(shù)據(jù)的方差是2，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)很小C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8，說明8分以上的人數(shù)占大多數(shù)D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，可以估計(jì)班上其他同學(xué)的平均成績大約也是8分9.對于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.圖象頂點(diǎn)是 B.圖象開口向上C.圖象關(guān)于直線對稱 D.函數(shù)最大值為-910.如圖，在菱形ABCD中，，E是AB邊上一點(diǎn)，且，有下列結(jié)論：①是等邊三角形；②；③周長的最小值為；④面積的最大值為.其中正確結(jié)論有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.）11.有一組數(shù)據(jù)：5，2，，5，2，6，它們的中位數(shù)是4.5，則這組數(shù)據(jù)的方差是__________.12.若m、n是方程的兩不同的根，則的值為__________.13.某拋物線的頂點(diǎn)為（3，-4），并且經(jīng)過點(diǎn)（4，-2），則此拋物線的解析式為__________.14.如圖，直角邊分別為3，4的兩個(gè)直角三角形如圖擺放，M，N為斜邊的中點(diǎn)，則線段MN的長為__________.15.在某張三角形紙片上，取其一邊的中點(diǎn)，沿著過這點(diǎn)的兩條中位線分別剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分就是如圖所示的四邊形；經(jīng)測量這個(gè)四邊形的相鄰兩邊長為10cm、6cm，一條對角線的長為8cm；則原三角形紙片的周長是__________.16.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿MN所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是__________.三、解答題17.（6分）計(jì)算：.18.（6分）解方程：.19.（10分）如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使得，連接BF、CF.（1）求證：四邊形AFCD是菱形；（2）當(dāng)，時(shí)，求BF的長.20.（10分）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度（單位：m）與水平距離（單位：m）之間的關(guān)系是.求：（1）鉛球在行進(jìn)中的最大高度；（2）該男生將鉛球推出的距離是多少m？21.（12分）某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元.為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設(shè)計(jì)方案.22.（12分）已知正方形ABCD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD，點(diǎn)F在射線BC上，點(diǎn)H在CD上.（1）如圖1，，求證：；（2）如圖2，，P為EF中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，EH交FG于O，，若，，則線段EH的長為_________.參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1.【分析】先把各項(xiàng)化簡，再根據(jù)被開方數(shù)相同的即為同類二次根式.【解答】解：A、，與不是同類二次根式，故錯(cuò)誤；B、，與不是同類二次根式，故錯(cuò)誤；C、，與是同類二次根式，故正確；D、，與不是同類二次根式，故錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)評】本題考查了同類二次根式，解決本題的關(guān)鍵是熟記同類二次根式的定義.2.【分析】根據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方分別進(jìn)行配方，即可求出答案.【解答】解：A、由原方程，得，等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)2的一半的平方1，得；故本選項(xiàng)正確；B、由原方程，得，等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)-7的一半的平方，得，，故本選項(xiàng)正確；C、由原方程，得，等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)8的一半的平方16，得；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由原方程，得，化二次項(xiàng)系數(shù)為1，得等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得；故本選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).3.【分析】根據(jù)3月份的產(chǎn)值是a萬元，用把4月份的產(chǎn)值表示出來，進(jìn)而得出5月份產(chǎn)值列出式子萬元，即可得出選項(xiàng)【解答】解：1月份的產(chǎn)值是萬元，則：2月份的產(chǎn)值是萬元，∵3，4月份平均月增長率為10%，∴4月份的產(chǎn)值是萬元，故選：B.【點(diǎn)評】此題主要考查了列代數(shù)式，解此題的關(guān)鍵是能用把3、4月份的產(chǎn)值表示出來.4.【分析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以根的判別式，又，即，代入得，化簡即可得到a與c的關(guān)系.【解答】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，又，即，代入得，即，∴.故選：A.【點(diǎn)評】一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根.5.【分析】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，四個(gè)角都是直角，且四個(gè)邊都相等的是正方形.【解答】解：A、因?yàn)?，所以四邊形AEDF是平行四邊形.故A選項(xiàng)正確.B、，四邊形AEDF是平行四邊形，所以四邊形AEDF是矩形.故B選項(xiàng)正確.C、因?yàn)锳D平分，所以，又因?yàn)樗倪呅蜛EDF是平行四邊形，所以是菱形.故C選項(xiàng)正確.D、如果且不能判定四邊形AEDF是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知識(shí)點(diǎn).6.【分析】連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形必為平行四邊形，根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【解答】解：A.當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且時(shí)，存在，故四邊形EFGH為菱形，故A正確；B.當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且時(shí)，存在，故四邊形EFGH為矩形，故B正確；C.如圖所示，若，，則四邊形EFGH為平行四邊形，此時(shí)E，F(xiàn)，G，H不是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，故C正確；D.如圖所示，若，則四邊形EFGH為菱形，此時(shí)E，F(xiàn)，G，H不是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的運(yùn)用，解題時(shí)注意：中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的對角線有關(guān).7.【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進(jìn)而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論.【解答】解：∵，的周長為18，∴.∵F為DE的中點(diǎn)，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵四邊形ABCD是正方形，∴，O為BD的中點(diǎn)，∴OF是的中位線，∴.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，難度適中.8.【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、方差以及中位數(shù)的定義，求得它們的值，進(jìn)而得出結(jié)論.【解答】解：A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9，而全班同學(xué)的平均成績達(dá)到8分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.這組數(shù)據(jù)的方差是2，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5，說明8分以上的人數(shù)占大多數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，可以估計(jì)班上其他同學(xué)的平均成績大約也是8分，故本選項(xiàng)正確；故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)、方差以及中位數(shù)，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo).眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，眾數(shù)可作為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量.9.【分析】根據(jù)函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，本題得以解決.【解答】解：∵函數(shù)，∴該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-9），故選項(xiàng)A正確；，該函數(shù)圖象開口向上，故選項(xiàng)B正確；該函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.10.【分析】根據(jù)等邊三角形與菱形的性質(zhì)解答即可.【解答】解：連接BD，∵菱形ABCD中，，∴與是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，，∴，∴，，，∴，∴是等邊三角形，故①正確；∴，∴，∵，∴，即，故②正確；∵的周長，∴等邊三角形的邊長最小時(shí)，的周長最小，當(dāng)時(shí)，最小周長的最小值為，故③正確；∵菱形ABCD邊長為4，；∴與為正三角形，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴的面積當(dāng)時(shí)，BEF的面積最大值為故④正確；綜上正確的有①②③④共4個(gè).故選：D.【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分分，共24分.）11.【分析】先根據(jù)中位數(shù)的定義求出的值，再求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，最后根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：∵數(shù)據(jù)：5，2，，5，2，6，它們的中位數(shù)是4.5，∴，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，∴這組數(shù)據(jù)的方差是：.故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查方差和中位數(shù)：一般地設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則方差，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）.12.-1【分析】由一元二次方程的解可得出，進(jìn)而可得出①，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出②，將①②代入中即可求出結(jié)論.【解答】解：∵是方程的根，∴，等式兩邊同時(shí)乘，得：.∵m、n是方程的兩不同的根，∴，∴故答案為：-1.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，找出，是解題的關(guān)鍵.13.【分析】由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式，然后把代入求出的值即可.【解答】解：設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，所以拋物線解析式為，故答案為.【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解.本題的關(guān)鍵是利用對稱性確定拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).14..【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【解答】解：連接CM、CN，由勾股定理得，，∵、是直角三角形，M，N為斜邊的中點(diǎn)，∴，，，，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.15.48或【分析】首先補(bǔ)全三角形進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出各邊長進(jìn)而得出答案.【解答】解：如圖1：周長為：；如圖2：∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，，∴周長為；綜上所述：原三角形紙片的周長是48或.故答案為：48或.【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的剪拼，利用勾股定理求出AB的長是解題關(guān)鍵.16.【分析】根據(jù)題意，在N的運(yùn)動(dòng)過程中在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、、C三點(diǎn)共線，得出的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出的長即可.【解答】解：如圖所示：∵是定值，長度取最小值時(shí)，即在MC上時(shí)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，，M為AD中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.三、解答題17.【分析】先計(jì)算二次根式的除法運(yùn)算，再化簡二次根式為最簡二次根式，最后合并同類二次根式即可.【解答】解：.【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的加減及除法運(yùn)算，注意理解最簡二次根式的概念.18.【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.【解答】解：方程整理得：，即，解得：，.【點(diǎn)評】此題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵.19.【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）如圖，作交BC的延長線于H.在中，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【解答】（1）證明：∵，∴，∵E是AC中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∵，，∴，∴四邊形AFCD是菱形.（2）解：如圖，作交BC的延長線于H.∵四邊形AFCD是菱形，∴，，∴，∴四邊形FHCE是矩形，∴，，，在中，.【點(diǎn)評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.20.【分析】（1）將所給二次函數(shù)寫成頂點(diǎn)式，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為所求的最大高度；（2）令得：，解方程，保留正值，即為該男生將鉛球推出的距離.【解答】解：∵∴的最大值為3∴鉛球在行進(jìn)中的最大高度為3m.（2）令得：解方程得，，（負(fù)值舍去），∴該男生把鉛球推出的水平距離是10m.【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，可以用配方法寫成頂點(diǎn)式求得；同時(shí)本題還考查了