初二理化生一元一次不等式與不等式組講義

第7章一元一次不等式與不等式組1．不等式用不等號連接起來的式子叫做不等式．常見的不等號有五種： “W”、 ">"、“<”、“三”、“W”.．不等式的解與解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法是①確定邊界點。解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；②確定方向：大向右，小向左。說明：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的，不等式的解是不確定的，是一個范圍，而一元一次方程的解則是一個具體的數(shù)值．．不等式的基本性質(zhì)不）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式．不等號的方向不變．如果a>b那么ac>bcac>bc不）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．如果a>b并且c>那么ac>bc（或ab）cc（3不）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．如果a>b并且c<那么ac<bc（或a-）cc不等式的對稱性： 如果a>b那么<a不等式同向傳遞性：如果a>b>那么a>①若a—①若a—>o則a大于②若a—<,則@小于③若a—三，則a不小于④若a—W,則a不大于⑤若a>或a>0，則a、同號

b⑥若a<或a<0，則a、異號

b任意兩個實數(shù)a、的大小關(guān)系：①a 'a〉； ②a =a； ③a 0a<.不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換;但a<可轉(zhuǎn)換為>a,三可轉(zhuǎn)換為wc一元一次不等式只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1．系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：其標(biāo)準(zhǔn)形式： ax+b<0或ax+bW0, ax+b>0或ax+b三0（aW0）.x<ax<aa．解一元一次不等式的一般步驟（1去）分母；（2去）括號；（3移）項； （4合）并同類項；（5化）系數(shù)為1．說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．例：解不等式：士1-3x-1<123解：去分母，得 3（x-1）-2（3x-1）<6 （不要漏乘！每一項都得乘）去括號，得 3x-3-6x+2<6 （注意符號，不要漏乘）移項，得 3x-6x<6+3-2 （移項要變號）合并同類項，得 -3x<7 （計算要正確）7系數(shù)化為，得x>-3（同除負(fù)，不等號方向要改變，分子分母別顛倒了）一元一次不等式組含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．說明：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：①組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；②不等式組中不等式的個數(shù)至少是個，也就是說，可以是個、個、個或更多.一元一次不等式組的解集一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分．叫做這個一元一次不等式組的解集．一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定．不等式組解集的確定方法，可以歸納為以下四種類型a<bIxIx>a①4 [的解集是x>b,如下圖:[x>b同大取大Ix<a②4 [的解集是x<a，如下圖:[x<b同小取小IxIx<a④4 無解，如下圖：[x>b大小分離解為空 o A >a bIx>a③4 7的解集是a<x<b,如下圖:[x<b大小交叉取中間9解一元一次不等式組的步驟 ab分（別1求）出不等式組中各個不等式的解集；利（用2數(shù)）軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集．10.不等式應(yīng)用題用一元一次不等式組解決實際問題的步驟：⑴審題，找出不等關(guān)系；⑵設(shè)未知數(shù)；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合題意的值；⑹作答。

例現(xiàn)計劃把甲種貨物和乙種貨物用一列貨車運往基地已知這列貨車掛有、兩種不同規(guī)格的貨車廂共節(jié)，使用型車廂每節(jié)費用為元，使用型車廂每節(jié)費用為元設(shè)運送這批貨物的總費用為J萬元這列貨車掛型車廂》節(jié)試寫出J與工之間的函數(shù)關(guān)系式.如果每節(jié)型車廂最多可裝甲種貨物和乙種貨物每節(jié)型車廂最多可裝甲種貨物 和乙種貨物 裝貨時按此要求安排、兩種車廂的節(jié)數(shù)那么共有幾種方案?在（（32）的）方案中,哪種方案費用最省?并求出最省費用.【分析】題中總費用應(yīng)該是型車廂的費用和型車廂的費用的總和題的要求是型車廂的甲種貨物最大裝載量與型車廂的甲種貨物最大裝載量的和不少于噸；型車廂的乙種貨物最大裝載量與型車廂的乙種貨物最大裝載量的和不少于88噸0.【解】 ?）用型車廂》節(jié)則型車廂為0節(jié)得y=0.61+0.8（40—工）=—0.21+32.依（題2依（題2意）,得「35%+25（40—1）三1240,J51+35（40—1）三880.解之得24W》W26.???》取整數(shù)，??.%=24或25或26???共有三種方案節(jié)型車廂和 節(jié)型車廂節(jié)型車廂和 節(jié)型車廂節(jié)型車廂和 節(jié)型車廂當(dāng)》=24時y=27.2萬元當(dāng)x=25時y=27萬元當(dāng)x=26時y=26.8萬元故安排方案③即型車廂節(jié)型車廂節(jié)最省最省費用為萬元【說明】目前中考越來越注重能力的考查.本題是一道實際生活中的“方案設(shè)計問題”，要善于把這類問題轉(zhuǎn)化，抽象為數(shù)學(xué)問題加以解決.例2.某市大蒜在國內(nèi)、國際市場享有盛譽.某運輸公司計劃用10輛汽車將甲、乙、丙三種規(guī)格大蒜共 運輸?shù)酵獾匕匆?guī)定每輛車只能裝同一種大蒜且必須滿載每種大蒜不少于一車.設(shè)用）輛車裝運甲種大蒜用y輛車裝運乙種大蒜根據(jù)下表提供的信息求y與》之間的函數(shù)關(guān)系式并求自變量》的取值范圍設(shè)此次運輸公司的利潤為單位百元求與》的函數(shù)關(guān)系式及最大運輸利潤,并安排此時相應(yīng)的車輛分配方案.大蒜規(guī)格甲乙丙每輛汽車的滿載量運輸每噸大蒜獲利百元【分析】題 中要全面把握三個條件：共用輛汽車；大蒜共0每種大蒜不少于一車.由題意可以列出方程和不等式.題中運輸公司的利潤是甲、乙、丙三種大蒜的利潤總和【解】 ?.?用％輛車裝運甲種大蒜用J輛車裝運乙種大蒜，???裝運丙種大蒜的車輛為 一％―)輛根據(jù)題意，得8X+10y+11(10—％—y)= 0化簡，得y=-3x+???每種大蒜不少于一車，3x+10三iXX三 解之得1WXW3根據(jù)題意，得M=2.2?8X+2.1?10y+2-11(10—x—y)=17.6X+21(-3x+10)+22(10-x+3x-10)=-1.4x+210.k=-1.4<0,??.M隨X的增大而減小又?.TWxW3,.?.當(dāng)x=1時有最大值??.m=-1.4+210=208.6(百元)最大此時相應(yīng)的車輛分配方案為：用1輛車裝運甲種大蒜,用7輛車裝運乙種大蒜,用2輛車裝運丙種大蒜.【說明】不等式的運用常常與方程(組)、函數(shù)的知識相結(jié)合，當(dāng)不等式作為隱含條件使用的時候，更能反映學(xué)生全面思考問題的能力.例我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富一年內(nèi)日平均風(fēng)速不小于的時間共約天其中日平均風(fēng)速不小于的時間約占天為了充分利用風(fēng)能這種“綠色能源”該地擬建一個小型風(fēng)力發(fā)電場決定選用、兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機根據(jù)產(chǎn)品說明,這兩種風(fēng)力發(fā)電機在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表:日平均風(fēng)速V/(m/s)v<33<v<6v>6日發(fā)電量/kW?h型發(fā)電機三三型發(fā)電機三三根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：若這個發(fā)電場購X臺型風(fēng)力發(fā)電機，則預(yù)計這些型風(fēng)力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為kW?h；已知型風(fēng)力發(fā)電機每臺萬元型風(fēng)力發(fā)電機每臺萬元該發(fā)電場擬購置風(fēng)力發(fā)電機共10臺,希望購置的費用不超過2.萬6元,而建成的風(fēng)力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于0W0請你提供符合條件的購機方案【分析】審題的關(guān)鍵在于將文字與表格中的符號對應(yīng)起來如一臺型發(fā)電機一年有的日發(fā)電量三kW?h有的日發(fā)電量三6W?h則可求出一臺型發(fā)電機的年發(fā)電量（最小值）.題（2要）求提出符合條件的購機方案,因此,只要是符合要求的方案均可,實際上購機方案可能不止一套.【解】 2設(shè)購型發(fā)電機工臺，則購型發(fā)電機（10—x）臺根據(jù)題意，得（0.3x+0.2（10-x）＜2.6,12600x+7800（10—x）三102000.解之得：5WxW6.???可購型發(fā)電機臺，則購型發(fā)電機臺；或購型發(fā)電機臺，則購型發(fā)電機臺一分配問題1把.若干顆花生分給若干只猴子。如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5

顆，那么最后一只猴子雖分到了花生，但不足5顆。問猴子有多少只，花生有多少顆？.把一些書分給幾個學(xué)生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學(xué)生分5本，那么最后一人就分不到3本。問這些書有多少本？學(xué)生有多少人？.某中學(xué)為八年級寄宿學(xué)生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無法安排，如果每間8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數(shù)和寄宿學(xué)生人數(shù)。.將不足40只雞放入若干個籠中，若每個籠里放4只，則有一只雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，且最后一籠不足3只。問有籠多少個？有雞多少只？.用若干輛載重量為8噸的汽車運一批貨物，若每輛汽車只裝4噸，則剩下20噸貨物；若每輛汽車裝滿8噸，則最后一輛汽車不滿也不空。請問：有多少輛汽車？.一群女生住若干家間宿舍，每間住4人，剩下19人無房?。幻块g住6人，有一間宿舍住不滿。⑴果有間宿舍，那么可以列出關(guān)于的不等式組：⑵能有多少間宿舍、多少名學(xué)生？你得到幾個解？它符合題意嗎?

速度、時間問題爆破施工時，導(dǎo)火索燃燒的速度是，人跑開的速度是 ，為了使點火的戰(zhàn)士在施工時能跑到 以外的安全地區(qū)，導(dǎo)火索至少需要多長？王凱家到學(xué)校 千米，現(xiàn)在需要在分鐘內(nèi)走完這段路。已知王凱步行速度為米分，跑步速度為 米分，問王凱至少需要跑幾分鐘？王抗洪搶險，向險段運送物資，共有12公0里原路程，需要1小時送到，前半小時已經(jīng)走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？三工程問題一個工程隊規(guī)定要在天內(nèi)完成 土方的工程，第一天完成了土方，現(xiàn)在要比原計劃至少提前兩天完成，則以后平均每天至少要比原計劃多完成多少方土？用每分鐘抽 噸水的型抽水機來抽池水，半小時可以抽完；如果改用型抽水機，估計分鐘到分可以抽完。型抽水機比型抽水機每分鐘約多抽多少噸水？某工人計劃在天里加工 個零件，最初三天中每天加工個，問以后每天至少要加工多少個零件，才能在規(guī)定的時間內(nèi)超額完成任務(wù)？王某同學(xué)要在4小時內(nèi)，從甲地趕到相距15公里的乙地，他從甲地出發(fā)后，以每小時3公里的速度走了1小時，以后至少平均每小時要走多少公里，才能按計劃到達(dá)乙地？王一本英語書98頁,張力讀了7天（一周）還沒讀完,而李永不到一周就讀完了王李永平均每天比張力多讀3頁,張力每天讀多少頁?

四價格問題商場購進(jìn)某種商品件，每件按進(jìn)價加價元售出全部商品的 5然后再降價，這樣每件仍可獲利 元，又售出全部商品的 。試求該商品的進(jìn)價和第一次的售價；（2為）了確保這批商品總的利潤率不低于25，%剩余商品的售價應(yīng)不低于多少元？水果店進(jìn)了某中水果，進(jìn)價是元。售價定為元，銷售一半以后，為Y盡快售完，準(zhǔn)備打折出售。如果要使總利潤不低于200元0，那么余下的水果可以按原定價的幾折出售？.“中秋節(jié)”期間蘋果很熱銷，一商家進(jìn)了一批蘋果，進(jìn)價為每千克1.元5，銷售中有的蘋果損耗，商家把售價至少定為每多少元，才能避免虧本？4．某中學(xué)需要刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費）；若學(xué)校自刻，出租用刻錄機需12元0外，每張光盤還需成本4元（包括空白光盤費）。問刻錄這批電腦光盤，該校如何選擇，才能使費用較少？.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人15人0，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為6元和100元0.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？.學(xué)校圖書館準(zhǔn)備購買定價分別為8元和14元的雜志和小說共80本，計劃用錢在75元0到85元0之間（包括75元0和85元0），那么14元一本的小說最少可以買多少本？五其他問題.有一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小2，已知這個兩位數(shù)大于20且小于求這個兩位數(shù).一次知識競賽共有15道題。競賽規(guī)則是：答對1題記8分，答錯1題扣4分，不答記0分。結(jié)果神箭隊有2道題沒答，飛艇隊答了所有的題，兩隊的成績都超過了90分，兩隊分別至少答對了幾道題？某公司需刻錄一批光盤（總數(shù)不超過張），若請專業(yè)公司刻錄，每張需元（包括空白光盤費）；若公司自刻，除設(shè)備租用費元以外，每張還需成本元（空白光盤費）。問刻錄這批光盤，是請專家公司刻錄費用省，還是自刻費用??？考試共有道選擇題，做對一題得分，做錯一題減分，不做得分，若小明想確?？荚嚦煽冊诜忠陨?，那么，他至少做對題，應(yīng)滿足的不等式是什么？.有紅、白顏色的球若干個，已知白球的個數(shù)比紅球少，但白球的兩倍比紅球多，若把每個白球都記作數(shù)2，每一個紅球都記作數(shù)3，則總數(shù)為60，求白球和紅球各幾個？六方案選擇與設(shè)計1某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素含量及購買這兩種原料的價格如下表：原料維生素 及價格~\''^^甲種原料乙種原料維生素（單位千克）原料價格（元千克）現(xiàn)配制這種飲料千克，要求至少含有 單位的維生素，并要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，（）設(shè)需用X千克甲種原料，寫出X應(yīng)滿足的不等式組。（2）按上述的條件購買甲種原料應(yīng)在什么范圍之內(nèi)？紅星公司要招聘、兩個工種的工人 人，、工種的工人的月工資分別為 和元，現(xiàn)要求工種的人數(shù)不少于工種人數(shù)的倍，那么招聘工種工人多少時，可使每月所付的工資最少？此時每月工資為多少元？.某工廠接受一項生產(chǎn)任務(wù)，需要用10米長的鐵條作原料?，F(xiàn)在需要截取3米長的鐵條8根，4米長的鐵條32根，請你幫助設(shè)計一下怎樣安排截料方案，才能使用掉的10米長的鐵條最少？最少需幾根？某校辦廠生產(chǎn)了一批新產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種銷售方案，方案一：在這學(xué)期開學(xué)時售出該批產(chǎn)品，可獲利元，然后將該批產(chǎn)品的投入資金和已獲利 元進(jìn)行再投資，到這學(xué)期結(jié)束時再投資又可獲利％方案二在這學(xué)期結(jié)結(jié)束時售出該批產(chǎn)品可獲利 元但要付投入資金的％作保管費，問：()當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金是多少元時，方案一和方案二的獲利是一樣的？()按所需投入資金的多少討論方案一和方案二哪個獲利多。.某園林的門票每張10元，一次使用，考慮到人們的不同需要，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買年票”的方法。年票分為、、三種：年票每張元，持票進(jìn)入不用再買門票；類每張元，持票進(jìn)入園林需要再買門票，每張元，類年票每張元，持票進(jìn)入園林時，購買每張元的門票。⑴果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進(jìn)入該園林的次數(shù)最多的購票方式。⑵一年中進(jìn)入該園林至少多少時，購買、類年票才比較合算。.某城市平均每天處理垃圾70噸0，有甲和乙兩個處理廠處理，已知甲每小時可處理垃圾55噸，需要費用55元0，乙廠每小時可處理垃圾45噸，需要費用49員5。如果規(guī)定該城市每天用于處理垃圾的費用不得超過737元0，甲廠每天處理垃圾至少要多少噸？

練習(xí)．有理數(shù)里的不等式：若是非負(fù)數(shù)，則任意有理數(shù)的、具有非負(fù)性，用式子表達(dá).|g|=—d則a0 若a=-1，則a0a若< 則!al+1=； 若|a_b-b一a,則abaa>-a,則Ua0; aY—a,貝Ua0若a>b,則a-b0；若>>則1 1; 若<<則1 1ab ab若0<a<1若0<a<1,a按從小到大排列為1若>則a2，a，a按從小到大排列為；8.當(dāng)、時若則和有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，根據(jù)圖示，用“>”或“<”填空。(1)ab(2)a+b0 (3)ab0勺P.(4)-a—-b (5)a-b—0 (6)11 ' '一ab不論a是什么數(shù)，下列不等式都能成立的是 ( )A.>三1 〉下任列說法正確的是()如果>則<1<a如果<那么1>a比任較大小(——若|x+2|+(y-3)2=0,則xy+6110 0.若kz1=一1,則的取值范圍是x-1若Ixz1--1,則1一x若12x-11-1-2x，則x()a2—0,(其中W)().不等式、不等式性質(zhì)及解不等式1..用適當(dāng)?shù)氖阶颖硎鞠铝嘘P(guān)系：與的平方和不小于 任意有理數(shù)的絕對值具有非負(fù)性與和的 小于或等于1

，的3/5與2的差的相反數(shù)不小于-5.除的商是負(fù)數(shù) x的相反數(shù)的1/7不大于x的5倍加16.的負(fù)倒數(shù)大于它的相反數(shù)學(xué)校的男生人數(shù)比至少是女生的倍姐姐每月上網(wǎng)20小時，妹妹每月上網(wǎng)x小時，妹妹每月上網(wǎng)的時間超過了姐姐的兩倍。(10火)車限速25公0里(11這次)考試小紅至少做對了兩題北京某一天最低氣溫是-°,最高氣溫是.已知a>b,用“〉”或“<”填空。ab(2)a+3—b+3 (3)2a+1—2b+1 (4)-a—-b-2a-2-2b-2 (6)a-2011b-2011 (7)-5a-0.00001-5b-0.00001.若a>b,則下列說法中() >；()>；() > ()!>-() > 若貝,〉dab正確的有 .由〉得到> 的條件是TOC\o"1-5"\h\z〉 〈三 W由>得到>的條件是< w 是任意有理數(shù)已知> 則下列結(jié)論中正確的是( )> > > >如果> > 下列格式中不正確的是( )> > 三.下列各式中一定成立的是()A.5a-1>4a—1B.1+a>1-a C.a2三a D.a+3>a—4.若2a+3b—1>3a+2b，貝Ua,b的大小關(guān)系為( )A.a<b B.a>b C.a=b D.不能確定已知 則 從小到大順序為。11..若a>b,則下列不等式中一定成立的是( )b<1 a>1A.a B.bC,-a>-b D,a-b>0.如果b<a<0,下列不等式中錯誤的是( )．．D.a—b<0則,a->b0<則<A.ab>0 B.D.a—b<0則,a->b0<則<b.下列說法正確的是( )若〉<，則> 若>若< <則< 若>

若f>1，那么下列關(guān)系正確的是（ ）yA.> > < >且||>1I15在數(shù)軸上表示數(shù)x的點與原點的距離不超過5,則x滿足的不等式（組）為要使方程5X—2m=3（X-2m）+1的解是負(fù)數(shù)，則mTOC\o"1-5"\h\z17小.于90的兩位數(shù),個位數(shù)字比十位數(shù)字大5,這樣的兩位數(shù)有 個。求（a-1）X> 的解集。狽<1的解集是> ，則a的值是（ ）aXA.3B.1/3 C.－3 D.-1/3如果a（X-1）>x+1-2a的解集是x<，貝U的取值范圍為21.與不等式3-2Xv-1的解集相同的是（ ）5A.3-2x>5 B.3-2x<5 C.2x-3>5D.x<4x-313x-1 -1<-22.不等式2 3的負(fù)整數(shù)解的個數(shù)有（A.0個B.2個C.4個D.6個.若X>J，下列結(jié)論正確的是（）A．-A．-x>-yB.x-10>y-10C.ax2>ay2D.2x-12y-1 >

3 3.甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是1°?°,乙種蔬菜保鮮適宜的溫度是。?。，將這兩種蔬菜放在一起同時保鮮,適宜的溫度是（）.1TOC\o"1-5"\h\z? 3 ? 5 ? 1 ?.某種商品的進(jìn)價為80元0,出售時標(biāo)價為120元0,后來由于該商品積壓,商店準(zhǔn)備打折出售,但要保持利潤率不低于5％,則至多可打（ ）A折.折 .折.折.采石.塊工人進(jìn)行爆破時,為了確保安全,工人點燃炸藥導(dǎo)火線后要在炸藥爆破前轉(zhuǎn)移到 以外的安全區(qū)域；導(dǎo)火線燃燒速度是 /，人離開的速度是 /，導(dǎo)火線的長度至少需要（ ）7．某車間工人劉偉,接到一項任務(wù),要求10天里加工完19個0零件,最初2天,每天加工15個,要在規(guī)定的時間內(nèi)完成任務(wù),以后每天至少加工的零件個數(shù)為（ ）28寫出下列不等式的解集,并把解集在數(shù)軸上表示出來：< 5x-6>3x+4 （-X-1>1 Ix-1|<2 3.某次數(shù)學(xué)競賽共有20道選擇題做對一題6分做錯一題扣2分不作為0分小明有一題未做他的成績不低于80分,你知道他至少做對了多少道題嗎？.把若干顆花生分給若干只猴子。如果每只猴子分3顆,就剩下8顆；如果每只猴子分5顆,那么最后一只猴子雖分到了花生,但是不足5顆。問猴子有多少只,花生有多少顆？

單元測驗、填空題|-3x+1>0不等式組1,+1>-］的解集是.不等式組《5〉2(1-x).不等式組《1 2 的整數(shù)解的和是——x?——x[3 3.