第7章剛體力學(xué)復(fù)習(xí)綱要

1第七章剛體力學(xué)2主要內(nèi)容剛體的運(yùn)動：平動和定軸轉(zhuǎn)動力矩和轉(zhuǎn)動慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量定理和轉(zhuǎn)動定理剛體的平面運(yùn)動（純滾動）剛體質(zhì)心運(yùn)動定理第七章剛體力學(xué)一.剛體運(yùn)動學(xué)------研究剛體按怎樣的規(guī)律運(yùn)動?平動，定軸轉(zhuǎn)動，平面運(yùn)動。二.剛體動力學(xué)------研究剛體為什么會這樣運(yùn)動?三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系------轉(zhuǎn)動動能定理類比于質(zhì)點(diǎn)的動能定理一、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(一)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度質(zhì)量

m

,

力F轉(zhuǎn)動慣量

I,力矩

M力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能勢能轉(zhuǎn)動勢能質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(二)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動牛頓定律轉(zhuǎn)動定理動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定理轉(zhuǎn)動動能定理機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒二、角量與線量的關(guān)系三、自然坐標(biāo)系中的力學(xué)量7四.剛體的平面運(yùn)動動力學(xué)的處理方法:質(zhì)心運(yùn)動定理+繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理五.剛體的平衡條件要掌握8

剛體——由無數(shù)個連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個質(zhì)量元。每個質(zhì)點(diǎn)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。剛體的運(yùn)動——平動和轉(zhuǎn)動。任何復(fù)雜的運(yùn)動為兩者的疊加。1.剛體的基本運(yùn)動形式§7.1剛體運(yùn)動的描述9剛體的復(fù)雜運(yùn)動——平動和轉(zhuǎn)動的疊加。*.剛體的平動可以簡化為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。10用O-XY坐標(biāo)平面自剛體截出一平面圖形2.定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程為：－－剛體定軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo)（規(guī)定：逆時針為正）。則剛體轉(zhuǎn)動的角速度為：則剛體轉(zhuǎn)動的角加速度為：12與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)相似，已知初始條件，由角速度、角加速度通過積分可以求出剛體的運(yùn)動方程。角量線量角加速度為常量的轉(zhuǎn)動－－勻變速轉(zhuǎn)動，則有：13定軸轉(zhuǎn)動的特征：方向：右手螺旋法則。3.角速度的矢量性、角加速度O14說明：有限大小的角位移并不是矢量，只有無限小的角位移、角速度才是矢量。15剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動，且這些平面均與一固定平面平行－－剛體的平面運(yùn)動。利用與固定平面平行的平面在剛體體內(nèi)截出一平面圖形，此平面圖形位置確定，則剛體的位置即可確定。4.剛體的平面運(yùn)動16剛體平面運(yùn)動可表示為：剛體隨基點(diǎn)的平動＋剛體繞過基點(diǎn)且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動剛體隨基點(diǎn)的平動:繞過基點(diǎn)且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動17兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，得：如何計算剛體平面運(yùn)動時A運(yùn)動的速度？18則輪胎邊緣上任一點(diǎn)的速度為：P

選擇車軸上一點(diǎn)C為基點(diǎn)，平動速度為，車輪半徑為r

，繞過C點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動的角速度為，車輪無滑滾動時，對于瞬時接觸地面的P點(diǎn)，其瞬時速度為零。即：在如圖所示的坐標(biāo)系水平方向上的分量為：—圓柱體做無滑滾動的條件。19§7.2剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)的動量：質(zhì)點(diǎn)系的動量：一、剛體的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：……則剛體的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：……式中：即:質(zhì)心位于棒中點(diǎn)處21例1:求長為L的均勻細(xì)棒的質(zhì)心。(棒的質(zhì)量為m)解：選取質(zhì)量微元dm，則22……如果剛體由幾個部分組成,則剛體的質(zhì)心如何計算？投影式：23二、剛體的動量與質(zhì)心運(yùn)動定理----剛體的動量－－剛體質(zhì)心運(yùn)動定理若剛體所受合外力為零，則動量守恒。24剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量為：§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動慣量－－轉(zhuǎn)動慣量則剛體對軸的角動量表示為：轉(zhuǎn)動慣量I是用于描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。25對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：－－轉(zhuǎn)動慣量（離散）26平行軸定理和垂直軸定理平行軸定理:垂直軸定理:可疊加原理：I=I1+I2+……27（一）I與M對轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)；（二）I與剛體質(zhì)量M有關(guān)；（三）I與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。28二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定律（1）角動量定理由質(zhì)點(diǎn)系對Z軸的角動量定理，可得剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理：－－－角動量定理沖量矩29（2）定軸轉(zhuǎn)動定理由質(zhì)點(diǎn)系角動量定理得：——定軸轉(zhuǎn)動定理

瞬時性。同一時刻對同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言。30必須指明外力對某一確定的轉(zhuǎn)軸的力矩。3132§7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理r1.力矩的功和功率力矩的功：332.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理力矩的功率：

合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。343.剛體的重力勢能以剛體和地球?yàn)橄到y(tǒng)，取地面為零勢能參考點(diǎn)，剛體的重力勢能等于各質(zhì)量元重力勢能之合。即得35如果只有重力等保守力做功，則剛體機(jī)械能守恒，即（定軸轉(zhuǎn)動）36例：如圖，已知滑輪的質(zhì)量為M，半徑為R，物體的質(zhì)量為m，

彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面的傾角為θ，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時彈簧無形變。設(shè)細(xì)繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑x米時的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）解：解法一

選取m,M,k和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力和彈性力均為系統(tǒng)保守內(nèi)力，其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。k37設(shè)m未釋放時為初態(tài)，此時重力勢能為零。當(dāng)m下滑x后為終態(tài)。初態(tài)能量：（滑輪的重力勢能不變）終態(tài)能量：38由機(jī)械能守恒得由角量和線量的關(guān)系得聯(lián)立式（1）、（2）、（3）得39解法二：選取

m、M、k為系統(tǒng)，由動能定理繩子的張力為內(nèi)力。所以有即代入角量、線量關(guān)系并解之得相同結(jié)果。40剛體平面平行運(yùn)動的描述（運(yùn)動學(xué)）+聯(lián)系剛體平面平行運(yùn)動隨質(zhì)心的平動繞過質(zhì)心并垂直于運(yùn)動平面的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動§7.5剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)41剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)規(guī)律1.剛體隨質(zhì)心的平動規(guī)律遵從質(zhì)心運(yùn)動定理：投影式：422.剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動遵從定軸轉(zhuǎn)動定律：質(zhì)心運(yùn)動定理：定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)規(guī)律43222121wcckImvE+=cPmgzE=總機(jī)械能PkEEE+=剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)規(guī)律動能勢能44純滾動摩擦力足夠大，其運(yùn)動形式為無滑動的滾動——純滾動。摩擦力不夠大，則出現(xiàn)滑動又滾動的情況。純滾動條件：圓柱體或圓球沿一軌道的滾動——剛體平面平行運(yùn)動的常見情況。45作用于剛體上力的特征1.作用于剛體上力的兩種效果·滑移矢量

使質(zhì)心做加速運(yùn)動－－－質(zhì)心運(yùn)動定理對質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度－－－轉(zhuǎn)動定律剛體所受的力可沿作用線滑移而不改變其效果，即作用于剛體的力是滑移矢量。46力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)。對剛體而言，力的三要素：大小、方向、作用線。若力的作用線通過質(zhì)心，則該力對質(zhì)心軸的力矩為零，故該力僅產(chǎn)生質(zhì)心加速度。472.力偶和力偶矩

力偶－－大小相等方向相反彼此平行的一對力。（對剛體質(zhì)心運(yùn)動無影響，僅對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動有影響。）如所示，力和是一對力偶。則對質(zhì)心軸所形成的力矩為：方向：右手螺旋關(guān)系。d為力偶臂48考慮到作用于剛體上力的兩種效果和力偶矩的概念，對于作用于剛體上的力，可有如下的結(jié)論：等效于作用于剛體上的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶的力偶矩等于原力對質(zhì)心軸的力矩。49§7.6剛體的平衡一.剛體的平衡方程由剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程:可知剛體處于平衡時必須滿足的條件是:50剛體保持平衡的充分必要條件是：作用于剛體上諸力在同一平面內(nèi)，剛體受力矢量和為零，對與作用平面垂直的任意軸的力矩代數(shù)和為零。投影式為：（對任意Z軸）一、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(一)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度質(zhì)量

m

,

力F轉(zhuǎn)動慣量

I,力矩

M力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能勢能轉(zhuǎn)動勢能質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(二)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動牛頓定律轉(zhuǎn)動定理動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定理轉(zhuǎn)動動能定理機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒二、角量與線量的關(guān)系三、自然坐標(biāo)系中的力學(xué)量四大定理、三大守恒律四大定理1.動能定理2.功能原理3.動量定理4.角動量定理三大守恒律1.機(jī)械能守恒2.動量守恒3.角動量守恒解決力學(xué)問題的方法1.確定研究對象（如果是系統(tǒng)要分別進(jìn)行研究）。2.受力分析，牛頓定律動量定理考慮所有的力動能定理考慮作功的力功能原理