人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

引言：

前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”．引入新知問(wèn)題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？探索新知BAl追問(wèn)1

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？

將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al探索新知現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小（如圖）．BAlC

作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．

則點(diǎn)C即為所求．探索新知

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·B′C證明：如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合）,連接AC',BC',B'C'.則

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知

回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？B·lA·B′CC′運(yùn)用新知如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋運(yùn)用新知基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA思路分析BA

1.如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2.如何利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋M1N1，連接AM1,BN1,A1N1.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A1N,AM1＝A1N1.AA1＝MN＝M1N1，∴AM+MN+BN=AA1＋A1B，AM1+M1N1+BN1=AA1＋A1N1＋BN1.在△Ａ1Ｎ1B中，A1N1+BN1＞A1B因此AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN問(wèn)題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）思維分析如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處思維方法一1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點(diǎn)至AA1使AA1=MN，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題基本題型兩點(diǎn)（A1、B點(diǎn)）和一條河建橋（PQ）2、利用基本問(wèn)題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向