2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023年邵陽市高二聯(lián)考試題卷數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由，可得，可得.故選：C.2.已知全集，設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，分別求得，結(jié)合集合的補(bǔ)集與并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，可得，所以.故選：C.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先觀察到，代入原式，利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)?所以，故選：A.4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與特殊點(diǎn)法判斷即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，故BC錯(cuò)誤；而，故D錯(cuò)誤；由于排除了BCD，而A又滿足上述性質(zhì)，故A正確.故選：A.5.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡稱“珠峰計(jì)劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某班級(jí)有共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（）A.24種 B.60種 C.96種 D.240種【答案】B【解析】【分析】依題意，有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，分有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)和只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)這兩種情況討論，結(jié)合排列組合的原理計(jì)算.【詳解】5位同學(xué)選擇4所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，已知同學(xué)選擇浙江大學(xué)，當(dāng)有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則這4位同學(xué)在4所大學(xué)中分別選了一所，共種選法；當(dāng)只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則這4位同學(xué)在其余3所大學(xué)中選擇，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，共種選法；所以同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有種.故選：B6.設(shè)非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由非零向量滿足，因?yàn)椋傻茫獾?，所以在上的投影的向量?故選：A.7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)?，可得，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對(duì)任意的均有成立.若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，所以構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得，可得在上單調(diào)遞增，然后對(duì)變形得，再利用其單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】由，得，設(shè)，則.在上單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，..故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算然后可判斷A項(xiàng)；利用“1”的妙用及均值不等式計(jì)算可判斷B項(xiàng)；根據(jù)可判斷C項(xiàng)，將變形為，然后結(jié)合的范圍可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最大值為1，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，故D項(xiàng)正確.故選：AD.10.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.若事件滿足：，且，則與相互獨(dú)立B.某醫(yī)院住院的8位新冠患者的潛伏天數(shù)分別為，則該樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8C.若隨機(jī)變量，則方差D.在回歸模型分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)可得A正確；對(duì)于B，按照求百分位數(shù)的方法計(jì)算可知B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式和方差的性質(zhì)計(jì)算可知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)回歸模型分析可知D正確.【詳解】對(duì)于A，若，且，則與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，將8個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為：，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以該樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若隨機(jī)變量，則，則方差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然正確.故選：BC11.設(shè)是拋物線上的兩點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）A.若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為2B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則C.過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有兩條D.若（點(diǎn)在第一象限），則直線的傾斜角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的弦長公式可判定A選項(xiàng)；點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式可得出B選項(xiàng)；直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)一定要考慮斜率為0和斜率不存在的特殊情況，不僅僅是；D選項(xiàng)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，再帶入韋達(dá)定理求解即可.【詳解】由題，，設(shè)直線聯(lián)立，（※），故的最小值為2，A選項(xiàng)正確；點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故B選項(xiàng)正確；設(shè)過點(diǎn)的直線方程為或或，時(shí)，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；時(shí)，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；時(shí)，聯(lián)立解得，故與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋c(diǎn)在第一象限），所以直線AB經(jīng)過點(diǎn)F，帶入（※）式得：且,故直線的傾斜角為.故選：ABD.12.《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也，合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣”，文中“塹堵”是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面三棱柱；文中“陽馬”是指底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐；文中“鱉臑”是指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，如圖所示，在塹堵中，若，則下列說法中正確的有（）A.四棱錐為陽馬，三棱錐為鱉臑B.點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為C.分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截三棱柱，則該截面周長為D.點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，若直線，是共面直線，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)陽馬、鱉臑的定義判斷即可；對(duì)于B，利用展開面求得的最小值即可判斷；對(duì)于C，作出截面，利用三角形重心的性質(zhì)與勾股定理求解即可判斷；對(duì)于D，利用平面的性性求得點(diǎn)的軌跡，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于,由題意，易知面，四邊形為長方形，所以四棱錐為“陽馬”，在棱錐中，為直角三角形，所以三棱錐為鱉臑，故正確，對(duì)于選項(xiàng)：將沿旋轉(zhuǎn)與共面且位于異側(cè)，如圖所示，，故B正確，對(duì)于選項(xiàng)：過的截面如圖所示，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，故是的中點(diǎn)，又分別為的中點(diǎn)，所以為的重心，，，所以截面周長為，故正確，對(duì)于D選項(xiàng)：面，共面，所以面，又點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，面面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于判斷得為的重心，從而利用勾股定理可求得截面各線段的長.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等比數(shù)列中，，則公比為__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列中，，可得，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.【答案】##.【解析】【分析】根據(jù)周期求出，再利用正弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，得，所以.令，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：.15.某市2022年高二數(shù)學(xué)聯(lián)考學(xué)生成績，且.現(xiàn)從參考的學(xué)生中隨機(jī)抽查3名學(xué)生，則恰有1名學(xué)生的成績超過100分的概率為__________.【答案】##.【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出成績超過100分的概率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以恰?名學(xué)生的成績超過100分的概率為.故答案為：16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若的面積為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連，可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義，三角形的面積和勾股定理列方程組可求出的關(guān)系，從而可求出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連，因?yàn)樗运倪呅螢榫匦?不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則由①得：所以，即，所以，所以離心率.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差不為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）記，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等比中項(xiàng)可得出，轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系，求解出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解出前項(xiàng)和.（2）先表示出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和求出，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行范圍判斷，進(jìn)而證明出結(jié)果.【小問1詳解】由題意可知，，故，即，解得（舍去）或.，.【小問2詳解】由（1）知，故，又，，，從而得證.18.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：由，得，再利用正弦定理化邊為角，進(jìn)而可得出答案；方法二：利用正余弦定理化角為邊，化簡即可得解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及二倍角公式求出，再利用正弦定理解三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】方法一：由，得，由正弦定理得，即，又，故，解得；方法二：由，及正?余弦定理可得，整理得，解得；【小問2詳解】由，得，又，故，，由正弦定理可得，，的面積.19.如圖所示，在三棱臺(tái)中，平面平面，，.（1）證明：；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求三棱臺(tái)的體積.【答案】（1）證明見解析（2）7【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)：一個(gè)平面內(nèi)，垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面，再由線面垂直判定線線垂直；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角為，找到，從而求得三棱臺(tái)的體積.法二：通過定義法找到即為二面角的平面角，即，從而找到，進(jìn)而找到三棱臺(tái)的體積.【小問1詳解】平面平面，平面平面，又平面，平面，又平面，.【小問2詳解】方法一：（坐標(biāo)法）過作交于點(diǎn)，平面平面，平面平面，又平面，所以平面，且，設(shè).以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，由則.由（1）知平面，故平面的一個(gè)法向量....方法二：（幾何法）連接，如圖所示.由，易得，且，.面平面，又平面，平面.故即為二面角的平面角，即.在Rt中，.過作交于點(diǎn)，平面平面，平面平面，又平面，所以平面，且，..20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由不等式恒成立，分離參數(shù)得，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值的方法求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?由，得，由，得.的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】，即得.設(shè)，則..設(shè)，，在上單調(diào)遞增.而，.在上存在唯一零點(diǎn)，，由，有，可得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.，，故的取值范圍是.21.已知是橢圓上的一點(diǎn)，為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與的等差中項(xiàng).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓切于點(diǎn)，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）為定值，【解析】【分析】（1）由橢圓定義得到，結(jié)合在橢圓上，得到方程組，求出，得到橢圓方程；（2）考慮直線的斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算出，從而得到為定值.【小問1詳解】將點(diǎn)代入橢圓方程得①，由題意可知：，由橢圓定義可知②，由①②得.橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨取直線的方程為：，，∵，在Rt中，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：.直線與圓相切，.即.由得，.從而在Rt中，.由①②得，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定22.新寧崀山景區(qū)是世界自然遺產(chǎn)?國家5A級(jí)景區(qū)，其中“八角寨”景區(qū)和“天下第一巷”景區(qū)是新寧崀山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已游覽“八角寨”景區(qū)且尚未游覽“天下第一巷”景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，若不游覽“天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽“天下第一巷”景區(qū)記4分，假設(shè)每位游客選擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.（1）從