幾種證明全等三角形添加輔助線的方法

供學習參考供學習參考全等三角形復習課適用學科數(shù)學適用年級初中二年級適用區(qū)域通用課時時長〔分鐘〕120知識點全等三角形的性質和判定方法教學目標熟練掌握全等三角形的性質和判定方法，并學會用應用教學重點學會做輔助線證明三角形全等，常用的幾種作輔助線的方法教學難點通過學習全等三角形，提高學生觀察能力和分析能力教學過程構造全等三角形幾種方法在幾何解題中，常常需要添加輔助線構造全等三角形，以溝通題設與結論之間的聯(lián)系。現(xiàn)分類加以說明。一、延長中線構造全等三角形例1.如圖1,AD是△ABC的中線，求證：AB+AO2AD。圖1 圖2證明：延長AD至E,使AD=DE,連接CE。如圖2。VAD是△ABC的中線，，BD=CD。又：N1=N2,AD=DE,.'.△ABD/4ECD〔SAS〕。AB=CE。???在^ACE中，CE+AOAE,.AB+AO2AD。

二、沿角平分線翻折構造全等三角形例2.如圖3,在^ABC中，N1=N2,NABC=2NC。求證：AB+BD=AC。圖3 圖4證明：將^ABD沿AD翻折，點B落在AC上的E點處，即：在AC上截取AE=AB,連接ED。如圖4。：N1=N2,AD=AD,AB=AE,.^△ABD^AAED〔SAS〕。，BD=ED,NABC=NAED=2NC。而NAED=NC+NEDC,，NC=NEDC。所以EC=ED=BD。??ac=ae+ec,，ab+bd=ac。三、作平行線構造全等三角形例3.如圖5,AABC中，AB=AC。E是AB上異于A、B的任意一點，延長AC到D,使CD=BE,連接DE交BC于F。求證：EF=FD。證明：過E作EM〃AC交BC于M,如圖6。可口么NEMB=NACB,NMEF=NCDF。??AB=AC,，NB=NACB。，NB=NEMB。故EM=BE。??BE=CD,.??EM=CD。又：NEFM=NDFC,NMEF=NCDF,.^△EFM^ADFC〔AAS〕。EF=FD。四、作垂線構造全等三角形例4.如圖7,在^ABC中,ZBAC=90°,AB=AC。M是AC邊的中點。AD±BM交BC于D，交BM于E。求證：NAMB=NDMC。A圖7 圖g證明：作CF1AC交AD的延長線于F。如圖8。：NBAC=90°,AD±BM,，NFAC=NABM=90°—NBAE。：AB=AC,NBAM=NACF=90°,.^△ABM^ACAF〔ASA〕。，NF=NAMB,AM=CF。?.?AM=CM,，CF=CM。：NMCD=NFCD=45°,CD=CD,.?.△MCD/AFCD〔SAS〕。所以NF=NDMC。，NAMB=NF=NDMC。五、沿高線翻折構造全等三角形例5.如圖9,在AABC中，AD1BC于D,NBAD>NCAD。求證：AB>AC。

A證明：把^ADC沿高AD翻折，點C落在線段DB上的E點處，即:上截取A證明：把^ADC沿高AD翻折，點C落在線段DB上的E點處，即:上截取DE=DC,連接AE。如圖10。在DBAADC^AADE〔SAS〕。AC=AE,NC=NAED。VZAED>ZB,AZOZBo從而AB>AC。六、繞點旋轉構造全等三角形例6.如圖11,正方形ABCD中，N1=N2,Q在DC上，P在BC上。pa=pb+dq。求證:圖11 圖12證明：將^ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°,使AD與AB重合,得到△ABM,即：延長CB至l」M,使BM=DQ,連接AM。如圖12。Aabm^AadqIsas〕。，N4=N2=N1,NM=NAQD。VAB/7CD,???NAQD=NBAQ=N1+N3=N4+N3=NMAP。，NM=NMAP。，pa=pm=pb+bm=pb+dq［因BM=DQ〕?！菊n堂練習】1、如圖，AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

A2、如圖，4AABC中，AB=AC,延長AB至【」D,使BD=AB,取AB的中點E,接CD和CE.F為CD中點求證：CD=2CE3、如圖，△ABC中，/C=2/B,Z1=Z2O求證：AB=AC+CD.4、：AB=CD,NA=ND,求證：NB=NC

5、：如圖，8,么3于點。，3EL47于點E,BE、CD交于點0,且49平分NBAC.求證：0B=0C.6、如圖，C為線段AB上的一點，AACM和ACBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：ACEF是等邊三角形。

7、如下列圖，AE±AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC。求證：〔1〕EC=BF；〔2〕EC±BF8、如圖10,四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M,CG與AD相交于點N.求證：AE=CG；圖109、如圖，在等腰Rt△ABC中，NC=90°,D是斜邊上AB上任一點，AE±CD于E,BF±CD交CD的延長線于F,CH±AB于H點，交AE于G.求證：BD=CG.

10、：如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,BC=DC,CF平分NBCD,DF〃AB,BF的延長線交DC于點E。求證：〔1〕ABFC^ADFC；〔2〕AD=DE：BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中點，求證：Z1=Z2：AC平分NBAD,CE±AB,ZB+ZD=180°，求證：AE=AD+BE13、如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上，DE±DF,D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.補充：常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折〞．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉〞．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折〞，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移〞或“翻轉折疊〞截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．1、如圖，AC〃BD,EA,EB分別平分NCAB,/DBA,CD過點E,求證;AB=AC+BDDFLACDFLAC于F.2、如圖，4ABC中，AD平分NBAC