新教材數(shù)學人教A版教案4-5函數(shù)的應(yīng)用（二）4-5-3函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用必備知識·探新知基礎(chǔ)知識指數(shù)函數(shù)模型(，，為常數(shù)，，且)對數(shù)函數(shù)模型(，，為常數(shù)，，且)1．建立函數(shù)模型解決實際問題的基本思路2．建立函數(shù)模型解決實際問題的解題步驟某些實際問題提供的變量關(guān)系是確定的，即設(shè)自變量為，因變量為.它們已建立了函數(shù)模型，我們可以利用該函數(shù)模型得出實際問題的答案．具體解題步驟為：第一步，審題，引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型．了解變量的含義，若模型中含有待定系數(shù)，則需要進一步用待定系數(shù)法或其他方法確定．第二步，求解數(shù)學模型．利用數(shù)學知識，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，對函數(shù)模型進行解答．第三步，轉(zhuǎn)譯成實際問題的解．定量分析和研究實際問題時，要深入調(diào)查、研究、了解對象信息，作出簡化假設(shè)，用數(shù)學的符號和語言，把它表述為數(shù)學式子(也就是數(shù)學模型)，然后計算得到模型的結(jié)果，并進行檢驗，最后解釋實際問題．這個建立數(shù)學模型的全過程，就稱為數(shù)學建模．根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫出散點圖，然后選擇函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式，再進行擬合、比較，選出最恰當?shù)暮瘮?shù)模型的過程，稱為函數(shù)擬合(或數(shù)據(jù)擬合)．1．建立擬合函數(shù)模型的步驟(1)收集數(shù)據(jù)．(2)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系內(nèi)畫出散點圖．(3)根據(jù)點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數(shù)模型．(4)選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型．(5)將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進行檢驗，看其是否符合實際，若不符合實際，則返回步驟(3)，若符合實際，則進入下一步．(6)用所得函數(shù)模型解釋實際問題．2．建立擬合函數(shù)模型的一般流程根據(jù)建立擬合函數(shù)模型的步驟，我們用下圖來表示建立擬合函數(shù)模型的一般流程．基礎(chǔ)自測1．某廠年的產(chǎn)值為萬元，預(yù)計產(chǎn)值每年以的速度遞增，則該廠到年的產(chǎn)值(單位：萬元)是（）A． B．C． D．2．某種細菌經(jīng)分鐘個數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋?，且該種細菌的繁殖規(guī)律為，其中為常數(shù)，表示時間(單位：時)，表示繁殖后細菌總個數(shù)，則_________，經(jīng)過小時，個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)開_________.3．某種動物繁殖數(shù)量(只)與時間(年)的關(guān)系為，設(shè)這種動物第年有只，則第年它們繁殖到_______只．4．某學校開展研究性學習活動，一組同學獲得了下面的一組試驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)有如下個模擬函數(shù)：①；②；③；④；⑤.請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選______(填序號)．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例1.年月日世界人口達到億，假設(shè)世界人口年增長率為，用英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯提出自然狀態(tài)下的人口增長模型：預(yù)測什么時候世界人口會翻一番？[分析]解指數(shù)方程，要進行指對式互化．[解析]由年世界人口數(shù)據(jù)，把，代入馬爾薩斯人口模型，得.解不等式得.所以由馬爾薩斯人口模型估算，經(jīng)過年后，即年世界人口達到億．[歸納提升]指數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1)指數(shù)型函數(shù)模型：(且，)，在實際問題中，有關(guān)人口增長，銀行利率，細胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示．(2)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學模型，②依實際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學問題，④得出結(jié)論．【對點練習】?目前某縣有萬人．經(jīng)過年后為萬人．如果年平均增長率是.請回答下列問題：(1)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)計算年后該縣的人口總數(shù)(精確到萬人)；(3)計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到萬(精確到年)．題型二：對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例2.有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，代表測量過程中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數(shù)據(jù)：，，)．(1)當，候鳥每分鐘的耗氧量為個單位時，候鳥的飛行速度是多少?(2)當，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少單位？(3)若雄鳥的飛行速度為，同類雌鳥的飛行速度為，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？[分析](1)將，代入解析式求速度．(2)利用候鳥休息的速度為解題．(3)利用對數(shù)運算，兩式相減構(gòu)成耗氧量的商．[解析](1)由題意，，，得，故此時候鳥的飛行速度為.(2)由題意得，當候鳥停下休息時，它的速度是，可得，，即，解得：，故候鳥停下休息時每分鐘的耗氧量為個單位．(3)設(shè)雄鳥的耗氧量為，雌鳥的耗氧量為，由題意得：，兩式相減可得，解得：，故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的倍．[歸納提升]對數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1)對數(shù)型函數(shù)模型：(，且)，對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運算求解．(2)對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學模型，②依實際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學問題，④得出結(jié)論．【對點練習】?大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速(單位：)與其耗氧量單位數(shù)之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)，其中，為常數(shù)．已知一條鮭魚在靜止時的耗氧量為個單位；而當它的游速為時，其耗氧量為個單位．(1)求出游速與其耗氧量單位數(shù)之間的函數(shù)解析式；(2)求當一條鮭魚的游速不高于時，其耗氧量至多需要多少個單位．誤區(qū)警示忽視實際問題對定義域的限制致誤例3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)．現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為(件)時的成本函數(shù)為(萬元)，如果售出一件商品的價格是萬元，那么該企業(yè)所能獲取的最大利潤是多少？[錯解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為萬元，則，即，故的最大值為，即該企業(yè)所能獲取的最大利潤為萬元．[錯因分析]題目中的條件已經(jīng)暗示了為自然數(shù)，而該錯解中卻是在時取到的最大值，這種情況在實際中是無法操作的．[正解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為萬元，則，即，故當或時，取最大值，即該企業(yè)生產(chǎn)件或件商品時所取得的利潤最大，為萬元．學科素養(yǎng)二分法的數(shù)學思想方法是將方程的根看作函數(shù)的零點，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，將求方程根的問題轉(zhuǎn)化為計算函數(shù)值，逐步逼近零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學推理．例4.已知函數(shù).(1)證明：有且僅有一個零點；(2)求