通信原理電子教案第3章隨機(jī)過程課件

通信原理電子教案

第3章隨機(jī)過程9/18/20231通信原理電子教案

第3章隨機(jī)過程8/6/2第三章隨機(jī)過程

－－本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

3.1隨機(jī)過程的基本概念

3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

3.3高斯隨機(jī)過程

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

3.5窄帶隨機(jī)過程

3.6正弦波加窄帶隨機(jī)過程

3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲3.8小結(jié)9/18/20232第三章隨機(jī)過程8/6/20232通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析?！?/p>

隨機(jī)信號：通信系統(tǒng)中的信號通?？値撤N隨機(jī)性。不可預(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號?！耠S機(jī)噪聲：通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪聲）。簡稱噪聲?！耠S機(jī)過程：從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號和噪聲分析中來。9/18/20233通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，3.1隨機(jī)過程的基本概念

考察：

假設(shè)有無數(shù)臺性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號測試其輸出。

得到一系列噪聲波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。理想時(shí)，波形應(yīng)一致，但實(shí)際不然找不到兩個完全相同的波形。9/18/202343.1隨機(jī)過程的基本概念

考察：

假設(shè)有無數(shù)臺性能相討論：●每一條曲線ξi(t)都是一個隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)－－樣本函數(shù)（確知信號）?！駸o窮多個樣本函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱作隨機(jī)函數(shù)的總集－－隨機(jī)過程ξ(t)

?！衩恳粭l曲線ξi(t)都是隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)/樣本?！裨谀骋惶囟〞r(shí)刻t1觀察各臺接收機(jī)的輸出噪聲值ξ(t1)

，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的－－是一個隨機(jī)量（隨機(jī)變量）。9/18/20235討論：●在某一特定時(shí)刻t1觀察各臺接收機(jī)的輸出噪聲值ξ(t1概括：

隨機(jī)過程ξ(t)的含義／屬性有兩點(diǎn)：（1）ξ(t)是t的函數(shù)，是由所有的樣本函數(shù)構(gòu)成的；（2）ξ(t)在任一時(shí)刻t1上的取值ξ(t1)不是確定的，是一個隨機(jī)變量。即每個時(shí)刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。故隨機(jī)過程可以看做是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。概率論：隨機(jī)變量分析－－分布函數(shù)和概率密度9/18/20236概括：8/6/202363.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)１.分布函數(shù)和概率密度（1）一維描述

●一維分布函數(shù)隨機(jī)過程ξ(t)任一時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變量ξ(t1)，則隨機(jī)變量ξ(t1)小于等于某一數(shù)值x1的概率

F1（x1，t1）=P[ξ(t1)

≤x1]

（3.1.1）叫做隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)。9/18/202373.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)8/6/20237

●一維概率密度函數(shù)

若一維分布函數(shù)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，則

叫做隨機(jī)過程ξ(t)的一維概率密度。

（2）二維描述－－隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系

●二維分布函數(shù)

若隨機(jī)過程ξ(t)在時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變量ξ(t1)，而在時(shí)刻t2的取值是隨機(jī)變量ξ(t2)，則ξ(t1)與ξ(t2)構(gòu)成一個二元隨機(jī)變量[ξ(t1)，ξ(t2)]，稱

F2（x1，x2；t1，t2）=P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2]為隨機(jī)過程ξ(t)的二維分布函數(shù)9/18/20238●一維概率密度函數(shù)叫做隨機(jī)過程ξ(t)的一維概率密●二維概率密度函數(shù)若二維分布函數(shù)對x1和x2二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則叫做隨機(jī)過程ξ(t)的二維概率密度。●同理，可以定義隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)及多維概率密度分別為9/18/20239●二維概率密度函數(shù)叫做隨機(jī)過程ξ(t)的二維概率密度。8/6統(tǒng)計(jì)獨(dú)立

對于任何n個隨機(jī)變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成立

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）=f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn）則稱這些變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，否則就是不獨(dú)立的或相關(guān)的。意義：

●可以把隨機(jī)過程ξ(t)當(dāng)作一個多元的隨機(jī)變量來看待，而用這個多元隨機(jī)變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。

●顯然，n越大，對隨機(jī)過程的描述越充分。9/18/202310統(tǒng)計(jì)獨(dú)立8/6/2023103.1.2.隨機(jī)過程的數(shù)字特征引言●問題：隨機(jī)過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。但實(shí)際中：難；不必?！翊胧河秒S機(jī)過程的數(shù)字特征來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單方便?！穹椒ǎ呵箅S機(jī)過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計(jì)平均”和“時(shí)間平均”兩種。統(tǒng)計(jì)平均:對隨機(jī)過程ξ(t)某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能取值ξ(ti)－－隨機(jī)變量

，用統(tǒng)計(jì)方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均:對隨機(jī)過程ξ(t)的某一特定實(shí)現(xiàn)即樣本函數(shù)ξi(t)

，用數(shù)學(xué)分析方法對時(shí)間求平均得出的種種平均值叫時(shí)間平均。9/18/2023113.1.2.隨機(jī)過程的數(shù)字特征8/6/202311（一）統(tǒng)計(jì)平均1.均值隨機(jī)過程在任意時(shí)刻t的取值所組成隨機(jī)變量ξ(t)的均值稱為隨機(jī)過程的均值，也稱為統(tǒng)計(jì)平均或數(shù)學(xué)期望。即注：t1→t，x1→x

物理意義：均值代表隨機(jī)過程的擺動中心。2.均方值

隨機(jī)變量ξ(t)的二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)過程ξ(t)的均方值。－－相對于橫軸的振動程度。9/18/202312（一）統(tǒng)計(jì)平均注：t1→t，x1→x稱為隨機(jī)過程ξ(t)3.方差

隨機(jī)變量ξ(t)的二階中心矩稱為隨機(jī)過程ξ(t)的方差。－－相對于均值的振動程度。9/18/2023133.方差稱為隨機(jī)過程ξ(t)的方差。－－相對于均值的振動程4.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)－－隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系

衡量隨機(jī)過程ξ(t)在任意兩個時(shí)刻t1和t2上獲得的隨機(jī)變量ξ(t1)和ξ(t2)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1，t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1，t2)來表示。（1）相關(guān)函數(shù)

ξ(t1)和ξ(t2)的二階原點(diǎn)混合矩稱為隨機(jī)過程ξ(t)的相關(guān)函數(shù)。（2）協(xié)方差函數(shù)（3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系9/18/2023144.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)－－隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系稱稱為隨機(jī)過程ξ(t)的協(xié)方差。（3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系顯然，有以上兩式可得

B(t1，t2)=R(t1，t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)]若E[ξ(t1)]或E[ξ(t2)]為零，則

B(t1，t2)=R(t1，t2)這里的R(t1，t2)及B(t1，t2)由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，因此又常分別稱為自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。

（2）協(xié)方差函數(shù)ξ(t1)和ξ(t2)的二階中心混合矩9/18/202315稱為隨機(jī)過程ξ(t)的協(xié)方差。（2）協(xié)方差函數(shù)8/6/2025.互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)－－不同隨機(jī)過程間的關(guān)系（1）互相關(guān)函數(shù)

設(shè)ξ(t)與η(t)分別表示兩個隨機(jī)過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為

Rξη(t1，t2)=E[ξ(t1)η(t2)]如果兩個隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立

Rξη(t1，t2)=0則稱它們是不相關(guān)的---正交的隨機(jī)過程。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個隨機(jī)過程是不相關(guān)的。（2）互協(xié)方差互協(xié)方差定義為

Bξη(t1，t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]}

若

Bξη(t1，t2)=0則兩個過程是不相關(guān)的。9/18/2023165.互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)－－不同隨機(jī)過程間的關(guān)系8/6/20（二）時(shí)間平均

－－非周期函數(shù)平均值1.平均值（或直流分量）

設(shè)ξi(t)是隨機(jī)過程ξ(t)的一個典型的樣本函數(shù)，則樣本函數(shù)的時(shí)間平均為注：結(jié)果與時(shí)間無關(guān)，為常數(shù)。2.均方值（或總平均功率）9/18/202317（二）時(shí)間平均1.平均值（或直流分量）注：結(jié)果與時(shí)間無關(guān)，為3.方差（或交流功率）4.自相關(guān)函數(shù)

樣本函數(shù)ξi(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為9/18/2023183.方差（或交流功率）4.自相關(guān)函數(shù)8/6/202318●自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：均方值（平均功率）這是當(dāng)然偶函數(shù)9/18/202319●自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：均方值（平均功率）8/6/2023193.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

3.2.1定義

1.狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程

假設(shè)一個隨機(jī)過程ξ(t)，如果它的任何n維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即對于任意的t和τ，隨機(jī)過程ξ(t)的n維概率密度函數(shù)滿足

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 則稱ξ(t)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。9/18/2023203.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

3.2.1定義

1.狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程

顯見，平穩(wěn)隨機(jī)過程具有如下特點(diǎn)：■統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)間的推移而不同。它的一維分布與t無關(guān)，二維分布僅與時(shí)間間隔τ有關(guān)?！鰯?shù)字特征變得“平穩(wěn)”、簡單： 數(shù)學(xué)期望與

t無關(guān)：a(t)=a

； 自相關(guān)函數(shù)只與τ有關(guān)：R(t1，t1+τ)=R(τ).fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 9/18/202321顯見，平穩(wěn)隨機(jī)過程具有如下特點(diǎn)：fn（x1，x2，...，x2.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程

一隨機(jī)過程ξ(t)，如果它滿足：（1）數(shù)學(xué)期望與t無關(guān)，即：a(t)=a；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，即：

R(t1，t1+τ)=R(τ)。則稱ξ(t)是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程。意義：●平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性－－十分有趣，非常有用。●通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。9/18/2023222.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程8/6/202322

則說ξ(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）的平穩(wěn)隨機(jī)過程.。

2.各態(tài)歷經(jīng)的含義

隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有的可能狀態(tài)。3.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)－－好處

任何一個實(shí)現(xiàn)都能代替整個隨機(jī)過程。給實(shí)際測量、分析計(jì)算帶來極大方便。3.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程

假設(shè)ξ(t)是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果有下列式子成立9/18/202323則說ξ(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）的平穩(wěn)隨機(jī)過程.。

[例3-1]設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和

c均為常數(shù)；

是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論

(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。分析

【解】(1)先求

(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望9/18/202324[例3-1]設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為8/6/202324自相關(guān)函數(shù)令t2–t1=，得到可見，

(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以

(t)是廣義平穩(wěn)過程。9/18/202325自相關(guān)函數(shù)8/6/202325(2)求

(t)的時(shí)間平均值 比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。9/18/202326(2)求(t)的時(shí)間平均值8/6/2023263.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

－－特別重要，因?yàn)椋?/p>

（1）平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述；（2）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)

R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]具有如下性質(zhì)：（1）R(0)=E[ξ2(t)]=s---ξ(t)的平均功率。（2）R(τ)=R(-τ) ---R(τ)是偶函數(shù)。（3）|R(τ)|≤R(0) ---R(τ)的上界。（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。（5） R(0)－R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。9/18/2023273.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)8/6/20233.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)的關(guān)系

---相關(guān)函數(shù)R(τ)的又一重要性質(zhì)。

設(shè)：ξ(t)平穩(wěn)，R(τ)絕對可積則簡記為：Pξ(ω)←→R(τ)意義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。9/18/2023283.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度Pξ假設(shè)f(t)為時(shí)間無限信號（功率信號），若用fT(t)代表f(t)在-T/2＜t＜T/2區(qū)間上的短截函數(shù)，即只要T為有限值fT(t)就具有有限的能量。9/18/202329假設(shè)f(t)為時(shí)間無限信號（功率信號），若用fT(t)功率譜密度定義對于平穩(wěn)隨機(jī)過程

(t)，可以把f(t)當(dāng)作是

(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故

(t)的功率譜密度可以定義為9/18/202330功率譜密度定義8/6/202330功率譜密度的計(jì)算維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有 簡記為 以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。9/18/202331功率譜密度的計(jì)算8/6/202331在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。 【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 9/18/202332在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：8/6/20功率譜密度P

(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有 和 這與R(

)的實(shí)偶性相對應(yīng)。9/18/202333功率譜密度P(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有8/6/2歸納：時(shí)間平均驗(yàn)證平穩(wěn)具有隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計(jì)平均Pξ(ω)R(τ)例3.2某隨機(jī)相位信號ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中：ω0為常數(shù)，隨機(jī)相位θ在（0，2π）內(nèi)均勻分布。求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。（1）R(0)=E[ξ2(t)]=s

---平均功率（2）R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---直流功率/均值（3）R(0)－R(∞)=σ2

----方差，交流功率9/18/202334歸納：時(shí)間平均驗(yàn)證平穩(wěn)具有隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計(jì)平均Pξ(解：（1）驗(yàn)證ξ(t)的平穩(wěn)性---與t無關(guān)。

----僅與τ有關(guān)。故ξ(t)是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程。例3.2某隨機(jī)相位信號ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中：ω0為常數(shù)，隨機(jī)相位θ在（0，2π）內(nèi)均勻分布。求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。9/18/202335解：（1）驗(yàn)證ξ(t)的平穩(wěn)性---與t無關(guān)。（2）根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)，得

9/18/202336（2）根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)，得 8/6/2023363.3高斯過程

3.3.1定義

一隨機(jī)過程ξ(t)，若它的任意n維概率密度呈正態(tài)分布，則稱其為高斯過程。又稱正態(tài)隨機(jī)過程。

數(shù)學(xué)表達(dá)式

一維時(shí)：9/18/2023373.3高斯過程

3.3.1定義

一隨機(jī)過程ξ(t)，若3.3.2性質(zhì)－－由定義可分析出（1）高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)。（2）高斯過程中的隨機(jī)變量ξ(t1)、ξ(t2)、ξ(t3)、…之間若不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）＝f1（x1，t1）f1（x2，t2）...，f1（xn，tn）（3）若干個高斯過程之和仍是高斯過程。－－從信號角度。（4）高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。－－從系統(tǒng)（線性系統(tǒng)）角度。9/18/2023383.3.2性質(zhì)－－由定義可分析出8/6/202338

則稱ξ為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量3.3.3高斯隨機(jī)變量－－隨機(jī)變量研究1.一維概率密度函數(shù)若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)可表示成9/18/202339則稱ξ為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量3.3.3高斯隨機(jī)變（2）性質(zhì)1）對稱于直線x=a;

2）在內(nèi)單調(diào)上升，在內(nèi)單調(diào)下降，且在a點(diǎn)處達(dá)到極大值;3）

4）a表示分布中心，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中的程度。5）當(dāng)a＝0，時(shí)，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：

9/18/202340（2）性質(zhì)1）對稱于直線x=a;3）8/6/2023402.正態(tài)分布函數(shù)（1）一般表示式已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為：這個積分不易計(jì)算，常引入概率積分函數(shù)或誤差函數(shù)（可查表）來表述。9/18/2023412.正態(tài)分布函數(shù)這個積分不易計(jì)算，常引入概率積分函數(shù)或誤差函（2）用概率積分函數(shù)表示定義概率積分函數(shù)(簡稱概率積分)為則正態(tài)分布函數(shù)可表示為

9/18/202342（2）用概率積分函數(shù)表示則正態(tài)分布函數(shù)可表示為 8/6（3)用誤差函數(shù)表示

正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。

1）誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：9/18/202343（3)用誤差函數(shù)表示誤差函數(shù)：8/6/2023432）誤差函數(shù)的性質(zhì)●誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：

●互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：9/18/2023442）誤差函數(shù)的性質(zhì)●互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：3）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)

●

x≥a時(shí)：9/18/2023453）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)8/6/202345

●

x≤a綜上：9/18/202346●x≤a綜上：8/6/202346

3.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

3.4.1線性系統(tǒng)---復(fù)習(xí)

設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為：h(t)、H(ω)，則：H(ω)←→h(t)。周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)v0(t)等于輸入信號vi(t)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，即：9/18/202347

3.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

3.4.1線性系統(tǒng)---復(fù)

系統(tǒng)滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件:h(t)=0，t<0；輸入有界（滿足狄里赫利條件）。則有：理解：上式對于確知信號是沒有問題的。 當(dāng)輸入是隨機(jī)過程ξ

(t)的一個實(shí)現(xiàn)ξi1(t)－－隨機(jī)函數(shù)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過程ξo1(t)。進(jìn)一步：當(dāng)輸入是隨機(jī)過程ξi(t)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過程ξo(t)。且有：

9/18/202348系統(tǒng)滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件:h(t)=0，t<0；輸入有界任務(wù)：假設(shè)ξi(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求ξ0(t)的統(tǒng)計(jì)特性。注：考察一個實(shí)現(xiàn)就夠了。9/18/202349任務(wù)：假設(shè)ξi(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求ξ03.4.2ξ0(t)的統(tǒng)計(jì)特性1.ξ0(t)的平穩(wěn)性（1）均值--與t無關(guān)。結(jié)論：輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與H(0)相乘。且E[ξ0(t)]與t無關(guān)。9/18/2023503.4.2ξ0(t)的統(tǒng)計(jì)特性--與t無關(guān)。結(jié)論：輸出過程其中：根據(jù)平穩(wěn)性

E[ξi(t-α)ξi(t+τ-β)]=Rξi(τ+α-β)（2）相關(guān)函數(shù)－－僅與τ有關(guān)。－－僅與時(shí)間差有關(guān)。9/18/202351其中：根據(jù)平穩(wěn)性（2）相關(guān)函數(shù)－－僅與τ有關(guān)。－－僅與時(shí)間差綜上:

ξ0(t)平穩(wěn)。即：2.ξ0(t)的功率譜密度及分布函數(shù)（1）功率譜密度

因?yàn)棣?(t)廣義平穩(wěn)所以Pξ0(ω)←→Rξ0(τ)可證得

Pξ0(ω)=∣H(ω)∣2Pξi(ω)9/18/202352綜上:ξ0(t)平穩(wěn)。即：2.ξ0(t)的功率譜密度及分輸出過程

o(t)的功率譜密度

對下式進(jìn)行傅里葉變換： 得出 令=

+-，代入上式，得到 即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po(f)的反傅里葉變換求Ro(

)9/18/202353輸出過程o(t)的功率譜密度8/6/202353（2）分布函數(shù)一個十分有用的結(jié)論：若線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。

因?yàn)閺姆e分原理看，可以表示為：

由于已假設(shè)

i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個“和”也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。

注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。9/18/202354（2）分布函數(shù)8/6/202354例3.3功率譜密度n0/2白噪聲，經(jīng)LPF：求輸出的：Pno(ω)、Ro(τ)、噪聲功率N。解：9/18/202355例3.3功率譜密度n0/2白噪聲，經(jīng)LPF：求輸出的：P3.5窄帶隨機(jī)過程→窄帶過程

1.什么叫窄帶隨機(jī)過程？

頻譜:所占頻帶較窄，滿足Δf<<fc的隨機(jī)過程叫～。

時(shí)域：用示波器觀察，看到某個實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）的波形－－幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。9/18/2023563.5窄帶隨機(jī)過程→窄帶過程

1.什么叫窄帶隨機(jī)過程？

問：窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的?

2.表達(dá)式－－兩種！9/18/202357問：窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的?2.3.5.1ξc(t)、ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：得到因?yàn)?/p>

(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間t，都有E[

(t)]=0，所以9/18/2023583.5.1ξc(t)、ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：對下式

(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中9/18/202359(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式8/6/20235因?yàn)?/p>

(t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。因此，若令t=0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)橐蚺c時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立9/18/2023608/6/202360所以，上式變?yōu)樵倭顃=π/2

c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過程

(t)是平穩(wěn)的，則

c(t)和

s(t)也必然是平穩(wěn)的。進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有上式表明，同相分量

c(t)和正交分量

s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。9/18/202361所以，上式變?yōu)檫M(jìn)一步分析，下兩式8/6/202361根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc(

)是

的奇函數(shù)，所以同理可證將代入下兩式得到即上式表明

(t)、

c(t)和

s(t)具有相同的平均功率或方差。9/18/202362將8/6/202362根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到

因?yàn)?/p>

(t)是高斯過程，所以，

c(t1)，

s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而

c(t)、

s(t)也是高斯過程。根據(jù) 可知，

c(t)與

s(t)在=0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此

c(t)與

s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。9/18/202363根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式8/6/2023結(jié)論1若ξ(t)：均值為0、方差為δ2、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過程。則：（1）ξc(t)、ξs(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程；（2）E[ξ(t)]=E[ξc(t)]=E[ξs(t)]＝0－－均值相同(都為0)；

（3）δξc2=δξs2=δξ2=δ2－－方差相同，同于ξ(t)

；（4）在同一時(shí)刻（即τ=0）上得到的ξc及ξs互相關(guān)函數(shù)為0，即ξc與ξs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。9/18/2023648/6/2023643.5.2aξ(t)、φξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a

,

)根據(jù)概率論知識有由可以求得9/18/2023653.5.2aξ(t)、φξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函式中

a

0,

=(0~2π)9/18/2023668/6/202366a

的一維概率密度函數(shù)利用邊際分布可見，a

服從瑞利(Rayleigh)分布。9/18/202367a的一維概率密度函數(shù)8/6/202367

的一維概率密度函數(shù)同樣利用邊際分布可見，

服從均勻分布。9/18/202368的一維概率密度函數(shù)8/6/202368結(jié)論2若ξ(t)：均值為0、方差為δ2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。則：（1）其包絡(luò)aξ(t)的一維pdf呈瑞利分布；（2）其相位φξ(t)的一維pdf呈均勻分布；（3）aξ(t)與φξ(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。9/18/2023698/6/2023693.6正弦信號加窄帶高斯噪聲3.6.1合成信號表達(dá)式正弦信號加窄帶高斯噪聲后的合成信號可表示為：其中：---正弦載波:假定A、ωc為常數(shù);θ為隨機(jī)變量，其一維pdf均勻分布，即：f(θ)=1/(2π)，0≤θ≤2π---窄帶隨機(jī)過程:nc(t)---n(t)之同相分量；

ns(t)---n(t)之正交分量。9/18/2023703.6正弦信號加窄帶高斯噪聲其中：---正弦載波:假定A、代入，整理：其中：9/18/202371代入，整理：其中：8/6/2023713.6.2統(tǒng)計(jì)特性（1）同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論1若：n(t)均值為0、方差為δ2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程;θ給定。則：（1）zc(t)、zs(t)同樣是窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程；（2）且δzc2=δzs2=δn2=δ2－－方差相同，同于n(t)

；（3）但：E[zc(t)]= E[zs(t)]=（4）在同一時(shí)刻（即τ=0）上得到的zc及zs互相關(guān)函數(shù)為0，即zc與zs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。9/18/2023723.6.2統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論18/6/202372包絡(luò)的概率密度函數(shù)f(z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果

值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有所以，在給定相位

的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(2)包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性9/18/202373(2)包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性8/6/202373利用與上一節(jié)分析a

和

相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，

之間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位

的條件下的z與

的聯(lián)合概率密度函數(shù)9/18/202374利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，然后求給定條件下的邊際分布，即由于故有式中

I0(x)－第一類零階修正貝塞爾函數(shù)9/18/202375然后求給定條件下的邊際分布，即由于8/6/202375因此由上式可見，f(

,z)與

無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為 －稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。

9/18/202376