蒙特卡羅方法在積分計(jì)算中的應(yīng)用省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第七章蒙特卡羅方法在積分計(jì)算中應(yīng)用蒙特卡羅方法求積分主要抽樣俄國(guó)輪盤賭和分裂半解析方法系統(tǒng)抽樣分層抽樣1/19第七章蒙特卡羅方法在積分計(jì)算中應(yīng)用 計(jì)算多重積分是蒙特卡羅方法主要應(yīng)用領(lǐng)域之一。本章著重介紹計(jì)算定積分蒙特卡羅方法各種基本技巧，而這些技巧在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中也是適用。2/19蒙特卡羅方法求積分

蒙特卡羅方法求積分普通規(guī)則以下：任何一個(gè)積分，都可看作某個(gè)隨機(jī)變量期望值，所以，能夠用這個(gè)隨機(jī)變量平均值來(lái)近似它。3/19

設(shè)欲求積分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs)表示s維空間點(diǎn)，Vs表示積分區(qū)域。取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f(P)，令 則 即θ是隨機(jī)變量g(P)數(shù)學(xué)期望，P分布密度函數(shù)為f(P)。 現(xiàn)從f(P)中抽取隨機(jī)向量P

N個(gè)樣本：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ近似預(yù)計(jì)。4/19主要抽樣偏倚抽樣和權(quán)重因子

取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f1(P)，令 則有 現(xiàn)從f1(P)中抽樣N個(gè)點(diǎn)：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ又一個(gè)無(wú)偏預(yù)計(jì)。5/19主要抽樣和零方差技巧

要使最小，就是使泛函I[f1]極小。 利用變分原理，能夠得到最優(yōu)f1(P)為

6/19 尤其地，當(dāng)g(P)≥0時(shí)，有 這時(shí) 即g1方差為零。實(shí)際上，這時(shí)有 不論那種情況，我們稱從最優(yōu)分布fl(P)抽樣為主要抽樣，稱函數(shù)|g(P)|為主要函數(shù)。 7/19俄國(guó)輪盤賭和分裂分裂 設(shè)整數(shù)n≥1，令 則 于是計(jì)算θ問(wèn)題，可化為計(jì)算n個(gè)θi和來(lái)得到，而每個(gè)gi(P)為原來(lái)θ預(yù)計(jì)g(P)1/n，這就是分裂技巧。8/19俄國(guó)輪盤賭 令0＜q＜1， 則 于是θ變?yōu)橐粋€(gè)兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量ζ期望值， ζ特征為： 這么就能夠經(jīng)過(guò)模擬這個(gè)概率模型來(lái)得到θ，這就是俄國(guó)輪盤賭。9/19主要區(qū)域和不主要區(qū)域 我們往往稱對(duì)積分θ貢獻(xiàn)大積分區(qū)域?yàn)橹饕獏^(qū)域，或感興趣區(qū)域；稱對(duì)積分θ貢獻(xiàn)小區(qū)域?yàn)椴恢饕獏^(qū)域，或不感興趣區(qū)域。 考慮二重積分 令R是V2上x(chóng)積分區(qū)域，表為R＝R1+R2，其中R1是主要區(qū)域，R2是不主要區(qū)域，二者互不相交。又命Q為V2上對(duì)應(yīng)于y積分區(qū)域。則10/19 通常蒙特卡羅方法，由f(x,y)抽樣(x,y)步驟是：從fl(x)中抽取xi，再由f2(y|xi)中抽樣確定yi，然后用 作為θ一個(gè)無(wú)偏預(yù)計(jì)。 現(xiàn)在，改變抽樣方案以下：當(dāng)x∈R1時(shí)，定義一個(gè)整數(shù)n(xi)≥1，對(duì)一個(gè)xi，抽取 n(xi)個(gè)yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值 代替上述θ預(yù)計(jì)式中g(shù)(yi,xi)。11/19當(dāng)x∈R2時(shí)，定義一個(gè)函數(shù)q(xi)，0＜q(xi)＜1， 以抽樣值 代替上述θ預(yù)計(jì)式中g(shù)(yi,xi)。這里ξ是隨機(jī)數(shù)。 顯然，這種抽樣預(yù)計(jì)技巧，就是對(duì)x∈R1時(shí)，利用分裂技巧，而對(duì)x∈R2時(shí)，利用俄國(guó)輪盤賭，而使預(yù)計(jì)期望值不變。因?yàn)閷?duì)主要區(qū)域多抽樣，對(duì)不主要區(qū)域少觀察，所以能使預(yù)計(jì)有效性增高。12/19半解析（數(shù)值）方法 考慮二重積分 令 則θx為θ無(wú)偏預(yù)計(jì)。13/19

θx方差為

而由f(x,y)抽樣(x,y)，用g(x,y)作為θ預(yù)計(jì)，其方差為14/19系統(tǒng)抽樣 我們知道，由f(x,y)抽樣(x,y)步驟是： 從fl(x)中抽取xi， 再由f2(y|xi)中抽樣確定yi， 現(xiàn)在改變xi抽樣方法以下：15/19

yi抽樣方法不變。 其方差為 與通常蒙特卡羅方法相比，方差降低了約16/19分層抽樣 考慮積分 在（0，1）間插入J－1個(gè)點(diǎn) 0＝α0＜α1＜…＜α