數(shù)學北師大版選修2-3學案第二章3條件概率與獨立事件

§3條件概率與獨立事件學習目標重點難點1.在具體情境中，了解條件概率的概念并能解決一些簡單的實際問題．2．能說出相互獨立事件的意義，理解獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式.重點：條件概率、獨立事件的概念．難點：條件概率、獨立事件的概率計算.1．條件概率(1)求已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)，P(A|B)＝eq\f(P(A∩B),P(B))(其中，A∩B也可寫成AB)．(2)A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A)).預習交流1任意向區(qū)間(0,1)上投擲一個點，用x表示該點的坐標，設事件A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))，B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<x<1))))，你能求出P(B|A)嗎？提示：P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2)＝0.5.2．獨立事件一般地，對兩個事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立．可以證明，如果A，B相互獨立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．預習交流2若事件A與B相互獨立，則P(AB)＝P(A)·P(B)，與P(AB)＝P(A|B)·P(B)矛盾嗎？提示：不矛盾，若事件A與B相互獨立，則P(A|B)＝P(A)．1．條件概率盒中裝有5個產(chǎn)品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個．求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率．思路分析：由于是不放回地從中取產(chǎn)品，所以第二次抽取受到第一次的影響，因而是條件概率，應用條件概率中的乘法公式求解．解：記Ai為第i次取到一等品，其中i＝1,2.(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率，則P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10).(2)取兩次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，則P(A2)＝P(eq\x\to(A1)A2)＋P(A1A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,5).(3)取兩次，已知第二次取得一等品，則第一次取得二等品的概率為P(eq\x\to(A1)|A2)＝eq\f(P(\x\to(A1)A2),P(A2))＝eq\f(\f(2,5)×\f(3,4),\f(3,5))＝eq\f(1,2).甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨的比例為12%，問(1)乙地為雨天時，甲地為雨天的概率為多少？(2)甲地為雨天時，乙地為雨天的概率為多少？解：設A＝“甲地為雨天”，B＝“乙地為雨天”，則根據(jù)題意有：P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，因此，(1)P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(,)≈0.67；(2)P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(,)＝0.60.即：乙地為雨天時，甲地為雨天的概率約為0.67，甲地為雨天時，乙地為雨天的概率為0.60.條件概率的判斷：當題目中出現(xiàn)“在……前提下(條件)”等字眼時，一般為條件概率；題目中沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，一般也認為是條件概率．2．獨立事件一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}，對下述兩種情形，討論A與B的獨立性．(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩．思路分析：(1)先寫出家庭中有兩個小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分別求出A，B所含的基本事件數(shù)，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型來求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)，(2)同(1)．解：(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個基本事件，由等可能性知每個基本事件概率都為eq\f(1,4).∵A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).∴P(A)P(B)＝eq\f(3,8)≠P(AB)．∴事件A，B不相互獨立．(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩，女孩的所有可能情況為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知這8個基本事件的概率均為eq\f(1,8)，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，顯然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立，從而事件A與B是相互獨立的．設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內(nèi)，甲、，甲、，乙、，求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需要照顧的概率分別是多少？解：記“機器甲需要照顧”為事件A，“機器乙需要照顧”為事件B，“機器丙需要照顧”為事件C．由題意知，各臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響．因此，A，B，C是相互獨立事件．由題意知P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.∴甲、乙、丙每臺機器需要照顧的概率分別為0.2，0.25，0.5.由定義知若P(AB)＝P(A)·P(B)，則A，B獨立，即如果A，B同時成立時的概率等于事件A的概率與事件B的概率的積，則可得出事件A和事件B為相互獨立事件．1．把一枚硬幣拋擲兩次，事件A＝“第一次出現(xiàn)正面”，事件B＝“第二次出現(xiàn)反面”，則P(B|A)＝()．A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4) C．eq\f(1,3) D．1答案：A解析：P(B)＝P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4)，∴P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).2．在10支鉛筆中，有8支正品，2支次品，從中任取2支，則在第一次抽的是次品的條件下，第二次抽的是正品的概率是()．A．eq\f(1,5) B．eq\f(8,45) C．eq\f(8,9) D．eq\f(4,5)答案：C解析：記事件A，B分別表示“第一次、第二次抽得正品”，則eq\x\to(A)B表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”．∴P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(P(\x\to(A)B),P(\x\to(A)))＝eq\f(\f(2×8,10×9),\f(2×9,10×9))＝eq\f(8,9).3．甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率為p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是()．A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)答案：B解析：甲解決問題乙沒有解決問題的概率為p1(1－p2)，乙解決問題而甲沒有解決問題的概率是p2(1－p1)，故恰有1人解決問題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)．4．兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為__________．答案：eq\f(5,12)解析：記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A，則P(A)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).5．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取