初中數(shù)學(xué)圓的輔助線八種作法

中考數(shù)學(xué)的輔助線在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說明。1.有弦，可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問題時，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問題。例1 如圖1,。0的弦AB、CD相交于點P,且AC=BD。求證：PO平分/APD。分析1：由等弦AC=BD可得出等弧=C(d,進一步得出(b=(d，從而可證等弦八8二?口，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對應(yīng)的弦，因此可作輔助線OE±AB,OFLCD,易證△OPE/AOPF,得出PO平分/APD。證法1：作OELAB于E,OFLCD于F一AC=BDAc>(d= (b=>(d= =>AB=CD=>OE=OF、，ZOEP=ZOFP=90° =>△OPE5OPF0OP=OP=>ZOPE=ZOpF=>PO平分/APD分析2：如圖1-1,欲證PO平分/APD,即證

ZOPA=ZOPD,可把乙OPA與乙OPD構(gòu)造在兩個三角形中，證三角形全等，于是不妨作輔助線即半徑OA,0D,因此易證△ACP/ADBP,得AP=DP,從而易證△OPA/AOPD。證法2：連結(jié)OA,ODo=>AACP^ADBPZCAP=ZBDP二=>AACP^ADBPZAPC=ZDPB>AC=BD=>AP=DPOA=t)D=>AOPA^AOPD=>ZOPA=ZOPD=〉PO平分心APDOP二6P2,有直徑，可作直徑上的2,有直徑，可作直徑上的周角對于關(guān)系到直徑的有關(guān)問題時，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對的圓周角是直角這個性質(zhì)。例2如圖2,在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作OO交BC于點D,過D作。0的切線DM交AC于M。求證DMIACo分析：由AB是直徑，很自然想到其所對的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD,得/ADB=Rt乙又由等腰三角形性質(zhì)可得乙1二42,再由弦切角的性質(zhì)可得/42,再由弦切角的性質(zhì)可得/ADM=/B,故易證/AMD二4ADB二90°,從而DM，AC。證明連結(jié)ADAC。證明連結(jié)AD。AB為。O的直徑=>ZADB=RtZAB=AC=>Z1=Z2DM切。DM切。O于D=>/ADM二4B=>Z1+ZB=Z2+ZADM=>ZAMD=ZADB=Rt4=>DM1AC說明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角3.中有切線常連結(jié)過切點的半徑或過切點的弦3.中有切線常連結(jié)過切點的半徑或過切點的弦例3如圖3,AB是。O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB,DC切。。于C點。求4A的度數(shù)。分析：由過切點的半徑垂直于切線，于是可作輔助線即半徑OC,得RtA,再由解直角三角形可得/COB的度數(shù)，從而可求乙A的度數(shù)。解：連結(jié)OC。DC切。。于C=>ZOCD=90°OC=OB=BD=>COSZCOD=OC/OD=1/2=>ZCOB=60°OC=OB=BD=>4A二1/24COB二30°說明,由過切點的半徑垂直于切線想到連結(jié)半徑。例4如圖4,已知AABC中，乙1二42,

圓O過A、圓O過A、D兩點，且與BC切于D點。求證EF//BC。分析：欲證EF//BC,可找同位角或內(nèi)錯角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE,得一對內(nèi)錯角/BDE與4DEF,由圓的性質(zhì)可知這兩個角分別等于41和42,故易證EF//BC。證明連結(jié)DE。BC切。。于D二〉/BDE二41 、42二4DEF=>ZBDE=4DEF=〉EF//BC41二42一說明，由有切線且在同圓中等弧所對的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩相切，可作公切線或連心線4.當(dāng)兩相切，可作公切線或連心線例5已知：如圖5,。01與。02外切于點P,過P點作兩條直線分別交。01與。02于點A、B、C、D。求證PB?PC=PA?PD。分析：欲證PB?PC=PA?PD,即證PA:PB=PC：PD,由此可作輔助線AC、BD,并證AC//DB,要證平行，需證一對內(nèi)錯角相等，如/C二4D,然后考慮到這兩個角分別與弦切角有關(guān)，進而再作輔助線即兩圓公切線MN,從而問題迎刃而解。證明連結(jié)AC、BD,過P點作兩圓的內(nèi)公切線MN=>ZAPM=ZC,ZBPN=ZDzapm=4BpNzc=zd=>AC//DB=>PA:PB=PC：PD=>PB*PC=PA*PD說明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對的圓周角想到作公切線和作弦。例6已知：如圖6，。01與。02內(nèi)切于點「經(jīng)過切點T的直線與。O1與。02分別相交于點A和B。TOC\o"1-5"\h\z求證TA：TB=OA：OB。1 2圖6分析：欲證TA:TB=O1A：O2B,可考慮證這四條線段所在的三角形相似，即證aTo1A二ATOzB,于是只需連結(jié)O2O『并延長，必過切點,則產(chǎn)生ATO1A和ATOzB,由41=Z2=ZT,則01A//0月易證線段比相等。證明連結(jié)并延長Ooi 1 200］和00；內(nèi)1切于點T0M必過切點T01A=0：=>；）2：!-Z2=>OA//0B02T=02B=>Z2=ZT i2=>ATO1AsATO2B=>TA：TB=O1A：02B說明，由連心線必過切點可構(gòu)造三角形證全等想到作連心線。

5．當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線。5．當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線。例7如圖7,。01與。O2相交于A、B兩點，過A點作。02的切線交3。1于點C,直線CB交。O2于點D,DA延長線交。O1于點E,連結(jié)CE。求證CA=CE。分析：欲證CA=CE,考慮在三角形中證它們所對的角相等，即4E=/CAE,又由/DAF=/CAE,想到弦切角/DAF與所夾弧對的圓周角相等，故需作輔助線：公共弦AB,得/E=/DBA,易證CA=CE。證明連結(jié)AB。CA切。02于A=>ZDAF=ZDBA)四邊形ABCE內(nèi)接于。O1=〉/E=/DBAzdaf=Lcae=>ZE=ZCAE=>CA=CE '說明,由兩圓相交及用到弦切角和圓內(nèi)接四邊形想到作公共弦。圖8

圖8例8如圖8,在梯形ABCD中，以兩腰AD、BC分別為直徑的兩個圓相交于M、N兩點，過M、N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證：MNIABo分析：因為MN是公共弦，若作輔助線O1O2,必有MNLO1O2,再由O1O2是梯形的中位線，得O1O2//AB,從而易證MNLAB。證明連結(jié)O1O2交EF于G=>MN1O1O2 1DO1=O1A,CO2=O2B=>O1O2是梯形ABCD的中位線=>O1O2//AB6．有半圓，可作整=>ZEFA=ZEGO1=RtZ=>MN1AB說明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。6．有半圓，可作整例9如圖9,BC為。。的直徑，(A=F,AD交BF于E。求證分析：欲證AE=BE,可考慮在三角形中證這兩邊 ，H一一J所對角相等。即/ABF=/BAE,再考慮證這兩個圓周唐9所對的弧相等，故需補全。O,可證(H=,(H故有F,=易證AE=BE.證明補全。O,延長AD交。。于H,直徑8^八口二>A(H](A二(F,J=>(=(F=>ZABF=ZBAH=>AE=BE說明，由平分弦的直徑必平分弦所對的弧想到補全圓。7．相交兩圓中至少有一個圓經(jīng)過另一個圓的圓心，遇到這類問題，常用的輔助線是連結(jié)過交點的半徑例10如圖10,。01與。02相交于A、B兩點，且02在。01上，點P在。01上，點Q在。02上，若4APB=40°,求乙AQB的度數(shù)。

P A圖10分析連結(jié)O2A、O2B，在。O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得/AO2B=140°,在。O2中，/AQB=1/24AO2B=70°。證明過程略。說明，由同圓內(nèi)同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半想到連結(jié)過