高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)人教A版第8章第5講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用名師精編課件

第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用考情精解讀

目錄CONTENTS考綱解讀命題規(guī)律命題分析預(yù)測(cè)考點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系考點(diǎn)2空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算考點(diǎn)3利用空間向量解決立體幾何問題考情精解讀

目錄考綱解讀命題規(guī)律命題分析預(yù)測(cè)考點(diǎn)1空間直角考法1利用向量法證明平行問題考法2利用向量法證明垂直問題考法3求線面角考法4求二面角考法5求空間距離考法6立體幾何中的探索性問題

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考法1利用向量法證明平行問題

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾考情精解讀考綱解讀命題規(guī)律命題分析預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考情精解讀考綱解讀理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何1.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.2.會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.3.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.4.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.6.理解直線的方向向量與平面的法向量.考綱解讀1.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.考綱解7.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.8.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).9.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.考綱解讀7.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直命題規(guī)律核心考點(diǎn)考題取樣考查內(nèi)容（對(duì)應(yīng)考法）1.利用空間向量證明平行、垂直2017全國(guó)Ⅱ,T19(1)利用向量法證線面平行(考法1)2017全國(guó)Ⅰ,T18(1)用向量法證明面面垂直(考法2)2.求空間角與距離2017全國(guó)Ⅰ,T18(2)2017全國(guó)Ⅱ,T19(2)2017全國(guó)Ⅲ,T19(2)2016全國(guó)Ⅰ,T18(Ⅱ)2016全國(guó)Ⅱ,T19(Ⅱ)求二面角(考法4)命題規(guī)律核心考點(diǎn)考題取樣考查內(nèi)容（對(duì)應(yīng)考法）1.利用空間向量核心考點(diǎn)考題取樣考查內(nèi)容（對(duì)應(yīng)考法）2.求空間角與距離2014全國(guó)Ⅰ,T19(Ⅱ)2013全國(guó)Ⅱ,T18(Ⅱ)求二面角(考法4)2016全國(guó)Ⅲ,T19(Ⅱ)2015全國(guó)Ⅱ,T19(Ⅱ)2013全國(guó)Ⅰ,T18(Ⅱ)求線面角(考法3)3.立體幾何中的探索性問題2016四川,T18(Ⅰ)結(jié)論探索型(考法6)理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何[續(xù)表]核心考點(diǎn)考題取樣考查內(nèi)容（對(duì)應(yīng)考法）2.求空間角與距離2011.分析預(yù)測(cè)從近五年的考查情況來看,利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點(diǎn),考查頻率較高,線、面的平行和垂直問題一般不用向量法求解,但向量法的使用有時(shí)可以加快求解速度,主要以解答題的形式出現(xiàn),難度中等.2.學(xué)科素養(yǎng)本講主要考查考生的直觀想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.命題分析預(yù)測(cè)1.分析預(yù)測(cè)從近五年的考查情況來看,利用向量法求空間角和空

考點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系考點(diǎn)2空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算考點(diǎn)3利用空間向量解決立體幾何問題理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

考點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系1.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系(如圖所示).2.點(diǎn)的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中,任何一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都可以用三個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組表示,這三個(gè)實(shí)數(shù)分別是點(diǎn)在x軸,y軸,z軸上的坐標(biāo).考點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系1.右手直角坐標(biāo)系考點(diǎn)2空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算（重點(diǎn)）1.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),共線向量定理可以分解為兩個(gè)命題:①a∥b?存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb;②若存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb,則a∥b.其中命題②是空間向量共線的判定定理.2.共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.推論:空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使考點(diǎn)2空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算（重點(diǎn)）1.共線向量定理

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何注意

(1)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)由于0與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,故0不能作為基向量.(3)基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示.4.空間向量的運(yùn)算(1)空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類比平面向量.(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何注意(1)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考點(diǎn)3利用空間向量解決立體幾何問題（重點(diǎn)）1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的非零向量,顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個(gè).說明

(1)通常取直線上的兩個(gè)特殊點(diǎn)構(gòu)成直線的方向向量;當(dāng)直線平行于x軸,y軸或z軸時(shí),直線的方向向量可分別取i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1).(2)平面法向量的求法.一個(gè)平面的法向量是與平面垂直的向量,有無數(shù)多個(gè),任意兩個(gè)都是共線向量.考點(diǎn)3利用空間向量解決立體幾何問題（重點(diǎn)）1.直線的方向向

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何注意求平面的法向量時(shí),建立的方程組有無數(shù)組解,利用賦值法,只要給x,y,z中的一個(gè)變量賦一特殊值(常賦值-1,0,1),即可確定一個(gè)法向量,賦值不同,所求法向量不同,但n=(0,0,0)不能作為法向量.

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何注意求平面的法向量時(shí),建立理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何2.利用空間向量表示立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離(1)用向量表示立體幾何中的平行、垂直關(guān)系

線、面位置關(guān)系向量表示設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為u,v.l∥ma∥b?a=kb(k∈R).l∥αa⊥u?a·u=0.α∥βu∥v?u=kv(k∈R).l⊥ma⊥b?a·b=0.l⊥αa∥u?a=ku(k∈R).α⊥βu⊥v?u·v=0.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何2.利用空間向量表示立體幾何中的平理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何(2)空間角設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為u,v.線線角若設(shè)直線l與m的夾角為θ,則cosθ=|cos<a,b>|.線面角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos<u,a>|.二面角理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何(2)空間角設(shè)直線l,m的方向向量理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何(3)空間距離點(diǎn)線距線線距兩平行線間的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離;兩異面直線間的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離或者直接求公垂線段的長(zhǎng)度.點(diǎn)面距理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何(3)空間距離點(diǎn)線距線線距兩平行線思維拓展

用空間向量解決立體幾何問題的步驟如下:(1)建系:根據(jù)題中的幾何圖形的特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)定坐標(biāo):確定點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出有關(guān)向量的坐標(biāo);(3)向量運(yùn)算:進(jìn)行相關(guān)的空間向量的運(yùn)算;(4)翻譯:將向量中的語言“翻譯”成相應(yīng)的立體幾何中的語言,完成幾何問題的求解.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思維拓展理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何B考法幫?題型全突破考法1利用向量法證明平行問題考法2利用向量法證明垂直問題考法3求線面角考法4求二面角考法5求空間距離考法6立體幾何中的探索性問題理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何B考法幫?題型全突破考法1利用向量法證明平行問題理科數(shù)考法1利用向量法證明平行問題考法指導(dǎo)

1.證明線線平行:證明兩條直線的方向向量共線.2.證明線面平行:(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行;(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.3.證明面面平行:(1)證明兩個(gè)平面的法向量平行;(2)轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行問題.注意

用向量法證明平行問題時(shí),要注意解題的規(guī)范性.如證明線面平行時(shí),仍需要說明一條直線在平面內(nèi),另一條直線在平面外.考法1利用向量法證明平行問題考法指導(dǎo)1.證示例1

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析建立空間直

角坐標(biāo)系求出平面A1BD

的法向量

線面平行→→→示例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

點(diǎn)評(píng)本題證明線面平行,只需建立空間直角坐標(biāo)系,求出已知平面的法向量,證明已知直線的方向向量與法向量垂直即可,注意說明MN?平面A1BD.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

點(diǎn)評(píng)本題證明線面平行,只拓展變式1

如圖1所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).求證:PB∥平面EFG.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何解析因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD且ABCD為正方形,所以AB,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,圖1圖2拓展變式1如圖1所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

考法2利用向量法證明垂直問題考法指導(dǎo)

1.證明線線垂直:

證明兩直線的方向向量垂直,即證它們的數(shù)量積為零.2.證明線面垂直:(1)證明直線的方向向量與平面的法向量共線;(2)證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直;(3)證明直線的方向向量與平面α內(nèi)的任一條直線的方向向量垂直.3.證明面面垂直:(1)其中一個(gè)平面與另一個(gè)平面的法向量平行;(2)兩個(gè)平面的法向量垂直.

考法2利用向量法證明垂直問題考法指導(dǎo)1.證明線示例2

正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析線面平行建立空間直

角坐標(biāo)系求平面A1BD的

法向量

→→→示例2正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

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理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何拓展變式2

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C和平面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M為AA1的中點(diǎn),N為BC1的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何拓展變式2如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

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理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考法3求線面角考法指導(dǎo)求直線與平面所成角的方法(1)定義法:①作,在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線,在這一步上確定垂足的位置是關(guān)鍵;②證,證明所作的角為直線與平面所成的角,其證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念;③求,構(gòu)造角所在的三角形,利用解三角形的知識(shí)求角.考法3求線面角考法指導(dǎo)求直線與平面所成角的方法

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析(Ⅰ)由梯形ABCD的性質(zhì),得DC∥BE,則DC∥平面PBE,從而AB與DC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為所求;(Ⅱ)可以用傳統(tǒng)法求解,也可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行求解.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析(Ⅰ)由梯形AB解析

(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.如圖1,延長(zhǎng)AB,DC,相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB),點(diǎn)M為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB?平面PBE,CM?平面PBE,所以CM∥平面PBE.(Ⅱ)解法一

由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何圖1解析(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.理科數(shù)學(xué)第又PD?平面PAD,從而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2.過點(diǎn)A作AH⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PH,如圖1.易知PA⊥平面ABCD,從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q,如圖1,則AQ⊥平面PCE.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何又PD?平面PAD,從而CD⊥PD.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何圖2

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何圖2

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考法4求二面角考法指導(dǎo)求二面角的方法(1)定義法:在二面角的棱上找一特殊點(diǎn),過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,如圖1(1),∠AOB為二面角α-l-β的平面角;(2)垂面法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所形成的角即二面角的平面角,如圖1(2),∠AOB為二面角α-l-β的平面角;(3)垂線法(三垂線定理法):過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)半平面所在平面的垂線,從垂足出發(fā)向棱引垂線,利用三垂線定理(線面垂直的性質(zhì))即考法4求二面角考法指導(dǎo)求二面角的方法可找到所求二面角的平面角或其補(bǔ)角,如圖1(3),∠AOB為二面角α-l-β的平面角;圖1

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何可找到所求二面角的平面角或其補(bǔ)角,如圖1(3),∠AOB為二

圖2理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

圖2理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析(Ⅰ)結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)得到BE⊥BP,進(jìn)而可得到所求的角;(Ⅱ)由于△EAG和△CAG為兩個(gè)全等的等腰三角形,因此可在兩個(gè)三角形中作AG的高線,交于一點(diǎn)M,由二面角的平面角的定義可找到所求二面角的平面角,也可利用向量法求二面角.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析(Ⅰ)結(jié)合線面垂直

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何考法5求空間距離考法指導(dǎo)求空間距離常用的方法(1)直接法:利用線線垂直、線面垂直、面面垂直等性質(zhì)定理與判定定理,作出垂線段,再通過解三角形求出距離.(2)間接法:利用等體積法、特殊值法等轉(zhuǎn)化求解.(3)向量法:空間中的距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離問題進(jìn)行求解.求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟:

考法5求空間距離考法指導(dǎo)求空間距離常用的方法

示例5

如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,F,G分別是棱A1B1,AB,A1D1的中點(diǎn).(1)求證:GE⊥平面FCC1;(2)求點(diǎn)A1到平面BFC1的距離;(3)求直線CD到平面BFC1的距離.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何示例5如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面A理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),則第(1)問只需求出平面FCC1的法向量,然后驗(yàn)證直線GE的方向向量與平面FCC1的法向量共線即可;第(2)問可先求出平面BFC1的法向量,然后由向量數(shù)量積的幾何意義即可求解點(diǎn)A1到平面BFC1的距離;第(3)問先根據(jù)直線CD與平面BFC1的位置關(guān)系,將所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離,即可利用第(2)問的方法求解.理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何思路分析根據(jù)已知條件建立空解析

因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點(diǎn),ABCD為等腰梯形,所以易得BF=BC=CF,即△BCF為正三角形,所以∠BAD=∠ABC=60°,取AF的中點(diǎn)M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD.故以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DM,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何解析因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點(diǎn),ABC

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何

理科數(shù)學(xué)第八章：立體幾何拓展變式4

如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).(1)證明:D1E⊥A1D;(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到平面ACD1的距離.