7.7二元函數(shù)的極值和最值名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

7.7二元函數(shù)極值與最值第1頁教學(xué)要求：1.了解二元函數(shù)極值和條件極值概念;3.會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.2.掌握二元函數(shù)極值存在必要條件、充分條件;

會(huì)求二元函數(shù)極值.4.會(huì)求簡單二元函數(shù)最大值和最小值,

并會(huì)處理一些簡單應(yīng)用問題.第2頁假如f(x)在閉區(qū)間[a,c]上連續(xù),則f(x)在[a,c]上必定能取得最大值與最小值.xoyacb復(fù)習(xí)：一元函數(shù)極值、最值.（1）極值：由P146極值點(diǎn)定義：端點(diǎn)沒有資格做極值點(diǎn)極值點(diǎn)一定在區(qū)間內(nèi)部.（2）最值：第3頁

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值只能在極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得.

在區(qū)間[a,b]上，

區(qū)間[a,c]上xoyacb可見,為何要單獨(dú)考慮端點(diǎn)？因端點(diǎn)沒有資格做極值點(diǎn)，但可能取最值第4頁而極值點(diǎn)只會(huì)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值只能在極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得.

所以閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值只能在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)處取得第5頁1.求閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)最值步驟：(2)PK:以上各函數(shù)值中最大即為最大值，最小即為最小值(1)求出f(x)在[a,b]內(nèi)可疑最值點(diǎn)（駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn))及其函數(shù)數(shù)值

注：對這些可疑最值點(diǎn)不需采取第一或第二充分條件確認(rèn)其是否為極大（?。┲迭c(diǎn)閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)最值只存在于駐點(diǎn)、端點(diǎn)第6頁二元函數(shù)極值播放一、多元函數(shù)極值1.引例第7頁2、二元函數(shù)極值定義第8頁(1)(2)(3)例1例２例３第9頁3、多元函數(shù)取得極值條件

第10頁證第11頁類似一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零點(diǎn)，均稱為函數(shù)駐點(diǎn).第12頁注：可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)駐點(diǎn)(3)問題：可導(dǎo)函數(shù)駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)，那什么樣點(diǎn)才是極值點(diǎn)呢？這是尋找極值點(diǎn)條件充分第13頁定理2（極值存在充分條件）（證略）ABC法則第14頁ABC法則只適合用于二元函數(shù)第15頁解類似P295、296例1

、例2;P325第23題

簡單而主要！第16頁第17頁1.定理（詳見P72性質(zhì)1）

閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值:A閉區(qū)域D上可導(dǎo)函數(shù)最值普通求法注：極值點(diǎn)（見P107定義）和駐點(diǎn)（見P75偏導(dǎo)定義）一定是內(nèi)點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)第18頁(1)求出函數(shù)在D內(nèi)部一切可疑極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）處函數(shù)值駐點(diǎn)邊界上最值比較這些函數(shù)值大小,最大就是函數(shù)在D上最大值,最小就是函數(shù)在D上最小值.（內(nèi)點(diǎn)）（邊界上）(3)PK

注：可疑極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）無需用ABC法則確認(rèn)其是不是真正極值點(diǎn)。（why？）A閉區(qū)域D上可導(dǎo)函數(shù)最值普通求法(2)求函數(shù)在區(qū)域邊界上最值

第19頁第20頁第21頁類似題：

P325：25（2）第22頁B實(shí)際問題最值求法則該駐點(diǎn)必為所求最值點(diǎn).若只有唯一駐點(diǎn)，最值不會(huì)在邊界上（為何？）

對該唯一駐點(diǎn)無需用ABC法則判斷其是否為極值點(diǎn)。（即不會(huì)在極端情況取得）四個(gè)條件缺一不可若實(shí)際問題存在最值，且目標(biāo)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)類似題：P297例3、P299例5；P325：27，28第23頁第24頁第25頁第26頁依據(jù)實(shí)際問題意義，第27頁引例第28頁1.條件極值與無條件極值自變量除了受其定義域限制外還有別條件限制，這種情況下極值稱為條件極值.對應(yīng)地，前面討論極值稱為無條件極值.有時(shí)條件極值可轉(zhuǎn)化為無條件極值來求（如P301例6），此為“降元法”但并非全部條件極值都能用“降元法”求解，下面介紹新方法.第29頁2.拉格朗日乘數(shù)法

第30頁說明F(x,y,

)可能極值點(diǎn)為上述方程組確定(x,y).（課外閱讀）第31頁（課外閱讀）第32頁拉格朗日乘數(shù)法詳細(xì)應(yīng)用

解出(x,y)即為可疑極值點(diǎn).判別可疑極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)通常由實(shí)際問題來定，不需用ABC法則.第33頁解出(x,y,z)即為可能極值點(diǎn).第34頁8第35頁

解：結(jié)構(gòu)拉格朗日函數(shù)第36頁類似題：P302例7、P303例9；P325：24，26，29-31第37頁作業(yè)：P325

23（1）,25（2）,27,29第38頁一.條件極值

以二元函數(shù)為例，求函數(shù)在條件下可能極值點(diǎn)。

以下內(nèi)容為課外閱讀第39頁

由一元函數(shù)極值得，

分析：是條件極值點(diǎn)若都在

某鄰域內(nèi)是類函數(shù)，確定隱函數(shù)可化為有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)第40頁第41頁

條件極值點(diǎn)必要條件此方程組為第42頁Lagrange’sMethodTomaximizeorminimizesubjecttotheconstraintsolvethesystemofequationscriticalpointfortheconstrainedextremumaLagrangemultiplier.forEachsuchpointisaandproblemandthecorrespondingiscalled第43頁第44頁第45頁二、應(yīng)用第46頁

解：結(jié)構(gòu)Lagrange’sFunction第47頁第48頁或調(diào)用Matlab軟件中命令constr來

計(jì)算有約束極小問題計(jì)算結(jié)果：即應(yīng)該雇傭250個(gè)勞動(dòng)力而把其余部分作為資本投入，可取得最大產(chǎn)量第49頁第50頁第51頁Kuhu-Tucker駐點(diǎn)條件拉格朗日乘數(shù)法

(前提：含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))第52頁例7.把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和，使其乘積最大，求