【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊 26.4 解直角三角形的應(yīng)用 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(冀教版)

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一、選擇題

1．（2023·綿陽模擬）圖中的梯形ABCD是水壩的一個截面圖，陰影部分是外坡面土方的部分．其中，，，，m，AD＝5m，則壩底外坡面土方的水平寬度BE長為（）

A．mB．mC．mD．m

2．（2023·斗門模擬）某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù)后剛返回到港口A，接到上級指令，發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向上有一艘可疑船只C，與此同時在港口A處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦B也收到了相關(guān)指令，驅(qū)逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東的方向上，則可疑船只C距離港口A的距離為（）

A．B．C．D．

3．（2023·柳州模擬）如圖，某商場一樓與二樓之間的電梯示意圖.∠ABC=150°，BC的長是8m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是（）

A．mB．mC．8mD．4m

4．（2023·南充模擬）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量學(xué)校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為37米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為，則旗桿的高度約為（）

A．米B．C．D．22.5米

5．（2023九下·永康月考）如圖，某校教學(xué)樓與的水平間距，在教學(xué)樓的頂部點測得教學(xué)樓的頂部點的仰角為，測得教學(xué)樓的底部點的俯角為，則教學(xué)樓的高度是（）

A．B．

C．D．

6．（2023·游仙模擬）年月日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十三號載人飛行任務(wù)收得圓滿成功，中國航天，又站在了一個新的起點.如圖年月日，神舟十三號載人飛船從地面處成功發(fā)射，當飛船到達點時，地面處的雷達站測得米，仰角為，秒后，飛船直線上升到達點處，此時地面處的雷達站測得處的仰角為.點，，在同一直線上，已知，兩處相距米，則飛船從到處的平均速度為（）米秒.（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

A．336B．335C．334D．333

7．（2023·秦皇島模擬）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西方向上，輪船從A處以每小時40海里的速度沿南偏西方向勻速航行，1小時后到達碼頭B處，此時，觀測燈塔C位于北偏西方向上，則下列說法正確的是（）

A．

B．點B到的距離為海里

C．海里

D．點B在點C的南偏東的方向上

8．（2022·章丘模擬）如圖，在平行四邊形OABC中，邊OC在x軸上，點A（1，），點C（3，0）．按以下步驟作圖：分別以點B，C為圓心，大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點；作直線EF，交AB于點H；連接OH，則OH的長為（）

A．B．C．2D．2

二、填空題

9．（2023·岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是米（結(jié)果精確到0.1米，）．

10．（2023八下·中山期中）如圖，供給船要給C島運送物資，從海岸線AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線航行60nmile到達C島．測得海岸線上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．

11．如圖1是一個消防云梯，其示意圖如圖2所示，此消防云梯由救援臺AB，延展臂BC（B在C的左側(cè)），伸展主臂CD，支撐臂EF構(gòu)成.在操作過程中，救援臺AB，車身GH及地面MN三者始終保持平行，

（1）當∠EFH＝55°，BC∥EF時，∠ABC＝度；

（2）如圖3為了參與另一項高空救援工作，需要進行調(diào)整，使得延展臂BC與支撐臂EF

所在直線互相垂直，且∠EFH＝78°，此時∠ABC＝度．

12．（2023八上·紹興月考）如(圖1)，某學(xué)校樓梯墻面上懸掛了四幅全等的正方形畫框，畫框下邊緣與水平地面平行．如(圖2)，畫框的左上角頂點，，，都在直線上，且，樓梯裝飾線條所在直線，延長畫框的邊，得到平行四邊形ABCD．若直線恰好經(jīng)過點，，，，則正方形畫框的邊長為

13．（2023九下·衢江月考）衢州兒童公園有摩天輪，水上樂園等娛樂設(shè)施，其中的摩天輪半徑為20米，水上樂園的最高處到地面的距離為32米；如圖，當摩天輪的座艙A旋轉(zhuǎn)至與水上樂園最高處高度相同時，地面某觀測點P與座艙A，摩天輪圓心O恰好在同一條直線上，此時測得，則的距離為米；此時另一座艙B位于摩天輪最低點，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周要12分鐘，若摩天輪繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，經(jīng)過了分鐘.

三、解答題

14．（2023·菏澤）無人機在實際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機測最大樓的高度，無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點80米，點A處俯角為，樓頂C點處的俯角為，已知點A與大樓的距離為70米（點A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號）

15．（2023·瀘州）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進到達點，再沿水平方向繼續(xù)前進一段距離后到達點．在點處測得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計算結(jié)果用根號表示，不取近似值）．

四、綜合題

16．（2023九下·興化月考）如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角；入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角，、為法線入射光線、和折射光線、及法線、都在同一平面內(nèi)，點到直線的距離為米．

（1）求的長；結(jié)果保留根號

（2）如果米，求水池的深參考數(shù)據(jù)：取，取，取，取，取，取，取，取

17．（2023·衡陽）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

（1）求教學(xué)樓的高度．

（2）若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．

18．（2023·江西模擬）圖1是某簡易座椅，圖2是其側(cè)面示意圖，固定點O為椅腿和的中點，靠背的一端固定在上的點E處，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180°后與重合，此時靠背收攏．已知，，．

（1）求坐墊的長．

（2）在收攏靠背的過程中，求點F到點C距離的最小值．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，）

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：過點A作AF⊥BC于點F，

∵AD∥BC，∠C=90°，

∴∠C+∠D=180°，

∴∠D=90°，

∴四邊形ADCF為矩形，

∴FC=AD=5，AF=CD.

∵∠B=45°，AB=，

∴AF=ABsin45°=，BF=ABcos45°=.

∵∠DEC=60°，CD=AF=，

∴CE==10，

∴BE=BC-CE=BF+CF-BC=-5.

故答案為：B.

【分析】過點A作AF⊥BC于點F，則四邊形ADCF為矩形，F(xiàn)C=AD=5，AF=CD，利用三角函數(shù)的概念可得AF、BF、CE，然后根據(jù)BE=BC-CE=BF+CF-BC進行計算.

2．【答案】C

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】解：∵在其北偏東方向上有一艘可疑船只C，與此同時在港口A處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦B也收到了相關(guān)指令，

∴∠CAB=60°-30°=30°，

∵驅(qū)逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東的方向上，

∴∠ACB=30°+30°=60°，

∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，

∵，AB=10km，

∴，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用銳角三角函數(shù)計算求解即可。

3．【答案】D

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥BC

∵∠ABC=150°

∴∠CBE=30°

∴

故答案為：D.

【分析】過點C作CE⊥BC，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得∠CBE=30°，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

4．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：設(shè)旗桿底部為點，頂部為點，無人機處為點，

延長，交點處的水平線于點，

由題意得，米，米，，

在中，，

解得，

米.

故答案為：B.

【分析】設(shè)旗桿底部為點，頂部為點，無人機處為點，延長，交點處的水平線于點，在中，由求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.

5．【答案】A

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：過點作，垂足為，

由題意得：

米，

在中，，

米，

在中，，

米，

米，

故答案為：A.

【分析】過點C作CE⊥AB，垂足為E，由題意可得CE=BD=a米，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BE、AE，然后根據(jù)AB=AE+BE進行計算.

6．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：依題意，，，米，，

在中，，

在中，，

∴，

∴飛船從到處的平均速度為米秒，

故答案為：C.

【分析】在Rt△AOD中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出OA的長，由余弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出OD的長，由線段的和差算出OC，根據(jù)等腰三角形可得BO的長，進而根據(jù)AB=OB-OA算出AB的長，最后根據(jù)路程、速度、時間三者的關(guān)系即可算出答案.

7．【答案】C

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】解：過B作于點D，如圖所示：

由題意得，故A選項錯；

∵，

∴在中，，

所以海里，故B選項錯；

由圖1可知，，所以D選項錯；

∵，

∴海里，所以C選項符合題意；

故答案為：C．

【分析】過B作于點D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在中，利用求出BD的長，據(jù)此判斷A、B；利用平行線的性質(zhì)可得∠1=25°，據(jù)此判斷③；利用三角形內(nèi)角和求出∠BAC的度數(shù)，利用求出BC的長，即可判斷D.

8．【答案】B

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用；特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【解答】解：延長BA交y軸于點M，則AM⊥y軸，如圖所示：

∵點A（1，），

∴AM=1，OM=，

∵在Rt△AMO中，，

，

∴∠AOM=30°，

∴∠AOC=∠B=60°，

∵EF為BC的垂直平分線，BC=2，

∴BN=1，∠BHN=30°，

∴HB=2BN=2，

∵點C(3，0)，

∴OC=AB=3，

∴AH=ABBH=1，

∴MH=MA+AH=2，

∴在Rt△HMO中，，

故答案為：B．

【分析】延長BA交y軸于點M，則AM⊥y軸，利用特殊角的三角函數(shù)和平行四邊形的性質(zhì)求出∠B，進而求BH，根據(jù)B點、C點坐標和平行四邊形對邊長度相等可知H點坐標，最后用勾股定理求OH

9．【答案】9.5

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：由題意可得，四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，

∵AD=BC=20m，∠EAD=21.8°，

∴DE=AD·tan21.8°≈20x0.4000=8(m)，

∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5(m)，

即氣球頂部離地面的高度EC是9.5m，

故答案為：9.5.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)先求出AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，再利用銳角三角函數(shù)計算求解即可。

10．【答案】25

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】解：過點A作AD⊥CD于點D，

由題意可得∠CAD=90°-40°=50°，

∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，

∴∠ACB=40°+50°=90°.

∵AC=60，AB=65，

∴BC==25.

故答案為：25.

【分析】過點A作AD⊥CD于點D，由題意可得∠CAD=90°-40°=50°，則∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理進行計算.

11．【答案】（1）125

（2）168

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：（1）如圖，分別延長CB、HG相交于點K，

∵BC∥EF，∠EFH＝55°，∴∠BKH=∠EFH＝55°，

∵AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，

∵∠ABK+∠ABC=180°，

∴∠ABC=125°；

故答案為：125.

（2）如圖，分別延長BC、FE交于點P，分別延長AB交FE的延長線于點Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，

∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，

∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；

故答案為：168.

【分析】（1）分別延長CB、HG相交于點K，由平行線的性質(zhì)可得∠BKH=∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用鄰補角的定義即可求出∠ABC的度數(shù)；

（2）分別延長BC、FE交于點P，分別延長AB交FE的延長線于點Q，則∠BPQ=90°，由平行線的性質(zhì)可得∠Q=∠EFH=78°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ABC=∠Q+∠BPQ，繼而得解.

12．【答案】

【知識點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】如圖，延長EP，交CD于D點，

，

四邊形BCKE是平行四邊形，

BE=CK，BC=EK，

BH=EP，

，

，四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD=275cm，

，

，

，

，

，

，

.

故答案為：.

【分析】延長EP，交CD于D點，推出，解，求出DK，進而得到BE和AG，最后解得到GM的長.

13．【答案】；或

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，

易得四邊形OCEF是矩形，，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

如圖，連接AC，

∵，，

∴，

∵，

∴，

當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，分兩種情況，

①當A在B的左側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于F，A移動到A1處，B移動到了B1處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴從A移動到A1處，用了（周），

∴經(jīng)過了（分鐘）；

②當A在B的右側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于G，A移動到A2處，B移動到了B2處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴從A移動到A2處，用了（周），

∴經(jīng)過了（分鐘）；

綜上，當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，經(jīng)過了或分鐘.

故答案為：；或.

【分析】過點A作AE⊥PC于點E，過點O作OF⊥AE于點F，易得四邊形OCEF是矩形，由矩形的性質(zhì)得OF∥CE，OF=CE，由二直線平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，進而根據(jù)∠AOF的余弦函數(shù)可求出OF，由∠APC的正切函數(shù)可求出PE，進而由PC=PE-CE計算即可；連接AC，由三角形的內(nèi)角和定理得∠POC=60°，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半及等邊對等角得∠OAB=∠OBA=30°；當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，分兩種情況，①當A在B的左側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于F，A移動到A1處，B移動到了B1處，∠FA1B1=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA1B1=45°，根據(jù)角的和差算出∠OA1F=75°，由平行線的性質(zhì)得∠MFP=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOA1=75°，從而即可求出從A移動到A1處旋轉(zhuǎn)的時間；②當A在B的右側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于G，A移動到A2處，B移動到了B2處，得∠MA2B2=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA2B2=30°，由∠的和差算出∠MA2O的度數(shù)，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AGA2的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可算出∠AOA2的度數(shù)，從而即可求出從A移動到A2處旋轉(zhuǎn)的時間，綜上即可得出答案.

14．【答案】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，

∴，，

由題意可得：，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴大樓的高度為．

【知識點】矩形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【分析】過作于，過作于，而，先根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到，，進而根據(jù)題意得到，，，，再根據(jù)解直角三角形的知識即可得到PH和AH的長，進而得到CQ和PQ，再根據(jù)即可求解。

15．【答案】解：延長，交于點G，過點B作于點F，如圖所示：

則，

∵斜面的坡度為，

∴設(shè)，則，

在中，根據(jù)勾股定理得：，

即，

解得：，負值舍去，

即，

∵為水平方向，為豎直方向，

∴，

∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古樹的高度為．

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【分析】根據(jù)題意利用勾股定理求出x=20，再求出四邊形為矩形，最后利用矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)計算求解即可。

16．【答案】（1）解：作，交的延長線于點，

則，

，，

，，

，，

米，

米，米，

米，

即的長為米；

（2）解：設(shè)水池的深為米，則米，

由題意可知：，米，

米，米，

，

，

解得，

即水池的深約為米．

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）過A作AF⊥BC，交CB的延長線于點F，由平行線的判定可得AF∥MN∥MN，由平行線的性質(zhì)可得∠ABM=∠BAF，∠ACM=∠CAF，在RtABF中，由銳角三角函數(shù)tan∠BAF=可求得BF的值，同理在RtACF中，可求得CF的值；然后由線段的構(gòu)成BC=CF-BF可求解；

（2）設(shè)水池的深為米，則米，在RtBND和RtCEN中，由銳角三角函數(shù)可求得DN和NE的值，根據(jù)線段的構(gòu)成DN+DE=BC+NE可得關(guān)于x的方程，解方程可求解.

17．【答案】（1）解：過點B作于點G，

根據(jù)題意可得：，米，，

∵，，，

∴四邊形為矩形，

∴米，

∵，，

∴，

∴，

∴米，

∵長為米，

∴（米），

答：教學(xué)樓的高度為米．

（2）解：連接并延長，交于點H，

∵米，米，

∴米，

∵米，，

∴，

∴，米，

∴（米），

∵無人機以米/秒的速度飛行，

∴離開視線的時間為：（秒），

答：無人機剛好離開視線的時間為12秒．

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出四邊形為矩形，再利用矩形的性質(zhì)求出米，最后利用銳角三角函數(shù)計算求解即可；

（2）先求出EG=24米，再利用銳角三角函數(shù)求出DH的值，最后計算求解即可。

18．【答案】（1）解：如圖所示，過點O作于G，

∵固定點O為椅腿和的中點，，

∴，

∵，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

∴坐墊的長為；

（2）解：如圖所示，過點C作于H，

∵將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180°后與重合，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，，

∴，

∴，

∵在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持不變，

∴點F在以點E為圓心，以的長為半徑的圓上運動，

∴當三點共線時，有最小值，此時點F與點重合，

∴，

∴點F到點C距離的最小值為．

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出，再求出即可；

（2）先證出點F在以點E為圓心，以的長為半徑的圓上運動，當三點共線時，有最小值，此時點F與點重合，再求出，即可得到點F到點C距離的最小值為。

1/12023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊26.4解直角三角形的應(yīng)用同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(冀教版)

一、選擇題

1．（2023·綿陽模擬）圖中的梯形ABCD是水壩的一個截面圖，陰影部分是外坡面土方的部分．其中，，，，m，AD＝5m，則壩底外坡面土方的水平寬度BE長為（）

A．mB．mC．mD．m

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：過點A作AF⊥BC于點F，

∵AD∥BC，∠C=90°，

∴∠C+∠D=180°，

∴∠D=90°，

∴四邊形ADCF為矩形，

∴FC=AD=5，AF=CD.

∵∠B=45°，AB=，

∴AF=ABsin45°=，BF=ABcos45°=.

∵∠DEC=60°，CD=AF=，

∴CE==10，

∴BE=BC-CE=BF+CF-BC=-5.

故答案為：B.

【分析】過點A作AF⊥BC于點F，則四邊形ADCF為矩形，F(xiàn)C=AD=5，AF=CD，利用三角函數(shù)的概念可得AF、BF、CE，然后根據(jù)BE=BC-CE=BF+CF-BC進行計算.

2．（2023·斗門模擬）某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù)后剛返回到港口A，接到上級指令，發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向上有一艘可疑船只C，與此同時在港口A處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦B也收到了相關(guān)指令，驅(qū)逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東的方向上，則可疑船只C距離港口A的距離為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】解：∵在其北偏東方向上有一艘可疑船只C，與此同時在港口A處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦B也收到了相關(guān)指令，

∴∠CAB=60°-30°=30°，

∵驅(qū)逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東的方向上，

∴∠ACB=30°+30°=60°，

∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，

∵，AB=10km，

∴，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用銳角三角函數(shù)計算求解即可。

3．（2023·柳州模擬）如圖，某商場一樓與二樓之間的電梯示意圖.∠ABC=150°，BC的長是8m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是（）

A．mB．mC．8mD．4m

【答案】D

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥BC

∵∠ABC=150°

∴∠CBE=30°

∴

故答案為：D.

【分析】過點C作CE⊥BC，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得∠CBE=30°，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

4．（2023·南充模擬）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量學(xué)校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為37米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為，則旗桿的高度約為（）

A．米B．C．D．22.5米

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：設(shè)旗桿底部為點，頂部為點，無人機處為點，

延長，交點處的水平線于點，

由題意得，米，米，，

在中，，

解得，

米.

故答案為：B.

【分析】設(shè)旗桿底部為點，頂部為點，無人機處為點，延長，交點處的水平線于點，在中，由求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.

5．（2023九下·永康月考）如圖，某校教學(xué)樓與的水平間距，在教學(xué)樓的頂部點測得教學(xué)樓的頂部點的仰角為，測得教學(xué)樓的底部點的俯角為，則教學(xué)樓的高度是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：過點作，垂足為，

由題意得：

米，

在中，，

米，

在中，，

米，

米，

故答案為：A.

【分析】過點C作CE⊥AB，垂足為E，由題意可得CE=BD=a米，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BE、AE，然后根據(jù)AB=AE+BE進行計算.

6．（2023·游仙模擬）年月日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十三號載人飛行任務(wù)收得圓滿成功，中國航天，又站在了一個新的起點.如圖年月日，神舟十三號載人飛船從地面處成功發(fā)射，當飛船到達點時，地面處的雷達站測得米，仰角為，秒后，飛船直線上升到達點處，此時地面處的雷達站測得處的仰角為.點，，在同一直線上，已知，兩處相距米，則飛船從到處的平均速度為（）米秒.（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

A．336B．335C．334D．333

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：依題意，，，米，，

在中，，

在中，，

∴，

∴飛船從到處的平均速度為米秒，

故答案為：C.

【分析】在Rt△AOD中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出OA的長，由余弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出OD的長，由線段的和差算出OC，根據(jù)等腰三角形可得BO的長，進而根據(jù)AB=OB-OA算出AB的長，最后根據(jù)路程、速度、時間三者的關(guān)系即可算出答案.

7．（2023·秦皇島模擬）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西方向上，輪船從A處以每小時40海里的速度沿南偏西方向勻速航行，1小時后到達碼頭B處，此時，觀測燈塔C位于北偏西方向上，則下列說法正確的是（）

A．

B．點B到的距離為海里

C．海里

D．點B在點C的南偏東的方向上

【答案】C

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】解：過B作于點D，如圖所示：

由題意得，故A選項錯；

∵，

∴在中，，

所以海里，故B選項錯；

由圖1可知，，所以D選項錯；

∵，

∴海里，所以C選項符合題意；

故答案為：C．

【分析】過B作于點D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在中，利用求出BD的長，據(jù)此判斷A、B；利用平行線的性質(zhì)可得∠1=25°，據(jù)此判斷③；利用三角形內(nèi)角和求出∠BAC的度數(shù)，利用求出BC的長，即可判斷D.

8．（2022·章丘模擬）如圖，在平行四邊形OABC中，邊OC在x軸上，點A（1，），點C（3，0）．按以下步驟作圖：分別以點B，C為圓心，大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點；作直線EF，交AB于點H；連接OH，則OH的長為（）

A．B．C．2D．2

【答案】B

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用；特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【解答】解：延長BA交y軸于點M，則AM⊥y軸，如圖所示：

∵點A（1，），

∴AM=1，OM=，

∵在Rt△AMO中，，

，

∴∠AOM=30°，

∴∠AOC=∠B=60°，

∵EF為BC的垂直平分線，BC=2，

∴BN=1，∠BHN=30°，

∴HB=2BN=2，

∵點C(3，0)，

∴OC=AB=3，

∴AH=ABBH=1，

∴MH=MA+AH=2，

∴在Rt△HMO中，，

故答案為：B．

【分析】延長BA交y軸于點M，則AM⊥y軸，利用特殊角的三角函數(shù)和平行四邊形的性質(zhì)求出∠B，進而求BH，根據(jù)B點、C點坐標和平行四邊形對邊長度相等可知H點坐標，最后用勾股定理求OH

二、填空題

9．（2023·岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是米（結(jié)果精確到0.1米，）．

【答案】9.5

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：由題意可得，四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，

∵AD=BC=20m，∠EAD=21.8°，

∴DE=AD·tan21.8°≈20x0.4000=8(m)，

∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5(m)，

即氣球頂部離地面的高度EC是9.5m，

故答案為：9.5.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)先求出AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，再利用銳角三角函數(shù)計算求解即可。

10．（2023八下·中山期中）如圖，供給船要給C島運送物資，從海岸線AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線航行60nmile到達C島．測得海岸線上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．

【答案】25

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】解：過點A作AD⊥CD于點D，

由題意可得∠CAD=90°-40°=50°，

∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，

∴∠ACB=40°+50°=90°.

∵AC=60，AB=65，

∴BC==25.

故答案為：25.

【分析】過點A作AD⊥CD于點D，由題意可得∠CAD=90°-40°=50°，則∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理進行計算.

11．如圖1是一個消防云梯，其示意圖如圖2所示，此消防云梯由救援臺AB，延展臂BC（B在C的左側(cè)），伸展主臂CD，支撐臂EF構(gòu)成.在操作過程中，救援臺AB，車身GH及地面MN三者始終保持平行，

（1）當∠EFH＝55°，BC∥EF時，∠ABC＝度；

（2）如圖3為了參與另一項高空救援工作，需要進行調(diào)整，使得延展臂BC與支撐臂EF

所在直線互相垂直，且∠EFH＝78°，此時∠ABC＝度．

【答案】（1）125

（2）168

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：（1）如圖，分別延長CB、HG相交于點K，

∵BC∥EF，∠EFH＝55°，∴∠BKH=∠EFH＝55°，

∵AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，

∵∠ABK+∠ABC=180°，

∴∠ABC=125°；

故答案為：125.

（2）如圖，分別延長BC、FE交于點P，分別延長AB交FE的延長線于點Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，

∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，

∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；

故答案為：168.

【分析】（1）分別延長CB、HG相交于點K，由平行線的性質(zhì)可得∠BKH=∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用鄰補角的定義即可求出∠ABC的度數(shù)；

（2）分別延長BC、FE交于點P，分別延長AB交FE的延長線于點Q，則∠BPQ=90°，由平行線的性質(zhì)可得∠Q=∠EFH=78°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ABC=∠Q+∠BPQ，繼而得解.

12．（2023八上·紹興月考）如(圖1)，某學(xué)校樓梯墻面上懸掛了四幅全等的正方形畫框，畫框下邊緣與水平地面平行．如(圖2)，畫框的左上角頂點，，，都在直線上，且，樓梯裝飾線條所在直線，延長畫框的邊，得到平行四邊形ABCD．若直線恰好經(jīng)過點，，，，則正方形畫框的邊長為

【答案】

【知識點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】如圖，延長EP，交CD于D點，

，

四邊形BCKE是平行四邊形，

BE=CK，BC=EK，

BH=EP，

，

，四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD=275cm，

，

，

，

，

，

，

.

故答案為：.

【分析】延長EP，交CD于D點，推出，解，求出DK，進而得到BE和AG，最后解得到GM的長.

13．（2023九下·衢江月考）衢州兒童公園有摩天輪，水上樂園等娛樂設(shè)施，其中的摩天輪半徑為20米，水上樂園的最高處到地面的距離為32米；如圖，當摩天輪的座艙A旋轉(zhuǎn)至與水上樂園最高處高度相同時，地面某觀測點P與座艙A，摩天輪圓心O恰好在同一條直線上，此時測得，則的距離為米；此時另一座艙B位于摩天輪最低點，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周要12分鐘，若摩天輪繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，經(jīng)過了分鐘.

【答案】；或

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，

易得四邊形OCEF是矩形，，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

如圖，連接AC，

∵，，

∴，

∵，

∴，

當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，分兩種情況，

①當A在B的左側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于F，A移動到A1處，B移動到了B1處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴從A移動到A1處，用了（周），

∴經(jīng)過了（分鐘）；

②當A在B的右側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于G，A移動到A2處，B移動到了B2處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴從A移動到A2處，用了（周），

∴經(jīng)過了（分鐘）；

綜上，當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，經(jīng)過了或分鐘.

故答案為：；或.

【分析】過點A作AE⊥PC于點E，過點O作OF⊥AE于點F，易得四邊形OCEF是矩形，由矩形的性質(zhì)得OF∥CE，OF=CE，由二直線平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，進而根據(jù)∠AOF的余弦函數(shù)可求出OF，由∠APC的正切函數(shù)可求出PE，進而由PC=PE-CE計算即可；連接AC，由三角形的內(nèi)角和定理得∠POC=60°，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半及等邊對等角得∠OAB=∠OBA=30°；當從座艙A觀測座艙B的俯角為45°時，分兩種情況，①當A在B的左側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于F，A移動到A1處，B移動到了B1處，∠FA1B1=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA1B1=45°，根據(jù)角的和差算出∠OA1F=75°，由平行線的性質(zhì)得∠MFP=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOA1=75°，從而即可求出從A移動到A1處旋轉(zhuǎn)的時間；②當A在B的右側(cè)時，如圖，MF為水平線，延長PA交MF于G，A移動到A2處，B移動到了B2處，得∠MA2B2=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA2B2=30°，由∠的和差算出∠MA2O的度數(shù)，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AGA2的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可算出∠AOA2的度數(shù)，從而即可求出從A移動到A2處旋轉(zhuǎn)的時間，綜上即可得出答案.

三、解答題

14．（2023·菏澤）無人機在實際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機測最大樓的高度，無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點80米，點A處俯角為，樓頂C點處的俯角為，已知點A與大樓的距離為70米（點A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號）

【答案】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，

∴，，

由題意可得：，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴大樓的高度為．

【知識點】矩形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【分析】過作于，過作于，而，先根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到，，進而根據(jù)題意得到，，，，再根據(jù)解直角三角形的知識即可得到PH和AH的長，進而得到CQ和PQ，再根據(jù)即可求解。

15．（2023·瀘州）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進到達點，再沿水平方向繼續(xù)前進一段距離后到達點．在點處測得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計算結(jié)果用根號表示，不取近似值）．

【答案】解：延長，交于點G，過點B作于點F，如圖所示：

則，

∵斜面的坡度為，

∴設(shè)，則，

在中，根據(jù)勾股定理得：，

即，

解得：，負值舍去，

即，

∵為水平方向，為豎直方向，

∴，

∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古樹的高度為