2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)，有，即可確定答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又，所以，故選：A.2．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．-488 B．60 C．480 D．45【答案】B【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為2，求出，再代入通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是，故選：B3．已知圓，則直線被圓截得的弦的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．7 C． D．【答案】D【分析】求得圓心到直線的距離，判斷直線和圓的位置關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距、半徑之間的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為5，則到直線的距離為，即直線和圓相交，故直線被圓截得的弦的長(zhǎng)度為，故選：D4．已知平面，直線，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①若，則②若，則③若，則④若，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)線面垂直可判斷③④.【詳解】對(duì)于①，若，則故①正確，對(duì)于②，若，則或者相交，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，若，則或者斜交，或者，故③錯(cuò)誤對(duì)于④，若，則，故④正確，故選：B5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為2，若存在兩項(xiàng)使得，則（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】由等比通項(xiàng)公式結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算得出.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：C6．今年“五一”期間人民群眾出游熱情高漲，某地為保障景區(qū)的安全有序，現(xiàn)增派6名警力去A?B兩個(gè)景區(qū)執(zhí)勤.要求A景區(qū)至少增派3名警力，B景區(qū)至少增派2名警力，則不同的分配方法的種數(shù)為（

）A．35 B．60 C．70 D．120【答案】A【分析】由題意可知分兩種情況：A景區(qū)派3名，B景區(qū)派3名；或A景區(qū)派4名，B景區(qū)派2名，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知分兩種情況：①A景區(qū)增派3名警力，B景區(qū)增派3名警力，則有種方法，②A景區(qū)增派4名警力，B景區(qū)增派2名警力，則有種方法，所以由分類加法原理可知共有種方法，故選：A7．牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法.若定義是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，在點(diǎn)處的切線方程為，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值.以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)近似解.設(shè)函數(shù)，滿足，應(yīng)用上述方法，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得在處的切線的方程，由,滿足切線的方程，可得所求；【詳解】因?yàn)?，?dǎo)數(shù)為，可得，，可得在處的切線的方程為，又因?yàn)?，滿足切線的方程，可得，解得，由得，，故選：B8．現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）[參考數(shù)據(jù)：]A．141 B．128 C．288 D．512【答案】C【分析】根據(jù)題意得，可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的概率求法可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，則，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以至少要測(cè)量的次數(shù)為288次，故選：C二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列敘述正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若，則數(shù)列是等差數(shù)列【答案】AC【分析】由等差求和公式判斷A；由裂項(xiàng)相消求和法判斷B；由定義判斷C；由前三項(xiàng)不成等差數(shù)列判斷D.【詳解】對(duì)于A：由通項(xiàng)公式易知，數(shù)列為等差數(shù)列，則，故A正確；對(duì)于B：，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D：，則數(shù)列不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．偉大的古希臘哲學(xué)家?百科式科學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B．若，則C．存在點(diǎn)，使得D．的最小值為【答案】AD【分析】由橢圓的性質(zhì)判斷A；由定義結(jié)合余弦定理、三角形面積公式判斷B；由余弦定理得出的最大角為銳角，從而判斷C；由基本不等式判斷D.【詳解】對(duì)于A：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對(duì)于B：由定義可知，由余弦定理可得，解得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，為銳角，則不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：AD11．為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，哈爾濱市某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，對(duì)他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則下列說法不正確的是（

）參考公式：，其中獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．參與調(diào)查的男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為C．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1D．若經(jīng)常鍛煉人數(shù)與不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的比例不變，統(tǒng)計(jì)得到的等高堆積條形圖也不變，則無論參與調(diào)查的男生?女生人數(shù)為多少，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，都可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)表計(jì)算人數(shù)判斷A選項(xiàng)，根據(jù)古典概型公式判斷B選項(xiàng)，根據(jù)的值及獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷C,D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由題意知經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，故經(jīng)常鍛煉人數(shù)為200人，不經(jīng)常鍛煉人數(shù)為100人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多，A正確；對(duì)于B，經(jīng)常鍛煉的女生人數(shù)為人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，故從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意結(jié)合男女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得列聯(lián)表：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男10060160女10040140合計(jì)200100300則，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)抽取名學(xué)生，由題意可得：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男200120320女20080280合計(jì)400200600則此時(shí)，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，D錯(cuò)誤，故選：BCD12．定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（

）A．在上是“弱減函數(shù)”B．若在上是“弱減函數(shù)”，則C．在上是“弱減函數(shù)”D．若在上是“弱減函數(shù)”，則【答案】ACD【分析】按照“弱減函數(shù)”的定義，對(duì)AC兩個(gè)選項(xiàng)通過導(dǎo)函數(shù)判斷在對(duì)應(yīng)區(qū)間和的增減性，即可；對(duì)BD選項(xiàng)，根據(jù)“弱減函數(shù)”的定義，根據(jù)在區(qū)間是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間小于或等于0恒成立，根據(jù)在區(qū)間是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間大于或等于0恒成立，進(jìn)而求參數(shù)的范圍.【詳解】A選項(xiàng)：由得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在上是“弱減函數(shù)”，A正確；B選項(xiàng)：若在上是“弱減函數(shù)”，設(shè)，則在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，，由得，故，因在上單調(diào)遞增，故，綜上，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，設(shè)，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上是“弱減函數(shù)”，C正確；D選項(xiàng)：由得，當(dāng)時(shí)，，得在上恒成立，設(shè)，則由C選項(xiàng)知在上單調(diào)遞減，故，故，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，得在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，故，綜上，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．在直角中，，將繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積是.【答案】/【分析】由題意可知所形成的幾何體是兩個(gè)同底的圓錐，如圖，求出上的高可得圓錐的底面半徑，然后利用圓錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹苯侵?，，所以，過作于，則，，將繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，如圖所示，是以為底面半徑的兩個(gè)圓錐，所以該幾何體的體積為，故答案為：14．拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.【答案】3【分析】先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程求出，再利用拋物線的定義可求得結(jié)果【詳解】由得拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，得，所以點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故答案為：315．已知某品牌的新能源汽車的使用年限（單位：年）與維護(hù)費(fèi)用（單位：千元）之間可以用模型去擬合，收集了4組數(shù)據(jù)，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：468102356利用最小二乘法得到與的線性回歸方程，則.【答案】【分析】求出、代入可得，由得，與比較可得答案.【詳解】，，代入可得，由得，即，而，所以，，得，則.故答案為：.16．函數(shù)，對(duì)于恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，其中，即，因?yàn)?，令，，則，，令，其中，則，即在單調(diào)遞增，所以，則，所以在單調(diào)遞增，即在上是單調(diào)遞增，令，顯然是其零點(diǎn)，且只有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是其極小值點(diǎn)，，所以.故答案為：四、解答題17．某中學(xué)高二年級(jí)參加市數(shù)學(xué)聯(lián)考，其中甲?乙兩個(gè)班級(jí)優(yōu)秀率分別為和，現(xiàn)在先從甲?乙兩個(gè)班中選取一個(gè)班級(jí)，然后從選取的班級(jí)中再選出一名同學(xué).選取甲?乙兩個(gè)班級(jí)的規(guī)則如下：紙箱中有大小和質(zhì)地完全相同的個(gè)白球?個(gè)黑球，從中摸出1個(gè)球，摸到白球就選甲班，摸到黑球就選乙班.(1)分別求出選取甲班?乙班的概率；(2)求選出的這名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率.【答案】(1)甲、乙兩個(gè)班的概率分別為和.(2).【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）記事件“選取甲班”，事件“選取乙班”則，故選取甲、乙兩個(gè)班的概率分別為和.（2）由（1）可知“這名同學(xué)來自甲班”，“這名同學(xué)來自乙班”，“這名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”，則，且與互斥，根據(jù)題意得，，，，，由全概率公式得因此，選出的這名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為.18．如圖所示，在直角梯形中，，，邊上一點(diǎn)滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖所示.

(1)求證：；(2)求與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)線面角的向量求法即可求得答案.【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，因?yàn)?，故?,；

四邊形為菱形，連接交于點(diǎn)，則在圖2中，平面，平面，平面，，即.（2）平面平面，面面，平面且，平面，平面，，即兩兩垂直，以分別為軸?軸?軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，設(shè)與平面所成的角為，，故，，與平面所成角的余弦值為.19．已知雙曲線.四個(gè)點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求原點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)(2).【分析】（1）由雙曲線性質(zhì)可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得一定在雙曲線上，根據(jù)雙曲線在第一象限圖象判斷點(diǎn)不在雙曲線上，即在雙曲線上，進(jìn)而可得答案.（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程消去，由，結(jié)合韋達(dá)定理可得，再利用點(diǎn)到直線距離公式，化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】（1）由雙曲線性質(zhì)可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以一定在雙曲線上，根據(jù)雙曲線在第一象限圖象而和坐標(biāo)的數(shù)中，，但，所以點(diǎn)不在雙曲線上，即在雙曲線上.解得雙曲線的方程為（2）直線的方程為，設(shè)，由消去得所以.由，可得，即所以，可化為即則即到的距離.

20．某食鹽廠為了檢查一條自動(dòng)流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的100袋食鹽稱出它們的質(zhì)量（單位：克）作為樣本數(shù)據(jù)，質(zhì)量的分組區(qū)間為.由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖：

(1)求的值；(2)從該流水線上任取2袋食鹽，設(shè)為質(zhì)量超過的食鹽數(shù)量，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)在上述抽取的100袋食鹽中任取2袋，設(shè)為質(zhì)量超過的食鹽數(shù)量，求隨機(jī)變量的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析，0.6(3)分布列見解析【分析】（1）利用諸小矩形面積之和為1可求的值；（2）利用二項(xiàng)分布可求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）利用超幾何分布可求的分布列；【詳解】（1）由題意可得：，解得.（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一袋食鹽，該食鹽的質(zhì)量超過的概率為.從流水線上任取2袋食鹽互不影響，該問題可以看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過的袋數(shù)X的所有可能取值為，且服從二項(xiàng)分布，.，，，隨機(jī)變量的分布列為：0120.490.420.09.（3）質(zhì)量超過的食鹽數(shù)量為袋，隨機(jī)變量的所有可能取值為，且服從超幾何分布.，，，隨機(jī)變量的分布列為:01221．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大的正整數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知遞推公式得，由此可得證；（2）由（1）得，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求得，再得的單調(diào)性和可得答案.【詳解】（1）由，得，則，又因?yàn)樗詳?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公