人教B版數(shù)學(xué)課件1-1-3第1課時(shí)交集與并集

第1課時(shí)交集與并集第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解兩個(gè)集合的交集與并集的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)求兩個(gè)集合的交集與并集.并能利用交集與并集的性質(zhì)解決相關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能使用維恩圖或數(shù)軸表示集合之間的運(yùn)算,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想對(duì)理解抽象概念的作用.(直觀想象)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)【激趣誘思】某單位食堂第一天買菜的品種構(gòu)成的集合記為A={黃瓜,冬瓜,鯽魚,蝦,茄子};第二天買菜的品種構(gòu)成的集合記為B={黃瓜,豬肉,毛豆,芹菜,蝦,土豆}.問:1.兩天所買過的相同菜的品種構(gòu)成的集合記為C,則集合C等于什么?2.兩天買過的所有菜的品種構(gòu)成的集合記為D,則集合D等于什么?【知識(shí)點(diǎn)撥】

知識(shí)點(diǎn)一、交集

微思考

兩個(gè)非空集合的交集可能是空集嗎?提示

兩個(gè)非空集合的交集可能是空集,即A與B無公共元素時(shí),A與B的交集仍然存在,只不過這時(shí)A∩B=?.反之,若A∩B=?,則A,B這兩個(gè)集合可能至少有一個(gè)為空集,也可能這兩個(gè)集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此時(shí)A∩B=?.名師點(diǎn)析

1.對(duì)交集概念的理解(1)對(duì)于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下兩層意思:①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素;②A與B的公共元素都屬于A∩B,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如A={1,2,3},B={2,3,4},則A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(2)并不是任意兩個(gè)集合總有公共元素,當(dāng)集合A與集合B沒有公共元素時(shí),不能說A與B沒有交集,而是A∩B=?.(3)當(dāng)A=B時(shí),A∩B=A和A∩B=B同時(shí)成立.2.求兩集合交集的注意點(diǎn)(1)求兩集合的交集時(shí),首先要化簡(jiǎn)集合,使集合元素的性質(zhì)特征盡量明顯化,然后根據(jù)交集的含義寫出結(jié)果.(2)在求與不等式有關(guān)的集合的交集運(yùn)算時(shí),數(shù)軸分析法直觀清晰,因此,應(yīng)重點(diǎn)考慮.微練習(xí)(2021重慶北碚西南大學(xué)附中高一期末)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},則A∩B=

.

答案

{0,1}解析

由題得A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},所以A∩B={0,1}.知識(shí)點(diǎn)二、并集

名師點(diǎn)析

對(duì)并集的理解(1)A∪B仍是一個(gè)集合,A∪B由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成.(2)并集符號(hào)語言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下圖所示形象地表示.(3)對(duì)概念中的“所有”的理解,不能認(rèn)為A∪B是由A的所有元素和B的所有元素組成的集合,即簡(jiǎn)單拼湊,還要注意滿足集合中元素的互異性,相同的元素(即A與B的公共元素)只能算作并集中的一個(gè)元素.例如,A={1,2,4},B={1,4,5,7},A∪B={1,2,4,5,7},而不能寫成A∪B={1,2,4,1,4,5,7}.微思考

(1)集合A∪B中的元素個(gè)數(shù)如何確定?提示

①當(dāng)兩個(gè)集合無公共元素時(shí),A∪B的元素個(gè)數(shù)為這兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)之和;②當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素時(shí),根據(jù)集合元素的互異性,同時(shí)屬于A和B的公共元素,在并集中只列舉一次,所以A∪B的元素個(gè)數(shù)為兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)之和減去公共元素的個(gè)數(shù).(2)A∩B與A∪B是什么關(guān)系?提示

集合A∪B={x|x∈A或x∈B}中x∈A或x∈B包含三層意思:“x∈A,且x?B”,如圖1所示的陰影部分;“x∈A,且x∈B”,如圖2所示的陰影部分;“x∈B,且x?A”,如圖3所示的陰影部分.又A∩B={x|x∈A,且x∈B},則有(A∩B)?(A∪B).當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí),A∩B=A∪B;當(dāng)且僅當(dāng)A≠B時(shí),(A∩B)?(A∪B).微練習(xí)設(shè)集合A={1,2},B={2,3},則A∪B等于(

)A.{1,2,2,3}

B.{2}C.{1,2,3} D.?答案

C知識(shí)點(diǎn)三、交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)

交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)A∩B=B∩AA∪B=B∪AA∩A=AA∪A=AA∩?=?∩A=?A∪?=?∪A=A如果A?B,則A∩B=A,反之也成立如果A?B,則A∪B=B,反之也成立微練習(xí)(1)若集合A={x|x>0},B={x|1<x<3},則A∪B=

.

答案

{x|x>0}解析

∵A?B,∴A∪B=A={x|x>0}.(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①若A∩B=?,則A=?或B=?.(

)②A∩B=B?A?B.(

)③A∪B=A?A?B.(

)④A∪B=?,則A=B=?.(

)答案

①×

②×

③×

④√課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一兩個(gè)集合的交集運(yùn)算例1設(shè)A={x|x2-7x+6=0},B={x|4<x<9,x∈N},求A∩B.分析首先明確集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是滿足不等式4<x<9的自然數(shù)集,然后直接觀察或借助于維恩圖寫出交集.解

A={1,6},B={5,6,7,8},用維恩圖表示集合A,B,如圖所示,依據(jù)交集的定義,觀察可得A∩B={6}.反思感悟

集合求交集的解題策略求兩個(gè)集合的交集時(shí),首先要識(shí)別所給集合,其次要簡(jiǎn)化集合,即明確集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依據(jù)交集的定義寫出結(jié)果.有時(shí)要借助于維恩圖或數(shù)軸寫出交集.變式訓(xùn)練

1已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;(2)若A∩B={x|3<x<4},求a的取值范圍.解

(1)有兩類情況,一類是B≠?,即a>0,①B在A的左邊,②B在A的右邊,如圖.B或B'位置均使A∩B=?成立.當(dāng)3a=2或a=4時(shí)也符合題意,事實(shí)上,2?A,4?A,則A∩B=?成立.所以,要求3a≤2或a≥4,解得a∈

∪[4,+∞).另一類是B=?,a≤0時(shí),顯然A∩B=?成立.綜上所述,a的取值范圍是

∪[4,+∞).探究二兩個(gè)集合的并集運(yùn)算例2設(shè)集合A={x|x+1>0},B={x|-2<x<2},求A∪B.分析首先明確集合A中的元素,集合A是不等式x+1>0的解集,然后借助于數(shù)軸寫出A∪B.解

A={x|x>-1},在數(shù)軸上分別表示集合A,B,如圖所示,由數(shù)軸可知A∪B={x|x>-2}.要點(diǎn)筆記

求兩個(gè)集合的并集時(shí),若用描述法給出的集合,要先明確集合中的元素是什么,有時(shí)直接觀察可寫出并集,有時(shí)則需借助圖示寫出并集;若用列舉法給出集合,則依據(jù)并集的定義,可直接觀察或借助于維恩圖寫出并集.延伸探究本例條件不變,如何求A∩B?(用區(qū)間表示)解

A∩B=(-1,2).探究三集合運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用例3設(shè)A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;(2)若A∪B=B,求a的值.分析先化簡(jiǎn)集合A,B,再由已知條件得A∩B=B和A∪B=B,轉(zhuǎn)化為集合A,B的包含關(guān)系,分類討論求a的值或取值范圍.解

由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.當(dāng)B=?時(shí),Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;綜上所述,得a的取值范圍是{a|a=1或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有兩個(gè)根,∴A=B,由(1)知a=1.反思感悟

利用交、并集運(yùn)算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的問題,可利用集合的運(yùn)算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解,要注意空集的特殊性.(2)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,這時(shí)要注意集合中元素的互異性;與不等式有關(guān)的集合,則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關(guān)系.變式訓(xùn)練

2集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},滿足B∩C=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)由題意得B={x|x≥2},又A={x|-1≤x<3},如圖,所以A∩B={x|2≤x<3}.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-4,+∞).探究四集合的交、并綜合運(yùn)算例4已知集合A={y|y=

x2-2x-3,x∈R},B={y|y=

-x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.分析先利用配方法確定集合A與B,再利用數(shù)軸進(jìn)行集合的交、并運(yùn)算.解

∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},∴A={y|y≥-4}.∵B={y|y=

-(x-1)2+14,x∈R},∴B={y|y

≤14}.將集合A,B分別表示在數(shù)軸上,如圖所示,∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.反思感悟

集合的交、并綜合運(yùn)算一般需要將所給集合進(jìn)行求解,有方程問題、不等式問題、點(diǎn)集等,把集合明確后,根據(jù)集合的特點(diǎn)及集合的交集、并集運(yùn)算的定義,選取合適的方法進(jìn)行運(yùn)算,如可結(jié)合數(shù)軸、維恩圖或函數(shù)的圖像等.

素養(yǎng)形成分類討論思想在集合運(yùn)算中的應(yīng)用分類討論就是分別歸類再進(jìn)行討論的意思,數(shù)學(xué)中的分類過程就是對(duì)事件共性的抽象過程.解題時(shí)要明確為什么分類,如何分類,如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn).應(yīng)用時(shí),首先要審清題意,認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素.進(jìn)行討論時(shí)要確定分類的標(biāo)準(zhǔn),每一次分類只能按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來分,不能重復(fù)也不能遺漏.典例

設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求實(shí)數(shù)a的值;(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},則x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的實(shí)數(shù)根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.驗(yàn)證:a=-3時(shí),B={2},a=-1時(shí),B={-2,2},均滿足A∩B={2}.所以,a=-3或a=-1.(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},對(duì)應(yīng)的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A.①當(dāng)Δ<0,即a<-3時(shí),B=?,滿足條件;②當(dāng)Δ=0,即a=-3時(shí),B={2},滿足條件;③當(dāng)Δ>0,即a>-3時(shí),只有B={1,2},才能滿足條件,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得1+2=-2(a+1)且1×2=a2-5.∴a=-且a2=7,矛盾.∴a>-3不滿足條件.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-3}.方法點(diǎn)睛

將條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合的包含關(guān)系,因?yàn)榧螧是由含參的一元二次方程的解組成的,所以應(yīng)按其解的個(gè)數(shù)分類討論.尤其不要忽略無解的情況,即B為空集的情況.

當(dāng)堂檢測(cè)1.(2021新高考Ⅰ,1)設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則A∩B=(

)A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}答案

B解析

∵A=