湖南省長沙市萬壽山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

湖南省長沙市萬壽山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想；換元法．【分析】化簡函數(shù)為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，然后換元，分別求出單調(diào)區(qū)間判定選項的正誤．【解答】解．函數(shù)=cos2x﹣cosx﹣1，原函數(shù)看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，對于g（t）=t2﹣t﹣1，當(dāng)時，g（t）為減函數(shù)，當(dāng)時，g（t）為增函數(shù)，當(dāng)時，t=cosx減函數(shù)，且，∴原函數(shù)此時是單調(diào)增，故選A【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．2.對任意正整數(shù)，定義的雙階乘如下：當(dāng)為偶數(shù)時，…6當(dāng)為奇數(shù)時，…5現(xiàn)有四個命題：①，

②2006!!=!!，③個位數(shù)為0，

④個位數(shù)為5其中正確的個數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C略3.己知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的

A,

B.

C.

D．參考答案：C略4.已知，且關(guān)于的函數(shù)在上有極值，則與的夾角范圍為（

）A．

B.

C．

D．參考答案：B略5.已知a＝21.2，b＝()－0.8，c＝2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．c<b<a

B．c<a<b

C．b<a<c

D．b<c<a參考答案：A略6.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S=（

）

A．2450

B．2500

C．2550

D．2652

參考答案：答案：C7.函數(shù)f(x)＝x3＋lgx－18的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A.(0，1)

B.(1，2)

C.(2，3)

D.(3，4)參考答案：C8.已知是定義在R上的函數(shù)，對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，若函數(shù)對任意的恒有成立，則正數(shù)

（

）(A)有最大值2

(B)有最小值2

(C)有最大值4

(D)有最小值4參考答案：

B略9.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為，從集合中任取一個元素，則函數(shù)，是增函數(shù)的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C10.已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D令得，。又，。，故選D?！鞠嚓P(guān)知識點(diǎn)】函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值，函數(shù)的性質(zhì)

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知∫（sinx+3x2）dx=16，則實數(shù)a的值為_________．參考答案：212.若函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，則θ=

▲

．參考答案：略13.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列若存在兩項、使得，則的最小值為

參考答案：14.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為

▲

。參考答案：815.如果不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0）在函數(shù)y=2x+a的圖象上，那么實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣3，0]【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，推出a的范圍即可．【解答】解：不等式組表示的可行域如圖：平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0）在函數(shù)y=2x+a的圖象上，可得a≤0，指數(shù)函數(shù)y=2x，向下平移a單位，經(jīng)過可行域的A時，a可得最小值，由，可得A（2，1），此時1=22+a，解得a=﹣3，實數(shù)a的取值范圍是：[﹣3，0]故答案為：[﹣3，0]．16.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ．參考答案：略17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=___.參考答案：試題分析：因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，，又因為，所以.【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校高三（5）班的一次數(shù)學(xué)小測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答如下問題：（1）求全班人數(shù)，并計算頻率分布直方圖中間的矩形的高；（2）若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任選三份來分析學(xué)生失分情況，其中u表示分?jǐn)?shù)在之間被選上的人數(shù)，v表示分?jǐn)?shù)在之間被選上的人數(shù)，記變量ξ=u﹣v，求ξ的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）由莖葉圖、頻率分布直方圖，分別求出分?jǐn)?shù)在19.（本小題滿分12分）如圖，摩天輪上一點(diǎn)在時刻距離地面高度滿足，已知某摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處．（1）根據(jù)條件寫出（米）關(guān)于（分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點(diǎn)距離地面超過米?參考答案：12分）（1）由題設(shè)可知，，

1分又，所以，

3分從而，再由題設(shè)知時，代入，得，從而，

5分因此，.

6分（2）要使點(diǎn)距離地面超過米，則有，

8分即，又解得，即

10分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點(diǎn)距離地面超過米的時間有分鐘.

12分20.（本題滿分16分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．?dāng)?shù)列的前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）寫出一個正整數(shù)，使得是數(shù)列的項；（3）設(shè)數(shù)列的通項公式為，問：是否存在正整數(shù)和（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數(shù)對；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，由已知，有

，……（2分）解得，，…………（3分）所以的通項公式為（）．…………（4分）（2）當(dāng)時，，所以．……（1分）由，得，兩式相減，得，故，……（2分）所以，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．……（3分），…………（4分）要使是中的項，只要即可，可?。?分）（只要寫出一個的值就給分，寫出，，也給分）（3）由（1）知，，…………（1分）要使，，成等差數(shù)列，必須，即，…………（2分）化簡得．…………（3分）因為與都是正整數(shù)，所以只能取，，．…………（4分）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．…………（5分）綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)和，所有符合條件的有序整數(shù)對為：，，．…………（6分）21.(本題滿分18分）已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中。如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓”與，軸的交點(diǎn)，（1）若三角形是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）若，求的取值范圍；（3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。參考答案：（1），，

于是，所求“果圓”方程為

，

（2）由題意，得

，即．

，，得．

又．

．

（3）設(shè)“果圓”的方程為，．

記平行弦的斜率為．當(dāng)時，直線與半橢圓的交點(diǎn)是，與半橢圓的交點(diǎn)是．的中點(diǎn)滿足得．

，．

綜上所述，當(dāng)時，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個橢圓上．

當(dāng)時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是．

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．

當(dāng)時，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．22.某公司向市場投放三種新型產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)第一種產(chǎn)品受歡迎的概率為，第二、第三種產(chǎn)品受歡迎的概率分別為，(＞)，且不同種產(chǎn)品是否受歡迎相互獨(dú)立。記為公司向市場投放三種新型產(chǎn)品受歡迎的數(shù)量，其分布列為0123

(1)求該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率；(2)求，的值；(3)求數(shù)學(xué)期望。參考答案：設(shè)事件表示“該公司第種產(chǎn)品受歡迎”，=1,2,3，由題意知，，