【優(yōu)化探究】高三數(shù)學二輪復習 專題演練1-7-1第一講 直線與圓

PAGEPAGE5【優(yōu)化探究】2023屆高三數(shù)學二輪復習專題演練1-7-1第一講直線與圓一、選擇題1．假設直線l1：ax＋2y＋6＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，那么實數(shù)a＝()A.eq\f(2,3) B．－1C．2 D．－1或2解析：由a×1＋(a－1)×2＝0∴a＝eq\f(2,3)答案：A2．(高考遼寧卷)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：根據(jù)圓心在直線上求解．因為圓心是(1，2)，所以將圓心坐標代入各選項驗證知選C.答案：C3．(高考陜西卷)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3，0)的直線，那么()A．l與C相交 B．l與C相切C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能解析：將點P的坐標代入圓的方程，判斷確定．將點P(3，0)的坐標代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴點P(3，0)在圓內(nèi)．∴過點P的直線l定與圓C相交．答案：A4．(珠海摸底)已知直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0相切，且與直線l2：3x＋4y－6＝0平行，那么直線l1的方程是()A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0解析：設直線l1的方程是3x＋4y＋c＝0，那么由直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1相切，得eq\f(|4－c|,5)＝1，所以c＝－1或9，應選D.答案：D5．(哈師大附中月考)已知直線l過點(－2，0)，當直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．(－eq\f(\r(2),4)，eq\f(\r(2),4)) D．(－eq\f(1,8)，eq\f(1,8))解析：易知圓心坐標是(1，0)，圓的半徑是1，直線l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根據(jù)點到直線的距離公式得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2<eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4).答案：C二、填空題6．已知圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2，過原點的直線l與圓C相切，那么所有切線的斜率之和為________．解析：依題意，知切線l的斜率存在，設為k，那么l的方程為y＝kx.由eq\f(|2k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，得2k2＋4k－1＝0，那么k1＋k2＝－2.答案：－27．兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，假設a，b∈R，且ab≠0，那么eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為________．解析：兩圓有三條公切線，即兩圓相外切．故圓心距等于兩圓半徑之和．∴a2＋4b2＝9，∴eq\f(1,9)(a2＋4b2)＝1，又eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,9)(a2＋4b2)(eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2))＝eq\f(1,9)(5＋eq\f(4b2,a2)＋eq\f(a2,b2))≥1，當且僅當a2＝2b2時，等號成立，即eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為1.答案：18．(朝陽模擬)設直線x－my－1＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B兩點，且弦AB的長為2eq\r(3)，那么實數(shù)m的值是________．解析：由條件可知圓心(1，2)到直線x－my－1＝0的距離d＝eq\r(4－3)＝1，即eq\f(|1－2m－1|,\r(1＋m2))＝1，解之得m＝±eq\f(\r(3),3).答案：±eq\f(\r(3),3)三、解答題9．已知圓C：(x－1)2＋y2＝2，過點A(－1，0)的直線l將圓C分成弧長之比為1∶3的兩段圓弧，求直線l的方程．解析：設直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，圓心C(1，0)到直線l的距離為eq\f(|k＋k|,\r(k2＋1))，∵直線l將圓C分成弧長之比為1∶3的兩段圓弧，∴直線l被圓所截得的弦所對的圓心角為eq\f(π,2)，又圓C的半徑為eq\r(2)，∴eq\r(2)×coseq\f(π,4)＝eq\f(|k＋k|,\r(k2＋1))，∴k2＝eq\f(1,3)，∴k＝±eq\f(\r(3),3)，∴直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x＋1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x＋1)．10．已知△ABC中，頂點A(4，5)，點B在直線l：2x－y＋2＝0上，點C在x軸上，求△ABC周長的最小值．解析：如下圖，設點A關于直線l：2x－y＋2＝0的對稱點為A1(x1，y1)，點A關于x軸的對稱點為A2(x2，y2)．連接A1A2交l于點B，交x軸于點C，那么此時△ABC的周長取最小值，且最小值為|A1A因為點A1與點A關于直線l：2x－y＋2＝0對稱，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y1－5,x1－4)·2＝－1,2·\f(x1＋4,2)－\f(y1＋5,2)＋2＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝7.))所以A1(0，7)．易求得A2(4，－5)．所以△ABC周長的最小值為|A1A2|＝eq\r(（4－0）2＋（－5－7）2)＝eq\r(42＋122)＝4eq\r(10).11．如下圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于E點，定點A，C的坐標分別是A(－2，3)，C(2，1)．(1)求以線段AC為直徑的圓E的方程；(2)假設B點的坐標為(－2，－2)，求直線BC截圓E所得的弦長．解析：(1)AC的中點E(0，2)即為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋22)＝eq\r(5)，所以