2019-2021年高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編-07 平面解析幾何（選擇題、填空題）

專題07平面解析幾何（選擇題、填空題）

22

1.【2021.北京高考真題】雙曲線C:5-親＞=1過點(diǎn)卜且離心率為2，則該雙曲

線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A犬~2

A.x2---y-=lIBn.----y~2=I1C.x~------:=IcD.-V-3-X--y~7=I

3333

【答案】A

【分析】分析可得匕=百“，再將點(diǎn)代入雙曲線的方程，求出”的值，即可得出

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】-：e=^=2,則c=2a,匕=&2_片=后,則雙曲線的方程為

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得提-磊=?=1,解得〃=1,故6=百，

2

因此，雙曲線的方程為21=1.

3

故選：A.

2.【2021.北京高考真題】已知圓C：尤2+丁=4,直線/：丁=履+〃2,當(dāng)上變化時，/截得

圓C弦長的最小值為2,則m=（）

A.±2B.±V2C.土布D.+V5

【答案】C

【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出〃？

【詳解】由題可得圓心為（0,0）,半徑為2,

則圓心到直線的距離（1=-fLJ=,

則弦長為2、4—-J，

\k2+i

則當(dāng)攵=0時，弦長取得最小值為2^/4-，/=2,解得加=±百.

故選：C.

3.【2021.全國高考真題】已知月，尸2是橢圓C：工+匕=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C

94

上，則|阿卜|“局的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到制+|颯|=2。=6,借助基本不等式

'"IM.即可得到答案.

【詳解】由題，〃=9出2=4,則4|+|颯|=2。=6,

所以阿7訃|皿歸I”41+1叫=9(當(dāng)且僅當(dāng).制=|叫卜3時，等號成立).

I2?

故選：C.

【點(diǎn)評】橢圓上的點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等

式得靈活運(yùn)用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時及最大，積一定，相等時和最小，

也可快速求解.

4.【2021?浙江高考真題】已知a,0eR,ah>0,函數(shù)/(x)=3?+/xwR).若

/(s-/),/(5),/(s+f)成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)(s,r)的軌跡是()

A.直線和圓B.直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

【答案】C

【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方

程.

【詳解】由題意得了(s-f)/(s+f)="")『，即

[a(s-f)2+i?][a(s+f)2+0]=(as?+匕)>

對其進(jìn)行整理變形：

222

(as?+a(-2ast+b^as+at+2ast+b^=(as2+b)，

(as。+a/2+_(2心/>+t)y=o>

(las2+at2+2b^at2-4a2s2t2=0,

-2a2s2r+a2t4+2aht2-0-

所以—2as?+々產(chǎn)+2〃=0或，=0,

￡J

其中自絲一為雙曲線，，=0為直線.

aa

故選：C.

【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進(jìn)行恒等變

形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.

5.【2021?全國高考真題（理）】已知耳，工是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

NFJP鳥=60。,忸制=3歸6|,則C的離心率為（）

B.巫C.yfjD.V13

22

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)闅w用=3歸周，由雙曲線的定義可得|「周一|尸居|=2|P閭=2a,

所以|「引=0,6|=3a；

因?yàn)?耳”=60。，由余弦定理可得4c2=9/+/一2x3a.a.cos60°，

整理可得4c2=7",所以e2=￡=N,即6=立.

a242

故選：A

【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立。間的等量關(guān)系是求解

的關(guān)鍵.

22

6.12021?全國高考真題（理）】設(shè)8是橢圓。：[+[=1（。＞/?〉0）的上頂點(diǎn)，若C上的

a~b~

任意一點(diǎn)P都滿足|PB區(qū)勃，則C的離心率的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】設(shè)P（x。，%），由3（0,。），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|尸耳，分類討論求出

|「理的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可.

22

r222

【詳解】設(shè)尸（跖,%），由B（0,。），因?yàn)橹?4=1,a=b+c,所以

cTb“

（2\2（?3\214

2-2

|PB|-X1+（y0-hy=a-［一興+（y0^）~~~7^/o+f+—+a+b',

VbJb\c~）廣

因?yàn)楫?dāng)二W-b,即時，歸優(yōu)、=4/,即戶叫皿=?,符合題

意，由/Ze?可得a222c2,即0<eK在；

2

當(dāng)工〉-b,即/<。2時，儼冏2=4+/+〃，即匕+4+6<4〃，化簡得，

c21lmaxc2c2

（c2-b2）r<0,顯然該不等式不成立.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題解題關(guān)鍵是如何求出|PB|的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要

根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值.

7.【2021?全國高考真題】已知點(diǎn)P在圓（x—5『+（y—5）2=16上，點(diǎn)4（4,0）、

3（0,2）,則（）

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NP8A最小時，歸卻=30

D.當(dāng)NPBA最大時，儼卻=30

【答案】ACD

【分析】計算出圓心到直線A6的距離，可得出點(diǎn)P到直線A8的距離的取值范圍，可判

斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)NP8A最大或最小時，PB與圓M相切，利用勾股定理

可判斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】圓（》一5）2+（丁一5）2=16的圓心為加（5,5）,半徑為4,

直線AB的方程為：+1=1，即x+2y—4=0,

42

圓心M到直線AB的距離為22x5-4=H=11^>4,

#77V55

所以，點(diǎn)尸到直線A3的距離的最小值為生5—4<2,最大值為小叵+4<10,A選

55

項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)NP5A最大或最小時，依與圓M相切，連接MP、BM,可知

\BM\=,y(0-5)2+(2-5)2=，|皿8=4,由勾股定理可得

|BP|=yj\BMf-\MPf=3A/2.CD選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/與半徑為r的圓。相離，圓心。到直線/的距離為d,則圓

。上一點(diǎn)P到直線/的距離的取值范圍是

8.【2020年高考全國1卷理數(shù)】已知A為拋物線C：y=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的

距離為12,至的軸的距離為9,則「=

A.2B.3

C.6D.9

【答案】C

【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為尸，由拋物線的定義知田|=4+5=12,即12=9+個

解得，=6.

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一

道容易題.

9.【2020年高考全國I卷理數(shù)】已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線/：

2x+y+2=0,尸為/上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作。M的切線PAPB,切點(diǎn)為AB,當(dāng)

1PMi」AB|最小時，直線A3的方程為

A.2x—y—1=0B.2x4-y-1=0

C.2x-y+l=0D.2%+y+l=0

【答案】D

【解析】圓的方程可化為(x—l)2+(y—l)2=4,點(diǎn)M到直線/的距離為

|2xl+l+2l

d、/\=舊r>2,所以直線/與圓相離.

V22+l2

依圓的知識可知，四點(diǎn)A,P,B,M四點(diǎn)共圓，且ABLMP，所以

|PM|.|AB|=4SMM=4X1X|PA|X|AM|=4|PA|,而附=

當(dāng)直線時，|明皿，=6，此時最小.

11r

1/、11y=—x+—x=-l

.?.心：P一1=一(》-1)即丁=一%+—，由《’22解得，<_.

222[2x+y+2=0〔、=°

所以以MP為直徑的圓的方程為(x-l)(x+l)+y(y-l)=0,即x2+y2-y_i=。,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線AB的方程.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)

用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.【2020年高考全國ni卷理數(shù)】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：

y2=2px(p>0)交于。，E兩點(diǎn),若OD上OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

C.(1,0)D.(2,0)

【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€x=2與拋物線y2=2px(>>0)交于瓦。兩點(diǎn)，且。

根據(jù)拋物線的對稱性可以確定ZDOx=ZEOx=^,所以0(2,2),

代入拋物線方程4=4”，求得〃=1,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(；,0),

故選：B.

【點(diǎn)評】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn),

拋物線的對稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題目.

Y-y2

11.【2020年局考全國HI卷理數(shù)】11.設(shè)雙曲線C：—1(a>0,〃>0)的左、右焦

a~

點(diǎn)分別為Q,離心率為逐步是C上一點(diǎn)，且FiPLBP.若△的面積為4,

則a=

A.1B.2

C.4D.8

【答案】A

【解析】*=5：.c=舄,根據(jù)雙曲線的定義可得11mHp7M=2。，

S&PF\4=glW|-|P用=4,即|產(chǎn)用療用=8,

???[PJ.&P,P耳產(chǎn)+歸圖2=@c)2,

二(歸周一歸居『+2|尸耳卜歸周=4。2,即5〃+4=0,解得”=1,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面

積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【2020年高考全國H卷理數(shù)】若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線

2x—y_3=0的距離為

B.空

5

「35/5D.逑

55

【答案】B

【解析】由于圓上的點(diǎn)（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限,

設(shè)圓心的坐標(biāo)為（。,。），則圓的半徑為。，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—a）2+（y—a）2=儲.

由題意可得（2—ay+（l—a）2=/,

可得a?-6a+5=0，解得a=1或a=5>

所以圓心的坐標(biāo)為（1,1）或（5,5）,

|2xl-l-3|275

圓心（L1）到直線-7-3-0的距離均為4

忑一虧

|2x5-5-3|_2V5

圓心（工5）到直線2x-7-3?0的距離均為4

-V5—虧

|-2|_275

圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d正=可

所以，圓心到直線2x-y-3=0的距離為好.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能

力，屬于中等題.

13.【2020年高考全國H卷理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線犬=。與雙曲線

C：W-￡=l（a>0,10）的兩條漸近線分別交于。,E兩點(diǎn)，若△QDE的面積為8,則

ab-

。的焦距的最小值為

A.4B.8

C.16D.32

【答案】B

r2v2

【解析】?**CI————1（。>0,/?>0），

arb"

b

???雙曲線的漸近線方程是y=±—x,

a

22

直線X=。與雙曲線=l(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于。,E兩點(diǎn)

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限,

x-a(大一Q

聯(lián)立〈b，解得I,

y=—x[y=t>

a

故。(。,〃)，

x=a

x-a

聯(lián)立〈b解得〈,

y二——xy--b

a

故E(a,-b),

:.\ED\=2hf

△OD石面積為:S^ODE=—ax2b=ab=S,

?.?雙曲線C:=-4=l(a>0,b>0),

a~h~

其焦距為2c=2ylcr+b2>2=2716=8，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2,^2取等號，

二C的焦距的最小值：8.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定

義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗(yàn)等號是否成立，考查

了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

14.【2020年高考天津】設(shè)雙曲線。的方程為［-與=1(。>0力>0),過拋物線

ab~

y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0/)的直線為I.若C的一條漸近線與I平行，另一條漸近線與/垂

直，則雙曲線。的方程為

22

xy1BY丁_I

A.-----------=IC.--y2=lD.x2-y2=I

4444-

【答案】D

【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),所以直線/的方程為x+；=l,即直線的斜

h

率為—b,

bbb

又雙曲線的漸近線的方程為y=±-x,所以一。=——，-bx-=-1,因?yàn)?/p>

aaa

a>0,b>0,解得a=l,〃=l.

故選：。.

【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的

位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【2020年高考北京】已知半徑為I的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值

為

A.4B.5

C.6D.7

【答案】A

【解析】設(shè)圓心C(x,y),則J(x_3[+(y_4,=1,

化簡得(x—3)2+(y—4)2=1,

所以圓心C的軌跡是以“(3,4)為圓心，1為半徑的圓，

所以|。。|+12|。加|=5不=5,所以1。。25—1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線段上時取得等號，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

16.【2020年高考北京】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為。，焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/.P是拋物線上異于。

的一點(diǎn)，過P作PQ，/于。，則線段尸。的垂直平分線

A.經(jīng)過點(diǎn)OB.經(jīng)過點(diǎn)P

C.平行于直線0PD.垂直于直線0P

【答案】B

【解析】如圖所示:

因?yàn)榫€段/Q的垂直平分線上的點(diǎn)到EQ的距離相等，又點(diǎn)P在拋物線上，根據(jù)定義

可知,閘=陽，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【2020年高考浙江】已知點(diǎn)0(0,0),4(-2,0),8(2,0).設(shè)點(diǎn)0茜足|P4Hp回=2,且P為

函數(shù)。=3,4—%2圖象上的點(diǎn),則|OP|=

AV22R4V10

25

c.幣D.Vio

【答案】D

【解析】因?yàn)?pAi一|尸3|=2<4,所以點(diǎn)尸在以A5為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2,焦距為4

的雙曲線的右支上，由。=2,。=1可得，h2=c2-a2=4-i=3,即雙曲線的右支方程為

而點(diǎn)P還在函數(shù)y=的圖象上，所以，

y=3,4-02x=

由2/.Z/解得即PG

x--=l(x>0)3V3

3'y二—

112

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考

查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【2020年新高考全國I卷】已知曲線C:〃*+〃y2=i.

A.若根>”>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若〃?=，?>0,則C是圓，其半徑為?

C.若m〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±J-'x

Vn

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

22

三+匕=1

【解析】對于A,若根>力>0,則加/+〃>2=1可化為11,

mn

因?yàn)橄?gt;〃>0,所以

mn

即曲線C表示焦點(diǎn)在)，軸上的橢圓，故A正確；

對于B,若〃2=〃>0,則mf+〃y2=1可化為12+),2=,

n

此時曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為正的圓，故B不正確；

n

22

三+匕=1

對于C,若癡<0,則6W+〃y2=1可化為11,

mn

此時曲線C表示雙曲線，

由g2+〃y2=o可得y=±J—'x,故c正確；

Vn

對于D,若加=0,〃>(),則"a2+町，=1可化為,2=—,

n

y=±—,此時曲線C表示平行于％軸的兩條直線，故D正確；

n

故選：ACD.

【點(diǎn)評】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)

鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

19.【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳(-1,0),乙(1,0),過尸2的直線與

C交于A,8兩于若|伍|=21gBI，\AB\=\BFl\,則C的方程為

?2

R*-

A.—+/=1D.-------1---------1

232

2222

y1XV1

c.—+—=1D.—+—=1

4354

【答案】B

【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)后固=〃，則|A周=2”，忸制=|AB|=3”,

由橢圓的定義有2a=忸周+忸閭=4〃,：.|M|=2aT優(yōu)|=2〃.

4n2+9n2-On2I

在A中，由余弦定理推論得COS/￡AB==1

12-2?-3H3

16

在△4大工中，由余弦定理得4/+4〃2—2?2〃?2〃一=4,解得〃=31.

32

2a=4/2—2\/3,:.a=s/3,h'=/一c?=3—1=2,.,.所求橢圓方程為

22

土+匕=1,故選B.

32

法二:由已知可設(shè)內(nèi)同=〃,則|A圖=2”,忸耳|=|AB|=3〃,

由橢圓的定義有2a=忸制+忸用=4〃，二|做|=2a—|伍|=2〃.

41+4-2?2/?-2?cosZAFF=4/

在4A耳用和鳥中，由余弦定理得＜2}

22

n+4-2-zz-2-cosZBF2Fl=9n

又44工耳，NB工耳互補(bǔ)，，cos/A/^K+cos/BE6=0,兩式消去

得解得〃二且

cosZA/s/^,COSZBF2FI13/+6=ll/,

2

2a=4/2=2Ga=#),b2=a2—c2=3—1=2，;所求橢圓方程為

22

土+匕=1,故選B.

32

【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的

能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

22

20.【2019年高考全國H卷理數(shù)】若拋物線產(chǎn)2Px3。)的焦點(diǎn)是橢圓L+t=l的一個焦

3PP

點(diǎn)，則p=

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

22

【解析】因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)=2度(">0)的焦點(diǎn)(2,0)是橢圓二+二=1的一個焦點(diǎn)，所

23Pp

以3。一。=(5)2,解得P=8,故選D-

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng).

解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于，的方程，從而解出，，或者

利用檢驗(yàn)排除的方法，如〃=2時，拋物線焦點(diǎn)為(1,0),橢圓焦點(diǎn)為(±2,0),排除

A,同樣可排除B,C,從而得到選D.

22

21.【2019年高考全國n卷理數(shù)】設(shè)尸為雙曲線C：二一與=1(4>0,/；>0)的右焦

ab

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。產(chǎn)為直徑的圓與圓9+了2="交于p,。兩點(diǎn).若

閘=|0百，則c的離心率為

A.72B.百

C.2D.小

【答案】A

【解析】設(shè)PQ與X軸交于點(diǎn)A，由對稱性可知PQLx軸，

又：|P。=1OF1=c，1PA|=|PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

.-.|0A|=|,：.P

2222

又P點(diǎn)在圓x2+y2="上，..￡+J=2,即S=2=1=2

442a2

【名師點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)

先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是

圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.解

答本題時，準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與。的關(guān)系，

可求雙曲線的離心率.

22

22.【2019年高考全國HI卷理數(shù)】雙曲線C：工—21=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸

42

近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|=|PF|,則尸。的面積為

A.述B.逑

42

C.20D.3&

【答案】A

【解析】由a=2,b=J5,c=='.'\PO\=\PF\,xp

又尸在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y=上，則孫二久巧^立X業(yè)=走，

。a222

?—△PFO=g|OF|?|y/=；xV^x*=^^,故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推

理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題.忽視圓錐

曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的

高，便可求三角形面積.

221

23.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢x圓二v+二=13>6>0）的離心率為一，貝IJ

a2b22

A.“2=2b2B.3a2=4爐

C.a=2bD.3a=4〃

【答案】B

【解析】橢圓的離心率6=上=一,。2=/—后，化簡得3a2=4/,

a2

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識、基本

運(yùn)算能力的考查.由題意利用離心率的定義和a/,c的關(guān)系可得滿足題意的等式.

24.[2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：

/+,2=A?x|,就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）;

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過血；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是

A.①B.②

C.①②D.①②③

【答案】C

【解析】由/+丁=l+k?得，/-|^y=l-x2,

所以X可取的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線C：x2+y2=i+k|y恰好經(jīng)過(0,1),(0)

-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1),共6個整點(diǎn)，結(jié)論①正確.

22

由x2+y2=l+W)得，％2+丁2,,1+笑匕，解得f+y242,所以曲線。上任意

一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過也.結(jié)論②正確.

如圖所示，易知A(0,-1),8(1,0),C(l,l,),0(0,1),

13

四邊形ABC。的面積S四邊形詆。=-xlxl+lxl=-,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于

2s四邊形形6,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯誤.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程、曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用，屬于難

題，注重基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算能力及分析問題、解決問題的能力考查，滲透“美育思想”.

將所給方程進(jìn)行等價變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線

上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積

的范圍.

25.(2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線J/=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,若/與雙曲線

22

=一］=1(?！?,。＞0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,且|AB|=41O/q(。為原點(diǎn)),

a~b~

則雙曲線的離心率為

A.72B.V3

C.2D.75

【答案】D

【解析】拋物線V=4x的準(zhǔn)線/的方程為％=-1,

b

雙曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

則有A(—1,—),B(—1,——),

aa

IAA2b2b..

??AB\=—,—=4,h=2a，

aa

.cyja2+b2￡

aa

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB

的長度.解答時，只需把|A3|=4|O周用。，瓦c表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義

求得離心率.

26.【2019年高考浙江卷】漸近線方程為疝)=0的雙曲線的離心率是

C.A/2D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x±y=o,所以。=匕，則八耳+廿=缶,

所以雙曲線的離心率e=-=41.故選C.

a

【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得。=匕，進(jìn)一步可得離心率，屬于容

易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此

類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.

27.【2021?全國高考真題】已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：>2=2磨(〃>0)的焦點(diǎn)為

F.P為。上一點(diǎn)，PE與％軸垂直，。為》軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP,若|聞=6,則

C的準(zhǔn)線方程為.

3

【答案】x---

2

【分析】先用坐標(biāo)表示P，Q,再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得。，即得結(jié)果.

【詳解】拋物線C：y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)

為C上一點(diǎn)，Pb與x軸垂直，

所以P的橫坐標(biāo)為K,代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為±。，

2

不妨設(shè)P(5,p),

因?yàn)?。為x軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP,所以。在F的右側(cè)，

又?」FQ|=6,

nuun

。(6+彳,0),;.尸。=(6,—p)

因?yàn)槭琎1_OP,所以而?麗=導(dǎo)6—p2=0,

Q〃>0,..〃二3,

3

所以C的準(zhǔn)線方程為x=-一

2

3

故答案為：x=—.

2

【點(diǎn)評】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.

2

28.【2021?全國高考真題(理)】已知雙曲線--丁=1(〃2>0)的一條漸近線為

m

?J3x+my=0,則C的焦距為.

【答案】4

【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出。力的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中標(biāo),〃對應(yīng)關(guān)系，

聯(lián)立求解W,再由關(guān)系式求得C,即可求解

【詳解】由漸近線方程由x+my=O化簡得y=-3X,即2=且，同時平方得

mam

匕=三，又雙曲線中/=加萬=］,故±=_1,解得m=3,m=()(舍去)，

atnmm

°?="+爐=3+l=4nc=2,故焦距2c=4

故答案為：4

【點(diǎn)評】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式

求解是關(guān)鍵

29.【2021?北京高考真題】已知拋物線C:y2=4x,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M為拋物線C上的

點(diǎn)，且|9|=6,則M的橫坐標(biāo)是；作MN1無軸于N,則￡FMN=.

【答案】546

【分析】根據(jù)焦半徑公式可求M的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求SJMN-

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為V=4x,故〃=2且尸(1,0).

因?yàn)槟?6,XM+-^=6,解得徹=5,故加=±2石，

所以5.=，(5-1)，2石=4石，

故答案為：5,不回

22

30.12021?浙江高考真題】已知橢圓=+4=l(a＞匕＞0),焦點(diǎn)耳(一c,0),K(c,0)

ab~

(c＞0),若過K的直線和圓(x—gc)+V=c2相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)p,且

軸，則該直線的斜率是,橢圓的離心率是.

［答案］還在

55

2

【分析】不妨假設(shè)c=2,根據(jù)圖形可知，sin/P6片二§,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)

系即可求出Z=tanNP"鳥=［石；再根據(jù)橢圓的定義求出。，即可求得離心率.

sin/P4用sinZBFA-獸=2,nZPFF=.2=1V5

}忻4|3，tat2乒75

所以％=乎，由左=暮卜耳用=2C=4,所以忸用=1，歸國=1^叵，于是

2_V5

2。=歸用+歸周=4右，即。=2逐，所以e=￡

a2石一5

故答案為：乎；4

31.【2020年高考全國I卷理數(shù)】己知F為雙曲線C:=1（4＞0力＞0）的右焦點(diǎn)，A為

a2b2

C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率

為.

【答案】2

x=c

x=c

X2V2b2

【解析】聯(lián)立F—七=1解得＜b?，所以忸F|二幺.

Q-by=±一a

、a

a2=b2+c2

b2

-----22

依題可得,即a二c-一匚二y變形得C+Q=3Q,

c-aa(c-a)

c=2a,

因此，雙曲線C的離心率為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

32.【2020年高考天津】已知直線x-Gy+8=0和圓/+/=/（，>0）相交于AB兩

點(diǎn).若|AB|=6,則r的值為.

【答案】5

8

【解析】因?yàn)閳A心（0,0）到直線x—6y+8=0的距離1=丁二=4,

由|A81=2J/一/可得6=2，解得r=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬

于基礎(chǔ)題.

22

33.【2020年高考北京】已知雙曲線--2~=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；