彈塑性力學(xué)第十章

10-7最小余能原理-類(lèi)似于最小（總）勢(shì)能的推導(dǎo)，可由余虛功原理導(dǎo)出最?。偅┯嗄茉怼Ｓ墒綄?yīng)變能函數(shù)表示為應(yīng)力的函數(shù)，可得當(dāng)有虛應(yīng)力時(shí)，在邊界上，位移分量不變，于是可把變公符號(hào)放在括號(hào)外，令記作這個(gè)變分量，有33

于是有于是有1

其中與最小勢(shì)能一樣，進(jìn)一步分析可證明34

所以可得到最小總余能原理：在所有滿(mǎn)足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力場(chǎng)中，真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)對(duì)于穩(wěn)定的平衡使系統(tǒng)的總余能取最小值。物體的真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)既滿(mǎn)足平衡方程、應(yīng)力邊界條件，又滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件。由最小余能原理知道，真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)滿(mǎn)足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，還滿(mǎn)足使總余能取最小值的條件?？梢?jiàn)，最小總余能原理與變形協(xié)調(diào)條件等價(jià)。通過(guò)直接變換，可由應(yīng)力變分方程導(dǎo)出變形協(xié)調(diào)方程。其附加條件為2最小勢(shì)能原理和最小余能原理的不同點(diǎn)最小勢(shì)能原理最小余能原理1.最小勢(shì)能原理是位移變分原理，變分的是位移；變形能是位移的函數(shù)。最小余能原理是應(yīng)力變分原理，變分的是應(yīng)力；應(yīng)變能實(shí)際是余能(在線(xiàn)彈性時(shí)等于應(yīng)變能），是應(yīng)力的函數(shù)。32.最小勢(shì)能原理，體力和面力在公式中是給定的，出現(xiàn)，不變分。最小余能原理，在這里體力一般是給定的外力，不參加變分，也不出現(xiàn)，給定面力的邊界不參加變分，也不出現(xiàn)，給定位移的邊界（面力未給定）位移出現(xiàn)，但不參加變分，這部分面力出現(xiàn)，參加變分。43.最小勢(shì)能原理，變分的位移應(yīng)滿(mǎn)足位移約束條件，得到的是應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件；最小余能原理，變分的應(yīng)力應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，得到的是應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。5最小余能原理的意義彈性體在外力的作用下，發(fā)生位移，產(chǎn)生變形和應(yīng)力。應(yīng)力可以是各種各樣的，但必須滿(mǎn)足應(yīng)力的平衡條件和邊界條件。滿(mǎn)足應(yīng)力平衡方程和邊界條件的應(yīng)力稱(chēng)為容許應(yīng)力，容許應(yīng)力也有無(wú)窮多組，其中只有一組是真實(shí)的，真實(shí)應(yīng)力，根據(jù)它們求得的應(yīng)變還應(yīng)滿(mǎn)足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力變協(xié)調(diào)位移邊界余余余余應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力位移邊界變協(xié)調(diào)余余余余6最小余能原理一特殊情況，若在物體的全部表面S上給定面力也即只有而無(wú)或者位移邊界固定（變形體系無(wú)支架移動(dòng)）此時(shí)，總余能等于余應(yīng)變能。上述變分方程稱(chēng)為最小功原理：若變形體的面力給定或位移邊界固定，則在所有滿(mǎn)足平衡方程和邊界條件的應(yīng)力場(chǎng)中，真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)必使余應(yīng)變能取最小值。對(duì)于線(xiàn)彈性體，余應(yīng)變能與應(yīng)變能相等。所以上式又稱(chēng)為最小應(yīng)變能定理:沒(méi)有體力而物體表面上位移給定的條件下線(xiàn)彈性體處于實(shí)際的彈性平衡時(shí)，應(yīng)變能最小。最小功原理也可由卡氏定理直接得出。

10-8最小功原理卡氏第二定理7Chapter10.7假定變形體上受N個(gè)廣義力（i＝1、2……n）的作用，并認(rèn)為系統(tǒng)的內(nèi)力已由廣義力表示，則系統(tǒng)的總余能為由最小余能原理，有

卡氏第二定理（卡氏定理）將代入得即卡氏第二定理，它可敘述為：對(duì)于線(xiàn)性結(jié)構(gòu)，它的余應(yīng)變能對(duì)任一載荷的偏導(dǎo)數(shù)等于該載荷的位移只要它的應(yīng)變能表達(dá)為載荷的函數(shù)。因此，此式可用來(lái)計(jì)算線(xiàn)性，非線(xiàn)性彈性桿件或構(gòu)件在外力作用處與外力相應(yīng)的位移。當(dāng)為零時(shí)可轉(zhuǎn)化為最小功原理。8Chapter10.7一類(lèi)變量變分原理：在虛位移與最小勢(shì)能原理中，以位移分量作為參與變分的獨(dú)立變量；而虛應(yīng)力原理與最小余能原理，則以應(yīng)力分量為參與變分的獨(dú)立變量。二類(lèi)變量廣義變分原理：賴(lài)斯納變分原理就是把位移和應(yīng)力看作是獨(dú)立的變量，其結(jié)果相當(dāng)于同時(shí)滿(mǎn)足平衡微分方程、物理方程和應(yīng)力、幾何邊界條件。三類(lèi)變量廣義變分原理：胡-鷲變分原理是把位移、應(yīng)變作為獨(dú)立變量，它等價(jià)于彈性力學(xué)的一切基本方程和全部邊界條件。這些原理是用拉氏乘子法，將條件極值問(wèn)題變成無(wú)條件的駐值問(wèn)題，是彈性力學(xué)中的最一般的變分原理，稱(chēng)為廣義變分原理，也稱(chēng)為一般變分原理。最小勢(shì)能原理和最小余能原理都是條件變分原理，而賴(lài)斯變分原理和胡-鷲變分原理都是無(wú)條件變分原理。

10-9廣義變分原理

9Chapter10.7對(duì)于一類(lèi)變量變分原理也就是由虛功（虛位移）原理導(dǎo)出的最小勢(shì)能原理和由余虛功（虛應(yīng)力）原理導(dǎo)出的最小余能原理稱(chēng)為極值原理，也稱(chēng)最小能原理。解彈性力學(xué)問(wèn)題，我們可以采用最小勢(shì)能原理，也可以用最小余能原理。它們都來(lái)源于能量守恒原理。這兩個(gè)原理應(yīng)該是等效的。總勢(shì)能和余能的數(shù)值相等，但相差一個(gè)正負(fù)號(hào)。變分原理之間的關(guān)系可用下圖表示：

10-10各變分原理之間的關(guān)系

化簡(jiǎn)得101110-11基于變分原理的近似解法一、基于最小勢(shì)能原理的近似解法1、里茨(Ritz)法2、迦遼金(Galerkin)法1、瑞茨(Ritz)法先設(shè)定滿(mǎn)足位移邊界條件的位移分量的表達(dá)式，其中包含若干個(gè)待定的系數(shù)，再根據(jù)最小勢(shì)能原理，決定這些系數(shù)Ritz法解題步驟第一步先找可能狀態(tài)：選擇一組在邊界上滿(mǎn)足指定約束條件的容許函數(shù)，把它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來(lái)，作為試驗(yàn)函數(shù)去代替真實(shí)的自變函數(shù)；第二步逼近真實(shí)狀態(tài)：調(diào)整試驗(yàn)函數(shù)中的待定常數(shù)，使?jié)M足泛函駐值條件

＝0，求得逼近于真解的近似解。顯然試驗(yàn)函數(shù)選得越好，解的精度越高。122、迦遼金(Galerkin)法

瑞滋方法要求位移函數(shù)滿(mǎn)足位移邊界條件，如果進(jìn)一步要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應(yīng)力還滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件，公式還可以簡(jiǎn)化，這種方法稱(chēng)為伽遼金方法。Galerkin方法的基本思想在域內(nèi)并不處處滿(mǎn)足平衡方程，代入平衡方程后，右端將出現(xiàn)非零的殘量。調(diào)整試驗(yàn)函數(shù)中的待定參數(shù)，使殘量與某些權(quán)函數(shù)之積在整個(gè)域上的積分值等于零(或者說(shuō)，要求殘量在域上與某些權(quán)函數(shù)正交)，就能得到合理的近似解。13迦遼金(Galerkin)法是加權(quán)殘量法的一種特殊形式。它也可以處理不存在泛函的一類(lèi)微分方程的邊值問(wèn)題，適用范圍比里茨法廣，但對(duì)存