32-第32講一元微積分應用(曲率)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學（一）第三十二講一元微積分應用(五)腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中——平面曲線曲率第1頁第六章一元微積分應用本章學習要求：熟練掌握求函數(shù)極值、最大最小值、判斷函數(shù)單調(diào)性、判斷函數(shù)凸凹性以及求函數(shù)拐點方法。能利用函數(shù)單調(diào)性、凸凹性證實不等式。掌握建立與導數(shù)和微分相關數(shù)學模型方法。能熟練求解相關改變率和最大、最小值應用問題。知道平面曲線弧微分、曲率和曲率半徑概念，并能計算平面曲線弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分相關數(shù)學模型方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練利用定積分表示和計算一些幾何量與物理量：平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e、平行截面面積為已知幾何體體積、平面曲線弧長、變力作功、液體壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。第2頁第六章一元微積分應用第七節(jié)平面曲線曲率一、曲率概念二、曲率計算公式三、參數(shù)方程下曲率計算公式四、曲率圓、曲率中心請點擊第3頁我們已經(jīng)討論過曲線凹凸性,知道如判定曲線彎曲程度.而在許多實際問題中何判斷曲線彎曲方向,不過還不能描述和都必須考慮曲線彎曲程度,比如,道路彎道設計,梁彎曲程度,曲線形切削工具設計等等.你認為應該怎樣描述曲線彎曲程度?一、曲率概念第4頁單位弧長上轉(zhuǎn)角︵

曲率概念第5頁第6頁例1解求半徑為R圓上任意一點處曲率.如圖所表示,在圓上任取一點M,則︵故即圓上點曲率處處相同：半徑越小圓,彎曲得越厲害.第7頁設曲線方程為則在曲線上點處曲率為二、曲率計算公式第8頁證如圖所表示,曲線在故又從而第9頁例2解直線上任意一點處曲率均為零.俗話說,直線不彎曲.第10頁例3解哪一點曲率最大,哪一點曲率最小.利用參數(shù)方程求導法求出第11頁故得駐點第12頁故在各象限中++ⅣⅢⅡⅠ由此可得:第13頁將它們代入曲率計算公式中即可得：三、參數(shù)方程下曲率計算公式第14頁例4解會出現(xiàn)導數(shù)分母為零情形,相同,對稱,故原問題能夠轉(zhuǎn)為求曲線圖形關于第15頁第16頁在有些實際問題中,第17頁現(xiàn)在問你一下:(假設單位是統(tǒng)一)假如告訴你一條曲線在點M處曲率為你能想象出它彎曲程度嗎？假如告訴你有一個半徑為5圓,你能想象出該圓上任何一點處彎曲程度嗎？由此及前面講例題1,你有什么想法？第18頁曲率圓曲率半徑曲率中心處可用一個對應圓來描述曲線彎曲程度第19頁四、曲率圓、曲率中心1.曲率圓、曲率中心概念2.曲率圓性質(zhì)3.曲率中心坐標請點擊第20頁作其法線,在法線指向曲線凹向一側(cè)上取一點Q,使以Q為中心,R為半徑所作圓稱為曲線在點M處曲率圓,圓心Q稱為曲率中心,R稱為曲率半徑.1.曲率圓、曲率中心概念第21頁曲率圓與曲線在點M處相切,且在點M處二者曲率相同.曲率圓與曲線在點M處含有相同一、二階導數(shù).當討論曲線在點M處與一、二階導數(shù)相關局部性質(zhì)時,能夠經(jīng)過討論其相應曲率圓局部性質(zhì)來實現(xiàn).2.曲率圓性質(zhì)第22頁則曲線在點3.曲率中心坐標第23頁證則曲線在點因為故有第24頁其斜率為曲線在點M處切線斜率為從而,有(1)(2)由(1),(2)兩式消去第25頁因為曲率圓總是位于曲線凹向一側(cè),