《大學物理學》精美課件（全）

大學物理學兩個黃鸝鳴翠柳一行白鷺上青天窗含西嶺千秋雪門泊東吳萬里船絕句

杜甫愛因斯坦追光日常生活物體緒論天體光速原子尺度增加質量增加速度縮減大小牛頓力學狹義相對論量子力學廣義相對論一、什么是物理學?

物理學是研究物質世界最基本形態(tài)的科學。

物理學研究的范圍：

物質世界的層次和數量級。物理學(Physics)物質結構物質相互作用物質運動規(guī)律質子10-15m空間尺度：類星體

10

26m時間尺度：基本粒子壽命

10-25s宇宙壽命

1018s微觀粒子介觀物質宏觀物質宇觀物質E-15E-12E-09E-06E-031mE+03E+06E+09E+12E+15E+18E+21E+24E+27最小的細胞原子原子核基本粒子DNA長度星系團銀河系最近恒星的距離太陽系太陽山哈勃半徑超星系團人蛇吞尾圖，形象地表示了物質空間尺寸的層次●牛頓力學：

研究物體機械運動的基本規(guī)律及關于時空相對性的規(guī)律?！駸崃W：

研究物質熱運動的統(tǒng)計規(guī)律及其宏觀表現(xiàn)?！耠姶艑W：

研究電磁現(xiàn)象、物質的電磁運動規(guī)律及電磁輻射等規(guī)律?！裣鄬φ摚?/p>

研究物體的高速運動效應以及相關的動力學規(guī)律?！窳孔恿W：

研究微觀物質運動現(xiàn)象以及基本運動規(guī)律。二、物理學的五大基本理論物理學派生出來的分支及交叉學科。物理學與數學之間有著深刻的內在聯(lián)系。粒子物理學原子核物理學原子分子物理學固體物理學凝聚態(tài)物理學激光物理學等離子體物理學地球物理學生物物理學天體物理學宇宙射線物理學三、物理學是構成自然科學的理論基礎物理學構成了化學、生物學、材料科學、地球物理學等學科的基礎，物理學的基本概念和技術被應用到所有自然科學之中。物理學是一切自然科學的基礎。

3)20世紀以來相對論、量子力學促進了原子能、計算機、激光等的廣泛應用（信息化）2)19世紀70年代法拉第—麥克斯韋的電磁理論第二次工業(yè)革命（電氣化）物理學的發(fā)展經歷了三次大的突破，導致了三次工業(yè)革命。1)17、18世紀牛頓力學、熱力學第一次工業(yè)革命（蒸汽機）四、物理學與技術●幾乎所有的重大新(高)技術領域的創(chuàng)立，事先都在物理學中經過長期的醞釀?！?/p>

當今物理學和科學技術的關系：“沒有昨日的基礎科學就沒有今日的技術革命。”

——

李政道兩種模式并存，相互交叉，相互促進。五、物理學的方法和科學態(tài)度4）邏輯推理與數學演算：用數學語言描述物理概念和物理規(guī)律，用數學演算進行物理計算和物理推導。物理學是一門實驗科學，物理學的研究方法是自然科學最常用最科學的方法。物理學的方法包括：1）觀察與實驗：從新的觀測和實驗事實提出命題；或用觀察與實驗的方法驗證理論。3）建立理想模型：用已知的原理和事實，突出主要因素，建立理想的唯象的物理模型。2）假說：當實驗事實與舊理論不相符時，根據事實提出新的假說和原理。六、怎樣學習物理學愛因斯坦：

“興趣是最好的老師?！焙Ｉぃ骸翱茖W扎根于討論?！崩钫溃骸拔锢韺W的精髓在于創(chuàng)新。”著名物理學家費曼說：科學是一種方法?！熬匙赃h塵皆入詠，物含妙理總堪尋。”學什么物理概念1物理框架2物理思路3物理方法4物理概念是物理學的精髓和核心。觀點觀念規(guī)律定律物理圖像等物理框架——知識的整體性知識結構、來龍去脈、相互聯(lián)系物理思路——解決問題的途徑如何觀察、分析、思考、研究處理問題類比法演繹法歸納法反證法模型化法等科學就是一種方法——費曼過渡三：抱著走→扶著走→指著走大學教師扮演的角色——交通警察要在“交警”的引導下，學會自己走路（學習）！過渡一：應試考試→重視學習過程積累知識培養(yǎng)能力提高素質大學生努力培養(yǎng)自我獲取知識的能力！（選拔性→合格性）過渡二：特殊（對象、狀態(tài)、過程）→一般（對象、狀態(tài)、過程）中學物理討論特殊情況的結論；大學物理講一般規(guī)律。概念、思路、方法等均要發(fā)生變化！盡快完成由中學向大學的三個過渡成績考核與作業(yè)要求1、成績考核2、作業(yè)要求期中考試：10%作業(yè)：10%期末考試：80%總成績：滿分100分2）要求說明已知條件并畫圖，注明解決問題的思路和所采用的基本物理規(guī)律。1）獨立完成全部作業(yè)，及時上交作業(yè)。全學期作業(yè)次數不滿三分之二，不準參加期末考試。作業(yè)紙上寫上班級、姓名、點名冊序號。

3）每周第一次課前交作業(yè)，每個班均按班級學號排序。

4）答疑地點為****，每周一次，時間*****七、教學計劃●《大學物理教程》賈瑞皋主編科學出版社●《大學物理學習指導》任蘭亭主編石油大學出版社●《費曼物理學講義》●《力學世界》、《力學以外的世界》北京大學出版社教材：《大學物理學》李元成主編中國石油大學出版社

●參考書：

內容參考學時

緒論1第1章質點運動學4第2章牛頓運動定律4第3章功和能4第4章動量和角動量6第5章剛體力學基礎6第6章狹義相對論6第7章氣體動理論4第8章熱力學基礎6第9章機械振動和機械波10第10章波動光學13請允許我說明我講這門課的主要目的。我的目的不是教你們如何應付考試，甚至不是讓你們掌握這些知識，以便更好地為今后你們面臨的工作或軍事工作服務。我最希望的是，你們能夠像真正的物理學家一樣，欣賞到這個世界的美妙。物理學家們看待這個世界的方式，我相信，是這個現(xiàn)代化時代真正文化內涵的主要部分。也許你們學會的不僅僅是如何欣賞這種文化，甚至也愿意參加到這個人類思想誕生以來最偉大的探索中來。R.P.Feynman

(1918-1988)美國物理學家，諾貝爾物理獎獲得者力學(mechanics)是研究物體機械運動的規(guī)律及其應用的科學。通常把經典力學分為運動學（kinematics)、動力學(dynamics)和靜力學(statics)。運動學：研究物體運動的描述。動力學：研究物體運動與物體間相互作用的聯(lián)系及其規(guī)律。靜力學：研究物體在相互作用下的平衡問題。

第1篇力學本章主要內容：1、了解運動學的基本概念（質點，參考系，坐標系）2、掌握描述質點運動的基本物理量3、平面曲線運動4、了解運動的相對性第1章質點運動學1.1

運動學的一些基本概念一、參考系和坐標系參考系：為了描述物體的運動而選取的標準物體。坐標系：為了定量描述物體的運動，在參考系上固定一個坐標系。運動描述的相對性：

所選參考系不同，對同一物體的描述也不同。

最常見的坐標是直角坐標系、自然坐標系、極坐標系等直角坐標系極坐標系自然坐標系二、時間和空間的計量

1、時間及其計量時間表征物理事件的順序性和物質運動的持續(xù)性。

1秒的長度等于銫133原子基態(tài)兩個超精細能級之間躍遷相對應的輻射周期的9192631770倍。

微觀粒子的最短壽命是10-24s，宇宙的年齡大約是1018s。2、空間及其計量空間反映物質運動的廣延性。

1米是1／299792458秒的時間間隔內光在真空中行程的長度。宇宙范圍的尺度1027m，微觀粒子尺度10-15m。三、質點忽略了物體大小和形狀，只具有物體的質量的幾何點。相對性；理想模型；質點運動是研究物質運動的基礎。注意1.2描述質點運動的基本物理量方向:大?。涸谥苯亲鴺讼抵?定義：從參考點O

到質點所處位置P

所引的矢量叫做質點的位置矢量，簡稱位矢。表示質點到參考點的距離。的方向表示質點相對參考點的方位。一、位置矢量在直角坐標系中從質點初位置到質點末位置所引的矢量定義為位移。二、運動方程質點的位置隨時間變化的函數關系，稱為質點的運動方程。在直角坐標系中，或：三、位移矢量和路程

位移矢量的大小位移矢量的方向路程是從A到B的軌跡長度，用⊿s表示。1）

和

是兩個不同的概念。4）位移只取決于初末位置，與原點的選擇無關。但是，位矢與原點的選擇有關。2）位移與路程的區(qū)別：3）位移大小與位矢大小的增量的區(qū)別：注意四、速度矢量:表示質點運動快慢及方向的物理量1、平均速度定義：平均速度2、速度（瞬時速度）方向沿切向，并指向前進方向。在直角坐標系中速度是位置矢量隨時間的變化率。質點在內位移是大小方向五、加速度矢量表示速度變化的快慢的物理量定義：平均加速度大小：瞬時加速度方向：

t0時的極限方向。在曲線運動中，總是指向曲線的凹側。瞬時加速度是速度隨時間的變化率。質點在在直角坐標系中：加速度的方向加速度的大小其中分量為六、運動學中的兩類問題1、已知質點的運動學方程求質點的速度、加速度等問題稱為運動學第一類問題。解法：求導2、由加速度和初始條件求速度方程和運動方程的問題稱為運動學的第二類問題。解法：積分解：根據質點速度的定義則有速度的大小根據質點加速度的定義

例題1-1

已知質點的運動方程是式中R，

都是正值常量。求質點的速度和加速度的大小，并討論它們的方向。加速度的大小則有根據矢量的點積運算，分別計算

質點做勻速率圓周運動。質點的速度沿圓的切線方向，加速度沿半徑指向圓心；速度和加速度互相垂直。結論

例題1-2一質點作平面運動，已知加速度為，其中A、B、均為正常數，且A≠B,A≠0,B≠0。初始條件為時，。求該質點的運動軌跡。解:由可得從的表示式中消去，即可得質點的運動軌跡方程為:

質點的運動軌跡為橢圓。例1-3一質點沿軸正向運動，其加速度與位置的關系為

。若在處，其速度，求質點運動到處時所具有的速度。

解：

已知，由加速度的定義式得：根據初始條件作定積分速度的方向沿軸正向。解選取豎直向上為軸的正方向，坐標原點在拋點處。設小球上升運動的瞬時速率為v，阻力系數為k，則空氣阻力為此時小球的加速度為即作變換整理則得例題1-4

以初速度v0由地面豎直向上拋出一個質量為m的小球，若上拋小球受到與其瞬時速率成正比的空氣阻力，求小球能升達的最大高度是多大？根據初始條件，y=0時v=v0，作定積分可得當小球達到最大高度H

時，v=0，可得例1-5

已知一質點由靜止出發(fā)，它的加速度在軸和軸上的分量分別為和。求時質點的速度和位置。解:

取質點的出發(fā)點為坐標原點，由初始條件為，，，對上式進行積分，得

s代入上式得利用初始條件，，對，進行積分，得s時隨堂討論3、以下五種運動形式中，保持不變的運動是

A）單擺的運動。B）勻速率圓周運動。

C）行星的橢圓軌道運動。D）拋體運動。1、一運動質點在某瞬時位于矢徑的端點處,其速度大小為A）B）C）D）2、質點沿半徑為R的圓周作勻速率運動，每T秒轉一圈。在2T時間間隔中，其平均速度大小與平均速率大小分別為

A）B）C）D）√√√作業(yè):3,4,6大學物理教程1.3平面曲線運動動軌跡平面運質點的法向單位矢量一、自然坐標系（+）路程s（-）切向單位矢量質點運動學方程質點的速度方向隨位置（時間）變化二、質點作圓周運動時的切向加速度和法向加速度設質點繞圓心O點作半徑為R的變速率圓周運動，切向單位矢量和法向單位矢量，則。由加速度的定義設A點的自然坐標為s，曲線上無限靠近A點的B點自然坐標為s+ds，A、B兩點對圓心的張角。兩邊除以dt

得因此速度大小變化的快慢速度方向變化的快慢切向加速度法向加速度三、一般平面曲線運動中的切向加速度和法向加速度

極軸四、圓周運動的角量描述1、角位置θ用與某一參考方向之間的夾角來描述的質點位置。2、圓周運動的運動方程3、角位移瞬時角速度4、角速度平均角速度角速度是角位置隨時間的變化率。的方向規(guī)定為與轉向成右手螺旋關系。瞬時角加速度五、角量與線量的關系5、角加速度平均角加速度六、圓周運動的第二類運動學問題積分積分切向加速度at和初始條件速率方程和自然坐標表示的運動方程角加速度β

和初始條件角速度方程和以角量表示的運動方程解（1）由角速度和角加速度的定義，得把t=2s代入運動方程、角速度和角加速度方程，可得例題1-6一質點作半徑為R=1.0m的圓周運動，其運動方程為θ

=2t3+3t，其中θ

以rad計，t

以s計。試求：（1）t=2s時質點的角位置、角速度和角加速度。

（2）t=2s時質點的切向加速度、法向加速度和加速度。（2）根據線量與角量的關系，可得加速度加速度的大小設加速度與法向加速度的夾角為α，則解：設加速度與速度方向的夾角為α，則即所以兩邊積分

例題1-7質點沿半徑為R

的圓軌道運動，初速度為v0，加速度與速度方向的夾角恒定，如圖所示．求速度的大小與時間的關系。

例題1-8如圖1-11所示，汽車以5的勻速率在廣場上沿半徑為=250m的環(huán)形馬路上行駛。當汽車油門關閉以后，由于與地面的摩擦作用，汽車沿馬路勻減速滑行50m而停止，試求：（1）汽車在關閉油門前運動的加速度。（2）汽車在關閉油門后4s時運動的加速度。解：（1）汽車關閉油門前作勻速率圓周運動，其切向加速度和法向加速度分別為則，其方向指向環(huán)心O。

（2）汽車在關閉油門后滑行50m而停止。汽車的切向加速度為油門關閉4s時，汽車的速率為此時法向加速度為:總加速度的大小為:與的夾角為

例題1-9質點沿半徑R=3m的圓周運動，如圖所示。已知切向加速度，時質點在O'點，其速度，試求：（1）t=1s時質點速度和加速度的大?。唬?）第2秒內質點所通過的路程。

解：取t=0時質點的位置O′為自然坐標系原點，以質點運動的方向為自然坐標正向，并設任意時刻t質點的速度為v，自然坐標為s

（1）由得，利用初始條件作定積分代入t=1s，可得質點的速度和加速度的大小為

（2）由得，利用初始條件作定積分代入數據可得第2秒內質點通過的路程為

1.4相對運動同一質點在不同參考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之間的關系的規(guī)律。物體運動的描述依賴于觀察者所處的參考系.一、位移關系

質點在相對作勻速直線運動的兩個坐標系中的位移：二、速度關系伽利略速度相加定理:（S'系相對于S系）（相對于S'系）（相對于S系）取⊿t→0時的極限值，得三、加速度關系兩個參考系中的位矢（或位移）直接相加，實際上是默認兩個條件：長度的測量是絕對的；時間的測量是絕對的。四、適用條件宏觀、低速情況特例：若S'系相對S系作勻速運動，則有：例題補充1在河水流速v0

=2m/s

的地方有小船渡河，如希望小船以v=4m/s

的速率垂直于河岸橫渡，問小船相對于河水的速度大小和方向應如何？所以：解取河水的流向如圖。與水流方向間的夾角為：北岸南岸要求的是。例題補充2傾角為α=300的劈形物體放置在水平地面上，當斜面上的木塊沿斜面下滑時，劈形物體以加速度為4m/s2

向右運動。已知木塊相對斜面的加速度為6m/s2

。求：木塊相對地面的加速度。解：建如圖坐標系。要求解的是。由于：

例題1-11一帶蓬卡車高h=2m，它停在馬路上時雨點可落在車內到達蓬后沿前方d=1m處，當它以15速率沿平直馬路行駛時，雨恰好不能落入車內，如圖。求雨滴相對地面的速度及雨滴相對車的速度。解:選地面為S系，車為S′系，S′系相對S系運動速率為。所求雨滴相對地面的速度為，雨滴相對車的速度為。根據伽利略速度相加定理，則有且與u垂直，可得

例題1-12

在相對地面靜止的坐標系內，A，B兩船都以2的速率勻速行駛，A船沿x軸正向，B船沿y軸正向，今在A船上設置與靜止坐標系方向相同的坐標系（x，y單位矢量分別用表示），求在A船上看B船的速度。解:選地面為S系，A船為S′系，B船為運動物體，S′系相對S系運動速度為，B船對S系的運動速度。根據伽利略速度相加定理，則B船對S′系的運動速度為小結基本物理量位置矢量位移速度加速度線量角量線量與角量的關系運動的相對性作業(yè)：1-9、17、18

第3章功和能本章主要內容：1、功的概念以及保守力的功的特點2、勢能的概念，了解勢能與保守力的關系3、質點及質點系的動能定理

4、機械能守恒及能量守恒定律3.1功保守力一、功由所作的功2、多個力作用時的功（對質點）合力對質點所作的功，等于每個分力所作的功的代數和。元功1）功是標量有正有負，正負由θ決定。2）直角坐標系下：3）功是力對空間的積累，是過程量（功與路徑有關）。4）SI單位：焦耳（J）1J=1Nm。例已知質點在力的作用下從（0，0）逆時針運動到（R，R）。

求力所作的功。解：說明二、幾種常見力的功1、彈簧彈力的功彈簧作用在質點上的彈力為：物體由x1

移動到x2

處時彈性力所作的功為：彈簧伸長時，彈力作負功；彈簧收縮時，彈力作正功。 彈簧的彈力做功只與始、末位置有關，與具體路徑無關。2、萬有引力的功m在M的引力場沿其橢圓軌道由ra移到rb，引力對m

作的功.

萬有引力所作的功只與質點的初、末位置有關，與路徑無關。

萬有引力的元功3、重力的功作用于質點上的重力重力的元功重力在有限過程中作的功重力的功只與初、末位置有關，與路徑無關。4、摩擦力的功摩擦力的元功摩擦力的功不僅與初、末位置有關，而且與路徑有關。三、保守力和非保守力保守力的環(huán)路等于零。3、非保守力：力所做的功與路徑有關，或力沿閉合路徑的功不為零。這種力為非保守力。1、保守力：作功只與物體的始末位置有關，而與路徑無關的力。例：重力、萬有引力、彈力、靜電力等。2、保守力沿任何一閉合路徑所作的功為零。證明：平均功率：瞬時功率：四、功率表示做功快慢的物理量定義：功隨時間的變化率。SI單位:焦耳/秒(瓦特)3.2勢能一、勢能在保守力場中與相互作用的物體間的相對位置有關的能量。積分路徑是任意的。質點從M

點移到零勢能點M0的過程中，保守力作的功。1、勢能的定義①只有保守力場才能引入勢能的概念。③勢能是屬于整個系統(tǒng)的。②勢能只有相對的意義，在零勢能點確定之后，各點的勢能才具有唯一的確定值。說明2、幾個典型力場的勢能1）引力勢能兩個質量分別為M

和m的質點，當相距為r

時，它們之間的萬有引力為選無限遠為零勢能點，則引力勢能為：引力場中的勢能為負值，有限遠處的勢能表示皆小于無窮遠處的勢能。2）重力勢能設質點的質量為m，處于M（x，y，z）。選M0(x0，y0，0)為勢能零點，則重力勢能為：重力勢能是由質點與零勢能點的高度差所確定。設彈簧自由伸長處O點為零勢能點。則彈簧形變量為x時的勢能為，3）彈（簧）力勢能勢能是相對的，與零勢能點的選擇有關。勢能差是絕對的，與零勢能點的選擇無關。兩點間勢能差為：說明證明：3、勢能與保守力的功A

保守的關系（勢能定理）保守力在某一過程所作的功，等于該過程中勢能增量的負值。保守力元功與勢能的關系在保守力場中，質點在某點所受的保守力等于該點勢能梯度矢量的負值?！茴D算符二、保守力與勢能梯度末態(tài)的狀態(tài)量初態(tài)的狀態(tài)量過程量定義質點的動能質點的動能定理合外力對質點所作的功，等于質點動能的增量。

3.3動能定理一、質點的動能定理例題3-1

質量為m、線長為l的單擺，可繞o點在豎直平面內擺動。初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求擺線與水平成角，擺球的速率和線中的張力。解：擺球受擺線拉力T和重力mg,合力作的功為由動能定理牛頓第二定律的法向分量式為:

例題補充

在光滑的水平桌面上平放有半圓形屏障。質量為m的滑塊以速度v0沿切線方向進入屏障內，滑塊與屏障間的摩擦系數為μ，試證明：當滑塊從屏障的另一端滑出時，摩擦力所作的功為：證明：建立自然坐標系，由牛頓第二定律即：分離變量作定積分，得：即：故：由質點的動能定理得：二、質點系的動能定理1、質點系內力與外力具有相互作用的若干個質點稱為質點系。外力：質點系以外的物體對系統(tǒng)的作用力稱為外力。內力：質點系內各質點之間的相互作用力稱為內力。根據牛頓第三定律質點系所有內力之和為零質點系所受的合外力為質點系內各質點受的外力的矢量和，即對m1:對m2:2、質點系的動能定理1）兩質點系統(tǒng)對各質點應用動能定理：兩式相加，得：即2）n

個質點的系統(tǒng)推廣：

所有外力對系統(tǒng)做的功與內力對系統(tǒng)做的功之和等于質點系總動能的增量。4、內力能改變系統(tǒng)的總動能，但不改變系統(tǒng)的總動量。1、功是動能變化的量度。功為過程量，動能為狀態(tài)量。2、動能是質點因運動而具有的做功本領。3、功與動能必須對應同一慣性系。說明TA作負功、T

B作正功，其代數和為零。由動能定理得∶解得：系統(tǒng)初態(tài)動能為：例題3-2物體mA和mB通過一不能伸縮的細繩相連，mA由靜止下滑，mB

上升，mA滑過S的距離時，兩個物體的速率。

(摩擦力及滑輪的質量不計)。

解選取物體A、B與細繩組成一系統(tǒng)，系統(tǒng)所受外為重力GA、、GB

支持力N；內力為繩子的拉力。未態(tài)動能為：3.4機械能守恒定律能量守恒定律

一、質點系的功能原理由質點系動能定理知：—功能原理

系統(tǒng)機械能的增量等于外力和非保守內力對它作的功。由勢能定理知：

動能定理中的功，包括外力功和所有內力功。不要重復計算保守力的功。功能原理中的功，包括外力功和非保守內力功。注意二、機械能守恒定律也可寫成：

如果系統(tǒng)內只有保守內力作功，而其它內力和外力都不作功或對系統(tǒng)作功之和始終為零，則系統(tǒng)內各物體的動能和勢能可以相互轉換；但總機械能保持不變。

條件：或只有保守內力做功兩種情況機械能守恒與轉換定律：三、能量守恒定律各種形式的能量可以相互轉換，但無論如何轉換，能量既不能產生，也不能消滅，總量保持不變。例題3-3

如圖所示，有一質量略去不計的輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P，另一端系一質量為m的小球，小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上作摩擦可略去不計的運動。設開始時小球靜止于A點，彈簧處于自然狀態(tài)，其長度為圓環(huán)的半徑R。當小球運動到圓環(huán)的底端B點時，小球對圓環(huán)沒有壓力。求此彈簧的勁度系數。解

取彈簧、小球和地球為一個系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒。取彈簧為自然狀態(tài)時的彈性勢能為零；取B點處的重力勢能為零，可得B點時由牛頓第二定律得例題3-4要使物體脫離地球的引力范圍，求從地面發(fā)射該物體的速度最小值為多大？

解：小球和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)只有內力做功。解：取A和B

組成的系統(tǒng)，受分析力如圖，水平方向不受外力，則動量守恒：補充

光滑的水平面上，有質量為的靜止物體B，在B上又有一質量為的靜止物體A，A受沖擊，以（相對于地面）向右運動，A和B之間的摩擦系數為，A逐漸帶動B一起運動，問A從開始動到相對于B靜止時，在B上運動多遠？質點系的動能定理功能原理機械能守恒定律小結功保守力做功只與始末位置有關，而與路徑無關的力。勢能質點的動能定理

第4章動量和角動量本章主要內容：1、了解動量、角動量的概念2、掌握動量及角動量定理的內容與應用3、掌握動量守恒和角動量守恒定律

4、碰撞定義1、瞬時性2、矢量性3、相對性1、質點的動量在直角坐標系中：在國際單位制（SI）千克·米/秒（kg·m/s）4.1動量定理2、質點系的動量一、動量討論二、質點的動量定理由牛頓第二定律表示力的時間累積，叫時間dt

內合外力的沖量。1）微分形式：2）積分形式：若為恒力：1、沖量2、動量定理1）微分形式：2）積分形式：對上式積分，在一個過程中，質點所受合外力的沖量等于質點動量的增量?！?/p>

動量定理的積分式即：1、反映了過程量與狀態(tài)量的關系。3、只適用于慣性系。3、動量定理分量形式系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。在直角坐標系中，動量定理的分量式為∶說明1)沖力:碰撞過程中物體間相互作用時間極短，相互作用力很大，而且往往隨時間變化，這種力通常稱為沖力。若沖力很大,其它外力可忽略時,則：若其它外力不可忽略時,則是合外力的平均。2)平均沖力:沖力對碰撞時間的平均值。即：4、動量定理的應用增大、減小沖力作用三、質點系的動力學方程由兩個質點組成的質點系：N個質點組成的質點系：即質點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化率。—質點系的動力學方程內力可以改變一個質點的動量，但對系統(tǒng)總動量的改變無貢獻。說明1、微分形式：動量定理的微分式在一個過程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)在同一時間內動量的增量。2、積分形式：由得：對上式積分，動量定理的積分式四、質點系的動量定理3、動量定理分量形式在直角坐標系中，動量定理的分量式為∶系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。

例題4-1

人在跳躍時都本能地彎曲關節(jié)，以減輕與地面的撞擊力。若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會發(fā)生什么情況？

解設人的質量為M，從高h處跳向地面，落地的速率為v0，與地面碰撞的時間為t，重心下移了s。由動量定理得：設人落地后作勻減速運動到靜止，則：設人從2m處跳下，重心下移1cm，則：可能發(fā)生骨折。討論設人的體重為70kg，此時平均沖力：

解選取車廂和車廂里的煤m和即將落入車廂的煤dm為研究對象。取水平向右為正。t時刻系統(tǒng)的水平總動量：t+dt時刻系統(tǒng)的水平總動量:dt時間內水平總動量的增量：由動量定理得：例題4-2一輛裝煤車以v=3m/s的速率從煤斗下面通過，每秒落入車廂的煤為⊿m=500kg。如果使車廂的速率保持不變，應用多大的牽引力拉車廂？（摩擦忽略不計)4.2動量守恒定律動量守恒定律2、有以下幾種情況：①不受外力。則：即系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。②外力矢量和為零。1、并不意味著每個質點的動量是不變的。注意3、各速度應是相對同一慣性參考系。4、動量守恒定律比牛頓運動定律更基本，應用更廣泛。③內力＞＞外力。內力使系統(tǒng)內質點交換動量，但不影響系統(tǒng)總動量。④若系統(tǒng)所受的合外力雖然不為零,但合外力在某一方向的分量為零,則系統(tǒng)在該方向上動量守恒。即：

例題4-3質量為m1，仰角為α

的炮車發(fā)射了一枚質量為m2的炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為u，不計摩擦。求∶1）炮彈出口時炮車的速率v1

。

2）發(fā)射炮彈過程中，炮車移動的距離(炮身長為L)。

解

1）選炮車和炮彈為系統(tǒng)，地面為參考系，選坐標系如圖。由x方向的動量守恒可得：由相對速度：得：水平方向不受外力，系統(tǒng)總動量沿x分量守恒。設炮彈相對地面的速度為v2

。解得：“－”號表示炮車反沖速度與x軸正向相反。2）若以u(t)

表示炮彈在發(fā)射過程中任一時刻，炮彈相對炮車的速率，則此時炮車相對地面的速率設炮彈經t

秒出口，在t秒內炮車沿水平方向移動了：

例題4-4光滑水平面與半徑為R的豎直光滑半圓環(huán)軌道相接，兩滑塊A,B的質量均為m,彈簧的倔強系數為k，其一端固定在O點，另一端與滑塊A接觸，開始時滑塊B靜止于半圓環(huán)軌道的底端，今用外力推滑塊A,使彈簧壓縮一段距離x后再釋放，滑塊A脫離彈簧后與B作完全彈性碰撞，碰后B將沿半圓環(huán)軌道上升，升到C點與軌道脫離，O’C與豎直方向成α＝60°，求彈簧被壓縮的距離x.解：①設滑塊A離開彈簧時速度為v,在彈簧恢復原形的過程中機械能守恒②A脫離彈簧后速度不變，與B作完全彈性碰撞，交換速度，A靜止，B以初速v沿圓環(huán)軌道上升。③B在圓環(huán)軌道上運動時，它與地球系統(tǒng)的機械能守恒當滑塊B沿半圓環(huán)軌道上升到C點時，滿足

聯(lián)立求解可得

例題4-5兩個帶理想彈簧緩沖器的小車A

和B，質量分別為m1

、m2，B不動，A

以速度與B

碰撞，已知兩車的的倔強系數分別為k1

、k2，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多少？解以兩小車為研究對象。其碰撞過程中，系統(tǒng)的機械能守恒；動量守恒。由牛頓第三定律：聯(lián)立上式：

例題補充

質量為M的木塊在光滑的固定斜面上由A

點靜止下滑，經路程l

到B

點時，木塊被一水平射來的子彈擊中子彈（m、v）射入木塊中，求射中后二者的共同速度。解分為兩個階段：第一階段：從A

運動到B，勻加速運動：第二階段：碰撞階段取木塊與子彈組成的系統(tǒng)為研究對象，沿斜面方向，內力＞＞外力，可用動量守恒定律求近似解。可解得：4.3質心質心運動定理一、質心N個質點組成的系統(tǒng)∶位矢分別為∶定義：質點系質心的位矢即對質量連續(xù)分布的質點系∶在直角坐標系中：1）幾何形狀對稱的均質物體，質心就是幾何對稱中心。2）有些物體的質心可能不在所求的物體上。三、質心運動定理由質心位矢對t求導，得：質心的動量等于質點系的總動量注意由兩個質點組成的質點系N個質點組成的質點系：—質心運動定理上一張幻燈片

例題4-6

一長為L，密度分布不均勻的細桿，其質量線密度

,為常量，x從輕端算起，求其質心。解取細桿的左端為坐標原點，在距離坐標原點為x處取微元dx。例題補充

如圖所示，浮吊的質量M=20t，從岸上吊起m=2t的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角θ由600轉到300

，設桿長l=8m，水的阻力與桿重略而不計，求浮吊在水平方向上移動的距離。取質心為坐標原點。設θ在由600轉到300時，吊車在水平方向上移動的距離為x1，重物移動的距離為x2。解取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究對象。由于系統(tǒng)所受的合外力為零，質點系的質心保持原來的靜止位置不動。在θ=600

時在θ=300時：4.4角動量定理大?。悍较颍河捎沂致菪▌t確定。SI中：kg·m2/s質點的角動量與參考點的選擇有關。定義:質量為m的質點以速度在空間運動，某時刻對O點的位矢為，則它對O點的角動量(動量矩)為：一、角動量1）矢量性2）相對性原點O選取的不同，則位置矢量不同，角動量也不同。1、質點角動量3）的直角坐標系中的分量式4）兩個特例①做圓周運動質點m對圓心O

的角動量方向：與同向，垂直于轉動平面，

與質點轉動繞向成右手螺旋關系。結論：做勻速率圓周運動的質點對圓心的角動量是恒量。②做直線運動質點的角動量質量為m

的質點作直線運動。大?。悍较颍河捎沂致菪▌t確定。t′時刻質點對O點的角動量為：大?。悍较颍号c同向。1）若物體作勻速直線運動，對同一參考點O，則2）若O取在直線上，則：t

時刻質點對O點的角動量為：討論2、質點系的角動量質點系的角動量等于各質點對同一參考點的角動量的矢量和。二、質點的角動量定理1、力矩1）大?。?，d為力臂。方向：由右手螺旋定則確定。質量為m的質點在力

的作用下作曲線運動。力對參考點O的力矩為:SI中：N·m2）在直角坐標系中3）相對性：依賴于參考點O的選擇。4）作用于質點的合外力矩等于合外力的力矩。2、質點的角動量定理將角動量對時間求導，可得：質點的角動量定理質點所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。微分形式積分形式角動量定理∶質點角動量的增量等于質點受到的角沖量。表示作用于質點上的力矩在（t

2－t

1）內的時間積累效應，稱為力矩的角沖量或沖量矩。例題4-8

質量為m、線長為l

的單擺，可繞點O在豎直平面內擺動，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求:①擺線與水平線成θ角時，擺球所受到的力矩及擺球對點O的角動量；②擺球到達點B時，角速度的大小。解①任意位置時受力為：重力；張力。由角動量定理瞬時角動量：重力對O點的力矩：方向：張力對O點的力矩為零。三、質點系的角動量定理質點系所受的合外力矩質點系所受的合內力矩質點系角動量的時間變化率微分形式質點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)角動量對時間變化率。積分形式質點系角動量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，而與內力矩無關，內力矩只改變系統(tǒng)內各質點的角動量，但不影響系統(tǒng)的總角動量。說明作用力與反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。設第i個質點與第j個質點之間的相互作用力分別為：兩質點相對參考點的位置矢量分別為：則兩個力對參考點的力矩為大?。捍笮。悍较颍悍较颍?.5角動量守恒定律一、質點的角動量守恒定律若質點所受的合力矩若對某一參考點，質點所受外力矩的矢量和恒為零，則此質點對該參考點的角動量保持不變。

—質點的角動量守恒定律例如，地球衛(wèi)星繞地球轉動時，相對地球的角動量守恒。1、孤立體，2、有心力，與位矢在同一直線上，從而。3、當作用在質點上的合外力矩對某一方向的分量為零時，則質點的角動量沿此方向的分量守恒。討論解如圖，行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動，Δt時間內行星徑矢掃過的面積由于行星只受有心力作用，其角動量守恒例題4-9利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律：行星相對太陽的徑矢在單位時間內掃過的面積(面積速度)是常量。面積速度:例題補充

用繩系一小球使它在光滑的水平面上作勻速率圓周運動，其半徑為r0

，角速度為?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當半徑縮為r時小球的角速度。解選取平面上繩穿過的小孔O為原點。所以小球對O點的角動量守恒。因為繩對小球的的拉力沿繩指向小孔，則力

對O

點的力矩：二、質點系的角動量守恒定律—角動量守恒定律

質點系不受外力矩作用或所受外力矩對某參考點的力矩之和為零時，質點系對該點的角動量守恒。1）質點系中各質點不受外力。合外力矩等于零可以分三種情況：2）質點系中各質點受的外力都通過參考點。各質點受的外力對參考點的力矩都為零，合外力矩必定等于零。3）各質點受的外力對參考點的力矩不為零，但它們的矢量和為零。合外力為零不一定合外力矩等于零！！說明例題

質量為M，長為l的均勻細桿，可繞垂直于棒一端點的軸O

無摩擦地轉動。若細桿豎直懸掛，現(xiàn)有一質量為m的彈性小球飛來，與細桿碰撞，問小球與細桿相碰過程中，球與桿組成的系統(tǒng)的動量是否守恒？對于過O點的軸的角動量是否守恒？合外力不為零，則系統(tǒng)的動量不守恒。合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒。守恒條件：例:

例題4-11

兩人質量相等,位于同一高度，各由繩子一端開始爬繩，繩子與輪的質量不計，軸無摩擦。他們哪個先達頂？

解

選兩人及輪為系統(tǒng)，O為參考點，取垂直板面向外為正。系統(tǒng)所受外力如圖。產生力矩的只有重力。系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則角動量守恒。即兩人同時到達頂點。

例題4-12

如圖所示，靜止在水平光滑桌面上長為L的輕質細桿和的小球，系統(tǒng)的小球l/3處的O點在水平面桌面上轉動．的小球以水平速度沿和細桿垂直方向與的小球作對心碰撞，碰后以求碰后細桿獲得的角速度．

（質量忽略不計）兩端分別固定質量為可繞距質量為今有一質量為質量為/2的速度返回，

解取三個小球和細桿組成的系統(tǒng)，O點為參考點，各系統(tǒng)所受的合外力矩為零。所以，系統(tǒng)的角動量守恒。

解取小球與地球為系統(tǒng)，機械能守恒。由角動量守恒得聯(lián)立解得例題4-13

質量為m的小球A,以速度v0沿質量為M半徑為R的地球表面切向水平向右飛出，地軸OO′與v0平行，小球A的運動軌道與軸OO′相交于點C,OC=3R,若不考慮地球的自轉和空氣阻力，求小球A在點C的速度與OO′軸之間的夾角θ。4.6碰撞一、碰撞及其分類完全非彈性碰撞─碰撞后粘在一起，不再分開，以相同的速度運動，機械能損失最大。1、碰撞：物體之間相互作用時間極短的現(xiàn)象。不一定接觸2、碰撞的特點：Δt極短，內力>>外力3、碰撞分類∶彈性碰撞─碰撞后形變消失，無機械能損失。非彈性碰撞─碰撞后形變不能完全恢復，部分機械能變成內能。①無外力：動量守恒（質點對質點）②無外力矩：角動量守恒（質點對定軸轉動的剛體）二、守恒定律與碰撞質點與質點的碰撞──動量守恒；質點與非定軸轉動剛體碰撞，動量守恒，相對質心的角動量守恒；機械能是否守恒，與碰撞種類有關，只有彈性碰撞時，機械能守恒。質點與定軸轉動剛體碰撞，因轉軸沖力的作用，動量不守恒，但角動量守恒；三、正碰兩個小球相互碰撞，如果碰后的相對運動和碰前的相對運動是沿同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或對心碰撞。1、碰撞定律設兩個質量分別為m1、m2的小球，碰撞前兩球的速度分別為v10

、v20

，碰撞后兩球的速度分別為v1

、v2。牛頓認為∶碰撞后的分離速率與碰撞前兩球的接近速率

成正比，比值由兩球的材料決定：e

稱為恢復系數e=1時，為彈性碰撞；e=0時為完全非彈性碰撞，0<e<1時，為一般非彈性碰撞。.2、一維正碰根據動量守恒定律，得由碰撞定律，得聯(lián)立解得碰撞過程中動能的損失為●

e=1時，為彈性碰撞?！?/p>

e=0時為完全非彈性碰撞?！?<e<1時，為一般非彈性碰撞。幾種材料的恢復系數材料玻璃與玻璃鋁與鋁鐵與鉛鋼與軟木e值0.930.200.120.55三、斜碰（二維碰撞）兩球在碰撞前的相對速度不沿兩球球心連線的碰撞叫斜碰。

如果兩球是光滑的，碰撞時兩球只在對心方向發(fā)生互相壓縮，存在相互作用力，垂直方向上無相互作用。

選兩球的連心線為x軸，與連心線垂直方向為y軸。y方向上，有x方向上，有遵循的規(guī)律與一維正碰，完全相同。系統(tǒng)的動量守恒

例題4-15

質量分別為m和m′的兩個小球，系于等長線上，構成連于同一懸掛點的單擺，將m拉至h高處，由靜止釋放。在下列情況下，求兩球上升的高度。1）碰撞是完全彈性的；2）碰撞是完全非彈性的。解

1）碰撞前小球m的速度，由于碰撞是完全彈性的，所以滿足動量守恒，并且碰撞前后動能相等。設兩小球碰撞后的速度分別為v和v′，則有可解得設碰撞后兩物體上升的高度分別為H和H′，則上升的高度為2）完全非彈性碰撞，設兩球的共同速度為u，由動量守恒定律可得作業(yè)：4---8，9，12，17(轉動慣量還沒學)，19，21

第5章剛體力學基礎本章主要內容：1、剛體運動學（運動狀態(tài)的描述）2、定軸轉動剛體的功和能3、定軸轉動剛體的角動量定理及守恒定律5.1剛體運動學一、剛體平動和轉動1、剛體定義:在外力作用下，形狀和大小保持不變的的物體稱為

剛體；是一種特殊的質點系。特點：剛體上的任兩點間的距離始終保持不變。剛體是實際物體的理想模型。剛體上任意兩點的連線在運動中保持平行，這種運動稱為剛體的平動。特征：剛體上各個質點的位移、速度、加速度相等。剛體上任一點的運動規(guī)律代表剛體的平動規(guī)律。2、剛體的平動剛體上的各個質點繞同一直線做圓周運動。定軸轉動：轉軸在空間的位置固定不動的轉動。1）各點的角位移、角速度、角加速度相同。2）各點的線位移、線速度、線加速度不同。特征：平面運動：也稱為滾動。剛體上任一點作圓周運動的規(guī)律代表了剛體定軸轉動的規(guī)律。視為車輪軸在垂直軸方向的平動和繞車輪軸的轉動的疊加。3、剛體的轉動二、剛體定軸轉動的角量描述

平均角速度：角速度：（矢量）角加速度：（矢量）角位移:規(guī)定沿

ox

軸逆時針轉動為正方向，反之為負方向。角位置：剛體定軸轉動的運動學方程。定軸轉動只有兩個轉動方向。

剛體作勻變速轉動時，相應公式如下：

角量與線量的關系：

線速度與角速度之間的矢量關系為:由于在定軸轉動中軸的位置不變，故只有沿軸的正負兩個方向，可以用代數值代替。例題5-1一半徑為R=0.1m

的砂輪作定軸轉動，其角位置隨時間t

的變化關系為

=

(

2

+

4

t

3

)

rad，式中

t以秒計。試求：1）在

t=2s

時,砂輪邊緣上一質點的法向加速度和切向加速度的大小。2）當角

為多大時，該質點的加速度與半徑成

45

o。解1）(舍去t=0

和t=-

0.55

)此時砂輪的角位置：當t=2s

時2）加速度與半徑成450時有即

例題5-2

一飛輪從靜止開始加速，在6s內其角速度均勻地增加到200rad/min，然后以這個速度勻速旋轉一段時間，再予以制動，其角速度均勻減小。又過了5s后，飛輪停止了轉動。若飛輪總共轉了100轉，求共運轉了多少時間？解：整個過程分為三個階段①加速階段②勻速階段③制動階段

解1）棒做變加速運動：例題補充一細棒繞O點自由轉動，并知,L為棒長。求:1）棒自水平靜止開始運動，θ=π/3時,角速度ω?2）此時端點A和中點B的線速度為多大?5.2定軸轉動剛體的功和能一、剛體的動能

當剛體繞Oz軸作定軸轉動時，剛體上各質元某一瞬時均以相同的角速度繞該軸作圓周運動。

整個剛體的動能剛體繞定軸的轉動慣量

一般剛體動能：2、轉動慣量的計算：

若質量離散分布：（質點，質點系）

若質量連續(xù)分布：其中：1、定義：剛體對轉軸的轉動慣量為剛體中每個質元的質量與該質元到轉軸距離的平方的乘積的總和。二、轉動慣量的計算（描述剛體轉動慣性大小的物理量）SI單位：kg.m2例題補充求質量為m，半徑為R的均勻圓環(huán)的對中心軸的轉動慣量。解：設線密度為λ；例題5-3求質量為m、半徑為R的均勻薄圓盤對中心軸的轉動慣量。

取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),解：設面密度為σ。例題5-4

求長為L、質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量。解1）取A點為坐標原點。在距A點為x處取dm=λdx。2）取C點為坐標原點。在距C點為x

處取dm。2)同一剛體對不同轉軸的轉動慣量不同，凡提到轉動慣量必須指明它是對哪個軸的。剛體的轉動慣量是由剛體的總質量、質量分布（剛體的形狀）、轉軸的位置三個因素共同決定;說明3、平行軸定理若有任一軸與過質心的軸平行，且兩軸相距為d，剛體對該軸的轉動慣量為J，則有：兩軸平行；JC

為剛體繞質心軸的轉動慣量d

為兩平行軸間距離。例均勻圓盤對O

軸的轉動慣量。說明4、垂直軸定理設一薄板，過其上一點作z軸垂直于板面，x、y軸在平板面內，若取一質元⊿mi，則有薄板形剛體對于板面內的兩條正交軸的轉動慣量之和等于這個物體對過該二軸交點并垂直于板面的那條轉軸的轉動慣量。

---垂直軸定理三、對轉軸的力矩剛體繞Oz

軸旋轉,力作用在剛體上點P，且在轉動平面內,

為由點O到力的作用點P的徑矢。

有兩個方向，可用正負表示。方向：定義：力F對O點的力矩在z軸上的投影MZ

為力對轉軸z的力矩。1）若力不在轉動平面內將力分解為徑向、橫向和沿轉軸方向的三個分量。產生的力矩垂直于轉軸，它在轉軸上的投影為零。2）當有n個力作用于剛體，則對轉軸的合外力矩等于各力對轉軸力矩的代數和。3）剛體的內力對轉軸的力矩剛體的內力對轉軸的力矩的矢量和等于零。討論(3)、當有n個力作用于剛體，則③剛體內各質點間內力對轉軸不產生力矩。結論：①

與轉軸垂直，作用線與轉軸相交的力對轉軸不產生力矩。②與轉軸平行的力對轉軸不產生力矩。3、J的決定因素：(1)剛體的質量(2)剛體的質量分布小結1、剛體運動學。2、剛體的動能：(3)轉軸的位置(４)剛體的形狀4、對轉軸的力矩：力F對O點的力矩在z軸上的投影MZ

為力對轉軸z的力矩。四、剛體的定軸轉動定律在定軸轉動的剛體的P點任取一質元。

此質元所受的外力為，內力為，均在轉動平面內。質量為⊿mi，由牛頓第二定律得:

建立自然坐標系，得到切向和法向分量方程：法向力的作用線穿過轉軸，其力矩為零。

由于各質元的角加速度均相同，則剛體的定軸轉動定律剛體繞定軸轉動時，剛體對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上所有外力對該軸力矩的代數和。對切向方程兩邊同乘以ri，可得1、轉動定律適用條件：剛體定軸轉動，固定軸為慣性系。2、M

一定：作用不同剛體上，J大時，β

小時，轉速不易改變，轉動慣性大。反之，J

小，轉動慣性小?！D動慣量是物體轉動慣性大小的量度。3、剛體轉動定律是解決剛體轉動問題的重要定律。應用時應注意以下問題：①力矩和轉動慣量必須對同一轉軸而言。②選定轉軸的正方向，以確定力矩或角加速度、角速度的正負。類比③當系統(tǒng)中既有轉動物體，又有平動物體時，用隔離法解題。對轉動物體應用轉動定律建立方程，對平動物體則用牛頓第二定律建立方程。例題5-7質量為m1、半徑為R的定滑輪可繞軸自由轉動，一質量為m2的物體懸掛于繞過滑輪的細繩上。求：物體m2的下落加速度a和

滑輪轉動的角加速度β。聯(lián)合解得：

關聯(lián)方程

解

對m1分析力矩；取滑輪轉動方向為正方向。對m2分析受力。取向下為正方向。由轉動定律由牛頓運動定律例題5-6一輕繩跨過定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體,m1＞m2

。設滑輪的質量為m，半徑為r,忽略摩擦。繩與滑輪之間無相對滑動。求物體的加速度。

解：由于m1＞m2

，則m1向下加速運動，m2向上加速運動，滑輪逆時針轉動。規(guī)定物體運動方向為正方向。對m1

、m2分析受力。由牛頓第二定律：對滑輪分析力矩；由轉動定律：關聯(lián)方程聯(lián)立解得例題5-8一剛體由長為

l，質量為m的均勻細桿和質量為m的小球組成，且可繞O軸在豎直平面內轉動，

且

軸處無摩擦。求:1）剛體繞軸O的轉動慣量。2）若桿自水平靜止開始運動桿與豎直方向成θ角時,小球的角速度。m，l解1）2）取逆時針轉動為正方向，桿與豎直方向成θ角時，合外力矩:分離變量積分得:小球的法向加速度：由轉動定律:五、力矩的功和功率力矩功的表達式由功的定義式:1）M恒定時2）內力矩做功為零。說明如果有幾個外力矩對剛體做功，則各外力矩做功之和為---

合外力矩各外力矩做功所做的總功為合外力矩對剛體所做的功。根據功率的定義，力矩的功率可表示為

對比六、定軸轉動剛體的動能定理定軸轉動的動能定理設定軸轉動剛體受到的合外力矩為M，根據轉動定律合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉動動能的增量。剛體的重力勢能等于全部質量集中于質心處的質點的重力勢能。七、剛體的重力勢能八、剛體定軸轉動的功能原理和機械能守恒定律剛體的重力勢能剛體中各質元的重力勢能的總和稱為定軸轉動剛體的重力勢能。若剛體定軸轉動中受重力矩M重

及其它外力矩M外的作用，則根據勢能定理剛體定軸轉動功能原理的積分形式

剛體定軸轉動功能原理的微分形式

如果在剛體定軸轉動的過程中，除重力矩以外的其它外力矩對剛體做的功始終為零，如果在剛體定軸轉動的過程中，除重力矩以外的其它外力矩對剛體做的功始終為零，則定軸剛體轉動系統(tǒng)的機械能守恒。例題5-10已知滑輪的質量為M，，半徑為R，物體的質量為m，彈簧的勁度系數為k，斜面的傾角為θ，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時彈簧無形變。設細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑x米時的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）解選取定軸轉動的滑輪、彈簧、物體和地球為系統(tǒng)，重力、彈性力均為系統(tǒng)內保守力，而其它外力和非保守內力均不做功，故系統(tǒng)的機械能守恒。設m未釋放時為初態(tài)，取此時重力勢能為零。當m下滑x后為末態(tài)。初態(tài)：末態(tài)：由機械能守恒定律，角量與線量的關系聯(lián)立得5.3定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律一、剛體對定軸的角動量對OZ軸的元角動量:

質元一個以角速度ω繞OZ

軸轉動的均勻細棒

均勻細棒對OZ

軸的角動量：剛體對某定軸的角動量等于剛體對此軸的轉動慣量與角速度的乘積。

剛體對定軸的角動量二、剛體的角動量定理作用在剛體上沿轉軸方向的合外力矩等于剛體繞此軸的角動量隨時間的變化率。作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量。剛體定軸轉動時，當轉動慣量J不變時，轉動定律可表示為微分形式積分形式三、剛體的角動量守恒定律1)定軸轉動的剛體，若J=C，角動量守恒即剛體保持靜止或勻角速轉動。2）若J不為恒量時，角動量守恒即Jω=恒量。這時，剛體的角速度隨轉動慣量的變化而變化，但乘積保持不變．當剛體所受的外力對某固定轉軸的合外力矩為零時，剛體對此轉軸的總角動量保持不變。3）角動量守恒定律中的都是相對于同一轉軸的．4）守恒條件：例:說明2）取細棒為研究對象，碰前細棒作平動，可按質點處理。解1）方向：3）碰撞過程中，細棒所受的外力矩為零，角動量守恒。方向：由平行軸定理：例題1光滑的水平桌面上有一個長為l，質量為M的均勻細棒，以速度v運動，與一固定于桌面上的釘子O相碰，碰后細棒繞O轉動，試求∶1）細棒繞O點的轉動慣量；2）碰前棒對O點的角動量；3）碰后棒轉動的角速度ω

。例題5-11一質量為m的子彈以水平速度v0射穿靜止懸于頂端的均質長棒的下端。子彈穿出后其速度損失了3/4，求子彈穿出后棒的角速度ω。已知棒的長度為l，質量為M。解取細棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)受到的外力：重力和軸的作用力，它們對轉軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動量守恒。設m射穿前為初態(tài)，m射穿后為末態(tài)。初態(tài)末態(tài)由角動量守恒定律，得

例題5-12如圖所示，一長為2l

，質量為M的均勻細棒，可繞中點的水平軸o在豎直面內轉動，開始時棒靜止在水平位置，一質量為m的小球以速度v0垂直下落在棒的端點，設小球與棒作彈性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒轉動的角速度ω各為多少？解:以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對象。取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受力，則系統(tǒng)對軸o