巴西圓盤劈裂試驗中巖石拉伸模量的解析算法

巴西圓盤劈裂試驗中巖石拉伸模量的解析算法

1試驗方法的選擇巖石的抗拉特性是巖石的一個重要特征。很多巖石結構發(fā)生破壞或失穩(wěn)往往是由于結構本身局部或整體承受拉應力引起的。目前用于測定巖石的抗拉參數主要有直接拉伸試驗和間接拉伸試驗2種方法。一般認為直接拉伸試驗結果更加符合巖石實際受拉的情況,但是由于直接拉伸試驗的巖石試樣在加工過程中比較困難,另外試驗加載過程中有時會出現偏心,不能保證拉力通過試樣中心軸。因此,考慮到直接拉伸試驗在實際操作過程中不夠簡便,通常情況下會采用間接拉伸試驗方法進行抗拉試驗。巴西劈裂試驗是目前最經常被采用的一種間接拉伸試驗方法。雖然喻勇等[2~4]對巴西劈裂試驗方法的適用性進行了探討,但是在目前還沒有其他更簡便宜行的試驗方法,正如王啟智等所說“由于直接拉伸的困難,用巴西試驗測巖石材料的抗拉強度比較普遍”。該方法在1978年被國際巖石力學學會(ISRM)推薦為測定巖石抗拉強度的方法。該方法也是美國材料和試驗協(xié)會(ASTM)制定的標準方法之一,其他標準如英國的BS標準和國際ISO標準也進行了采用。在國內,眾多規(guī)程和標準[6~8]也推薦使用該方法。很多巖石力學試驗機,如Instron,MTS和RMT150試驗機也設計了進行巴西劈裂試驗的操作裝置和數據采集系統(tǒng)。采用巴西圓盤劈裂試驗方法,巖石的劈裂抗拉強度可以采用公認的計算公式進行求解。但是圓盤劈裂拉伸不同于直接拉伸,因為巖石試樣在圓盤平面范圍內各點所受的拉應力不完全一致,導致各點的應變值也不完全相同,因此在抗拉強度能夠求解的情況下,拉伸模量卻不容易確定。為了確定拉伸模量,很多研究者采用在圓盤中心垂直于加載方向的中心處貼應變片的方法,利用該應變片的測量值代替試樣中心受拉區(qū)域的應變值,進而求解巖石的拉伸模量[9~11]。該方法有試驗原理和操作上的簡化和便利。需要注意的是,有限長度的電阻片所反映的應變要小于圓盤中心處的真實應變,電阻片不能大于圓盤直徑的1/10;而且在黏貼過程中如何保證應變片正好貼在試樣受拉區(qū)域的中心并且和受拉方向完全垂直,也不容易做到,因此所得結果的精確性有時難以得到保證。實際上在試驗過程中,加載力、加載方向位移和試樣中心垂直加載方向的位移是最方便得到的3個力學參數。而且通過經典的圓盤對心受力的理論分析,試樣中心垂直加載方向上各點的應變值都可以得到。因此,如果能夠建立起試樣中心垂直加載方向上各點的應變值和總位移變形量之間的關系式,那么問題就迎刃而解,很容易得到試樣劈裂受拉破壞的拉伸模量?；谏鲜鏊枷?本文利用微積分的原理推導了巖石拉伸模量和試樣中心垂直加載方向上總位移變形量之間的定量關系式,為求解巴西劈裂試驗拉伸模量提供了一種新的方法。2巴西圓斷裂試驗方法和原理2.1u3000競爭加載測試根據規(guī)程要求,利用巴西劈裂方法測試時加載方式如圖1所示(在RMT–150C試驗機加載)。試樣的抗拉強度(負號為拉應力)可表示為式中:σt為巖石抗拉強度,L為試樣長度(厚度),D為直徑,Pt為破壞載荷。2.2巴西的爆裂試驗巴西劈裂試驗的受力狀態(tài)屬于圓盤對心受壓狀態(tài)(見圖1)。根據平面應力問題的彈性力學解析解,可以得到圓盤內(半徑用R表示)任一點T(x,y)的受力狀況:在線載荷P(加載力)的作用下,圓盤中心點o處,有r1=r2=0.5D,θ1=θ2=0°,根據式(2)和(3),可以得到沿試樣垂直向直徑平面內的水平拉應力為水平向直徑平面內的壓應力為可以看出,圓盤中心處的壓應力只有拉應力的3倍。對于巖石材料,抗壓強度一般是抗拉強度的8~10倍,因此認為試樣是受拉破壞而非受壓破壞。式(5)中的P替換為Pt,可得到式(1),進而計算得到試樣的劈裂抗拉強度。這就是巴西劈裂試驗的基本原理。在實際試驗過程中,考察試樣中心垂直于加載方向上的受力情況。設在ox方向上任一點(o,x),根據幾何關系并且有把式(7)~(9)分別代入式(2)~(4),整理后可得式(10),(11)中,-0.5D≤x≤0.5D。假設,則σx(x),σy(x)分別可以表示為拉應力σx(x)和正應力σy(x)分別在x方向上的變化如圖2所示。根據彈性理論,ox上任一點(o,x)應變?yōu)槭街?E為拉伸模量(由于試樣破裂時拉應力起主導作用,因此此處E本文定義為拉伸模量),μ為泊松比。設,則式(15)轉化為通過上面的分析可以看出,沿ox方向上每一點處的應變值都可以得到精確解。但是實際試驗過程中,能夠容易測量得到是ox方向試樣中心到試樣邊緣處的總位移量。因此,如何能夠建立起試樣中心到試樣邊緣處的各點應變值跟總位移量之間的關系式,是下一步需要解決的問題。本文將利用微積分的思想建立兩者之間的關系式并求解該問題。由于對稱關系,沿ox方向上取試樣中心處到邊緣處的一半試樣作為研究對象。3分析算法和分解拉壓模型的解決方案3.1試驗結果的描述設從試樣中心到邊緣處R的線性距離任意分為n小段(厚度不計,如圖3所示),并且從試樣中心到邊緣處對每段距離依次標示為:?x1,?x2,…,?xn。顯而易見有取?x1作為分析對象,由于?x1長度很小,可以假設受到均勻拉力作用,設?x1均勻受拉后的微變形為?′x1,則?x1上的微應變?yōu)?ε1,即微變形為?′x1可以表達為對每一段的微變形進行求和,則試樣中心到邊緣處總的變形量?′x近似可以表示為顯然,當n趨向于無窮大時,并且各小段長度的最大值λ,即λ=max{?xi}趨于0時,式(20)的極限值即為變形量?′x的精確值,可以表示為同理,當n趨向于無窮大時,根據式(15)可以得到x(0≤x≤R)處小段?x的微變形,即因為εx(x)在0≤x≤R上是處處連續(xù)的,因此對式(22)積分,即0≤x≤R上的總變形?′x,有實際測量過程中,-R≤x≤R上測量得到的變形量?u可以近似認為是?′x的2倍,即式(23)可以整理為這樣可以得到拉伸模量E:在試驗過程中,P和?u都是關于加載時間t的函數,所以考慮加載情況下,拉伸模量E(t)的表達式為對式(26)積分,得最終結果為考慮加載時間t的解析表達式為根據和本次巴西劈裂試驗相近砂巖的單軸壓縮試驗,得到泊松比μ=0.26。3.2抗拉變形模量計算方法適用性在具體求解拉伸模量E時,柳賦錚等利用破壞載荷Pt、圓盤中心處的極限應變及巖石的泊松比進行求解,所得結果跟直接拉伸試驗結果非常接近。參考上述做法,本文把破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u代入式(29),得進而可以根據試驗中測試得到的Pt和?u具體數值進行求解。柳賦錚等利用破壞載荷Pt和試樣中心處拉伸破壞時的極限應變求解彈性模量的方法,簡捷方便,雖然從實踐上證明了該方法測定巖石抗拉變形模量的可行性,但是和直接拉伸試驗相比,沒有從加載時間的角度考慮該方法的合理性。下面考慮加載時間,說明本文利用破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u求解拉伸模量的適用性。在試驗過程中,P(t)和?u(t)可以實時記錄。圖4為均質砂巖加載力–加載時間、橫向總變形–加載時間和拉伸模量–加載時間試驗曲線。由圖4可知,加載力隨加載時間的增加變化十分穩(wěn)定,從整個趨勢上可認為是線載荷。在加載初期橫向總位移存在一段曲線,但是隨著加載時間的推移,橫向總位移也呈線性變化。由此可以推斷,隨著加載時間的延續(xù),式(30)中的P(t)和?u(t)都可以用線性函數表示,當加載時間很長時拉伸模量的值最終會趨于一個穩(wěn)定值。這一點在圖4(c)加載時間–拉伸模量試驗曲線中也得到了體現。因此,說明利用破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u代入式(29)計算巖石拉伸模量的方法是可行的。具體計算時為了減少隨機誤差,可取最終拉伸模量前10項數據的平均值。4延長試驗的過程和結果4.1試驗系統(tǒng)和試樣為了具體說明上述確定拉伸模量解析算法的運用過程,選取均質砂巖進行了靜態(tài)巴西劈裂試驗。試驗系統(tǒng)為中國科學院武漢巖土力學研究所研制的RMT–150C巖石力學試驗系統(tǒng)(見圖5)。試驗材料選用完整性和均質性較好的砂巖。按照巖石力學常規(guī)試驗性能測試要求進行具體加工試驗所需試樣。砂巖試樣取自同一塊巖石,參照試驗規(guī)程和RMT–150C試驗系統(tǒng)的要求,試樣長徑比按照1∶1(直徑φ50mm)進行加工,上下表面的平行度在0.05mm以內;表面的平面度在0.02mm以內。3個試樣的物理、幾何參數如表1所示。4.2試樣拉伸模量試驗結果圖6為砂巖試樣實際加載圖,加載控制按照0.01kN/s的標準施加,圖中位移傳感器用于記錄試樣中心橫向的總位移變形。圖7為上述3個砂巖試樣加載力–加載時間、總位移變形加載–加載時間和拉伸模量–加載時間曲線。可以看出,3個試樣的加載歷程一致,整體上完全按照0.01kN/s的加載率進行。對于試樣1–1(即節(jié)3.2中的代表性試樣),加載力–時間曲線有很多噪聲,而其他2個試樣曲線很光滑。跟節(jié)3.2中的描述類似,圖7(b)中每條曲線在開始存在彎曲遞增段,隨后進入線性遞增段。圖中試樣12–2的曲線十分光滑,其他2條曲線存在不同程度的噪聲,但這不影響對加載時間–橫向總位移整體變化規(guī)律的認識。圖7(c)是利用式(30)計算得到3個試樣的拉伸模量隨加載時間的變化曲線?？梢钥闯?試樣3–1曲線中的噪聲在開始階段很大,后來變得小幅的震蕩。而試樣12–2的原始曲線噪聲很不明顯,并且表現出很好的對數函數變化趨勢,最終會趨于穩(wěn)定值。再次說明了利用破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u計算巖石拉伸模量方法的適用性。表2為上述3個砂巖試樣劈裂試驗的結果?？芍?本次試驗在加載率量級為10-3MPa·s-1或者應變率量級為10-7s-1下進行的,其中應變率可以根據式(15)求解。最后得到砂巖的抗拉強度為4.36MPa左右,拉伸模量大約為3.52GPa。5相關主題討論5.1試驗結果及討論上述解析算法是基于圓盤對心受力情況下平面應力問題的彈性力學解和巖石材料的抗拉線彈性變形特點得到的。關于平面應力問題彈性力學解的討論,目前主要集中在載荷接觸條件對劈裂強度的影響分析上。其中也涉及到具體的巖石力學試驗機加載方式和加載裝置的設計(例如平面夾具加載、墊鋼條夾具劈裂、弧形夾具劈裂、角形夾具劈裂;鋼質壓條的形狀,尺寸等等),在此不做重點討論。此外,如前所述,許多文獻對完整巴西劈裂試驗方法的適用性進行了分析,提出了一些改進建議。為了比較不同方法所得拉伸試驗結果,劉世奇等利用同一種巖石進行了5種不同加載率下(10-1~103)MPa·s-1的直接拉伸和間接拉伸試驗(包括完整圓盤和平臺圓盤劈裂試驗),抗拉強度試驗結果如圖8所示。由圖8可以看出,由完整圓盤劈裂試驗和直接拉伸試驗所得的結果非常接近,而且由直接拉伸得到的數據反而較間接劈裂法更為分散。同時可以看出,采用平臺圓盤進行劈裂試驗所得結果,要比直接拉伸試驗結果高出很多,高出的最低百分比為20%,最高的百分比達到了35%。由此說明了利用完整巴西圓盤進行間接拉伸試驗的適用性。5.2加載方向和加載方向的位移加載過程中ox方向上,本文推導前所做的巖石受拉呈現線彈性變形的假設是否合適,需要考察巖石真實受拉情況下材料的拉伸特性。對于巴西劈裂試驗中巖石受拉的形變情況,劉世奇等在巴西盤(直徑φ50mm)2個盤面ox方向上中心處黏貼了應變片(如圖9所示),并記錄下了該點在不同加載速率下的載荷–應變曲線(如圖10所示)。在不同的加載率(100~103)MPa·s-1下,ox中心處的應變–載荷曲線基本呈線性變化,說明中心處的應變在受拉作用時是線性變化。結合前面節(jié)3.1的推導過程,由此可以推斷橫向ox方向各微小段(積分時認為長度非常小)受拉時處于彈性階段,因而推導解析算法時所作的微小段受拉呈現線彈性變形的假設是適用的。為了進一步說明巖石各微小段受拉呈現線彈性變形假設的適用性,本文對加載方向和垂直加載方向的整體位移進行分析說明。圖11為砂巖試樣12–2劈裂拉伸過程中得到的試驗曲線。可以看出加載力隨著加載時間的增加完全呈線性遞增趨勢,意味著加載過程中加載率非常穩(wěn)定。圖11(b)顯示在加載初始段,位移增加速度由快變慢,最后穩(wěn)定在一個常值,即加載方向的位移最后隨著加載時間的增加而線性增加。圖11(b),(c)試驗曲線類似,位移增加率也是在加載起始時最高,而后隨著加載時間的增加,逐漸由快減慢。圖11(b),(c)試驗曲線初始段存在上凸現象,說明在加載初期,試樣處于壓密階段,因此位移增加率相對較高。在加載后期,試樣內部已密實,因此2個方向的位移變化趨于穩(wěn)定。但是跟圖11(b)曲線相比,圖11(c)試驗曲線最后的位移增加率沒有穩(wěn)定下來,而是在一個很小的范圍內波動,這個可能跟位移傳感器的測量過程有關。如圖6所示,加載方向的位移由試驗系統(tǒng)自動測量,而且加載方向巖石試樣兩端跟鋼質墊條接觸,形成線載荷,鋼質墊條外側為帶“V”型的墊板,墊板外側跟加載端形成面載荷,因此在加載過程中試樣受力相對均勻,在恒定的加載速率下,位移增加率最終會趨于穩(wěn)定。而對于垂直加載方向的位移,由試樣兩側的位移傳感器進行記錄,2個位移傳感器跟試驗的接觸處為2個觸頭,即2個點接觸。加載過程中試樣受拉擴張變形,2個觸頭跟試樣的接觸處會有所波動,也反映在位移曲線上。因此加載后期,該方向上記錄得到的位移增加率不呈現定值,而是在小范圍內波動。但這一點不影響對試驗現象的整體認識和分析。為了更好地說明圖11(b),(c)中加載后期位移整體呈現線性變形的趨勢,圖12(a)給出了doy-dox位移擬合關系?？煽闯?擬合關系式為線性函數dox=Kdoy+B(K,B均為擬合參數),其擬合系數R2=0.994,意味著2個方向的位移在隨著加載時間的增加,基本呈現一一對應線性關系。圖12(b)為3個試樣doy-dox位移擬合關系。表3給出3個試樣oy方向位移doy和ox方向位移dox擬合曲線的相關信息,擬合程度都很高。在試驗過程中,雖然oy和ox方向各點受力不完全相同,但是這2個方向上的整體位移均呈現線性變化趨勢,由此不難導出巖石內部微小段受拉呈現線彈性變形的假設是合適的。5.3拉伸模量求解方法存在的問題對于拉伸模量的測量和求解這一問題,如前言所述,很多研究者采用圖9中在試樣(包括完整圓盤和平臺圓盤)2個盤面中心黏貼應變片的方法來測量巖石的拉伸模量,該類方法在黏貼過程中保證兩個圓盤面上的應變片位置一致需要非常仔細。J.H.Ye等最近把中心貼應變片方法和彈性理論解結合起來,給出了拉伸模量的求解方法。但是該方法有時存在問題需要引起重視。圖13為巖石試樣3–1和12–2試驗結果。2個試樣破裂后合在一起,破裂面吻合非常好,說明試樣在受拉作用下破裂。從試樣12–2(見圖13(b))可以看出,有時受試樣