集合的基本概念

1.1集合的概念1.了解集合的含義，會(huì)使用符號(hào)“”“”表示元素與集合之間的關(guān)系．2.能選擇自然語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述集合，熟悉常見(jiàn)的數(shù)集．重點(diǎn)：集合定義及元素的特征，集合的表示方法，常用數(shù)集表示難點(diǎn)：元素的互異性，分類討論思想集合論誕生于19世紀(jì)末，其創(chuàng)始人是康托爾（18291920，德國(guó)數(shù)學(xué)家）。集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，它的出現(xiàn)大大擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，可以說(shuō)，集合論是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，它不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯學(xué)。閱讀課本，并嘗試回答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1初中階段，我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些集合？代數(shù)方面：自然數(shù)集合，有理數(shù)集合，實(shí)數(shù)集合，方程解的集合，不等式解的集合；幾何方面：點(diǎn)的集合等，如圓的概念：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。（1）集合的含義一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合(set)（簡(jiǎn)稱集）.（2）集合與元素的表示通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.問(wèn)題2所有的“高個(gè)子同學(xué)”能否構(gòu)成一個(gè)集合？由此說(shuō)明什么？不能.其中的元素不確定集合中的元素是確定的問(wèn)題3由1,2,0,5,這些數(shù)組成的一個(gè)集合中有5個(gè)元素，這種說(shuō)法正確嗎？不正確.集合中只有4個(gè)不同元素1，3，0，5。集合中的元素是互異的問(wèn)題4高一（1）班的全體同學(xué)組成一個(gè)集合，調(diào)整座位后這個(gè)集合有沒(méi)有變化？集合沒(méi)有變化集合中的元素是沒(méi)有順序的問(wèn)題5通過(guò)以上的學(xué)習(xí)你能給出集合中元素的特性嗎？確定性、互異性、無(wú)序性集合相等：兩個(gè)集合中，元素完全一樣，則稱兩集合相等。問(wèn)題6已知下面的兩個(gè)實(shí)例：（1）用A表示高一(3)班全體學(xué)生組成的集合.（2）用a表示高一(3)班的一位同學(xué)，b表示高一(4)班的一位同學(xué).思考：那么a，b與集合A分別有什么關(guān)系?【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.元素與集合的關(guān)系如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作aA.常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)（自然數(shù)集）N、正整數(shù)集N*或N＋、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R.集合的表示方法思考1：地球上的四大洋組成的集合如何表示？【提示】可以這樣表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.思考2:方程（x+1)(x+2)=0的所有根組成的集合，又如何用列舉法表示呢？【提示】{1,2}問(wèn)題：通過(guò)思考以上問(wèn)題大家能總結(jié)歸納出列舉法的概念嗎？把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.【小試牛刀】用列舉法表示下列集合：（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合.（2）方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.解：（1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，那么B={1,0}描述法思考：能否用列舉法表示不等式x－3<7的解集？該集合中的元素有什么性質(zhì)？【解析】不能。但是可以看出，這個(gè)集合中的元素滿足性質(zhì)：（1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是實(shí)數(shù)。這個(gè)集合可以通過(guò)描述其元素性質(zhì)的方法來(lái)表示，寫(xiě)作:.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或。思考：自然語(yǔ)言、列舉法和描述法表示集合時(shí)，各自的特點(diǎn)和適用對(duì)象？自然語(yǔ)言描述集合簡(jiǎn)單易懂、生活化；列舉法的特點(diǎn)每個(gè)元素一一列舉出來(lái)，非常直觀明顯的表示元素，當(dāng)元素有限或者元素有規(guī)律性的時(shí)候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明顯的共同特征，集合中的元素基本是無(wú)限的，這是比較常用的集合表示法考點(diǎn)一集合的基本概念例1（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各對(duì)象的全體，可以構(gòu)成集合的是___（填序號(hào)）①高一數(shù)學(xué)課本中的難題；

②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；【答案】④【分析】根據(jù)集合的概念判斷即可.【詳解】因?yàn)棰佗冖鬯硎镜难芯繉?duì)象不能確定，所以不能構(gòu)成集合，而④符合集合的概念.故答案為：④【對(duì)點(diǎn)演練1】下列元素的全體不能組成集合的是（

）A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流C．方程的實(shí)數(shù)解 D．周長(zhǎng)為的三角形【答案】B【詳解】中國(guó)古代四大發(fā)明可以構(gòu)成一個(gè)集合，故A正確；地球上的小河流不滿足集合元素的確定性，即沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)多小的河流算小河流，故B錯(cuò)誤；方程的實(shí)數(shù)解是，可以構(gòu)成一個(gè)集合，故C正確；周長(zhǎng)為的所有三角形可以構(gòu)成一個(gè)集合，故D正確；故選：B.【對(duì)點(diǎn)演練2】下列各組對(duì)象中，能組成集合的有___________（填序號(hào)）．①所有的好人；②平面上到原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)；③正三角形；④比較小的正整數(shù)；⑤滿足不等式的的取值．【答案】②③⑤【詳解】①中“好人”，④中“比較小”不滿足構(gòu)成集合元素的確定性，而②③⑤滿足集合元素的性質(zhì)，故②③⑤正確考點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系角度1關(guān)系的判斷例2給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.故選：C.【對(duì)點(diǎn)演練1】給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．2 C．3 D．5【分析】根據(jù)數(shù)的分類一一判斷即可.【詳解】為無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以，所以①正確；是無(wú)理數(shù)，所以，所以②錯(cuò)誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無(wú)理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯(cuò)誤.故選:A.【對(duì)點(diǎn)演練2】已知①；②；③④，其中正確的為_(kāi)_____（填序號(hào)）.【答案】①③【詳解】；；；，故①③正確.故答案為：①③已知集合,那么（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知集合，故，故A正確，D錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤，，故C錯(cuò)誤，故選：A角度2元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題例3（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】集合，所以集合的元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．故選：B．例4已知集合.(1)若A中只有一個(gè)元素，求的值；(2)若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，得，集合A只有一個(gè)元素，滿足條件；當(dāng)時(shí)，為一元二次方程，，得，集合A只有一個(gè)元素，A中只有一個(gè)元素時(shí)或.（2）由A中至少有一個(gè)元素包含兩種情況，一個(gè)元素和兩個(gè)元素，A中有兩個(gè)元素時(shí)，并且，得且，再結(jié)合A中一個(gè)元素的情況，的取值范圍為.【對(duì)點(diǎn)演練】（2023湖南常德高一期末）若關(guān)于的方程的解集中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)，的解有且僅有一個(gè)：，符合題意，所以；當(dāng)時(shí)，要使的方程的解集中有且僅有一個(gè)元素，則有：，則.所以實(shí)數(shù)的值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為：2.故選：B.考點(diǎn)三：集合中元素特性的簡(jiǎn)單應(yīng)用例5已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．3或1 D．無(wú)解【答案】B【詳解】若，可得當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不滿足集合的互異性，故（舍去），當(dāng)，解得（舍去）或，此時(shí)，滿足題意，故實(shí)數(shù)的值為3.故選：B【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023河南焦作?？迹┮阎?，且，則取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榧?，且，所以?當(dāng)時(shí)，解得：或.而，不符合元素的互異性，故或.故選：B【對(duì)點(diǎn)演練2】若，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)?，故或或，?dāng)時(shí)，，與元素的互異性矛盾，舍；當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，或，根據(jù)元素的互異性，符合，故a的取值集合為.故答案為：【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)集合，集合，若已知，且，則的值為_(kāi)______．【答案】【詳解】由可知，解得或，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不滿足題意，所以，此時(shí)，故答案為：考點(diǎn)四集合的表示角度1用列舉法表示集合例6（2023四川雅安高一期末）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023秋·湖南益陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）二元一次方程組的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，所以二元一次方程組的解集是，故選：B【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·高一單元測(cè)試）若集合，用列舉法表示______．【答案】【詳解】集合，則是6的正約數(shù)，而6的正約數(shù)有1，2，3，6，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：角度2用描述法表示集合例7不等式組的解集為_(kāi)__________.【答案】【詳解】由可得，故答案為：【對(duì)點(diǎn)演練】（2022秋·上海徐匯·高一?？茧A段練習(xí)）用描述法表示被5除余2的正整數(shù)組成的集合為_(kāi)_________．【答案】【詳解】∵被5除余2的正整數(shù)可用，來(lái)表示，∴被5除余2的正整數(shù)組成的集合表示為：.故答案為：.考點(diǎn)五已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)例8（2023·河南·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，且，解得，故選：B【對(duì)點(diǎn)演練】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，解得，故選：C考點(diǎn)六已知集合相等求參數(shù)例9（2023河南新鄉(xiāng)高三校開(kāi)學(xué)考）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，則.故實(shí)數(shù)x的取值集合為.故選：B【對(duì)點(diǎn)演練】（2023全國(guó)高三專題練習(xí)）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則______________.【答案】【詳解】要使得有意義，則，由集合，故可得，此時(shí)，故只需或，若，則集合不滿足互異性，故舍去.則只能為.則.故答案為：.考點(diǎn)七集合中的新定義問(wèn)題例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果，，那么稱是的一個(gè)“孤立元”.給定，由的個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______個(gè).【答案】【詳解】由題意可知，由的個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”時(shí)，這三個(gè)元素一定是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，故這樣的集合有：、、、、、，共個(gè).故答案為：.【對(duì)點(diǎn)演練】（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若對(duì)任意，，則稱為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義逐項(xiàng)分析即可.【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，可知，，為“影子關(guān)系”集合，由，得或，當(dāng)時(shí)，，故不是“影子關(guān)系”集合．故選：ABD一、單項(xiàng)選擇題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)集合的含義分別分析四個(gè)選項(xiàng)，A，B，C都不滿足函數(shù)的確定性故排除，D確定，滿足．【詳解】解：A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，故A錯(cuò)誤；B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因?yàn)榉浅＝狞c(diǎn)不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯(cuò)誤；C：很小的實(shí)數(shù)，因?yàn)楹苄〉膶?shí)數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯(cuò)誤；D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．故選：D．2.已知集合A＝{﹣1，1}，下列選項(xiàng)正確的是（）A．1∈A B．{﹣1}∈A C．?∈A D．0∈A【答案】A【解析】1∈A，所以A正確；{﹣1}?A，所以B不正確；??A，所以C不正確；0?A，所以D不正確．故選：A．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】通過(guò)判斷元素與集合的關(guān)系即可得到結(jié)果.【答案】表示實(shí)數(shù)集

，則①正確表示有理數(shù)集

，則②正確表示自然數(shù)集

，則③正確是集合的一個(gè)元素

，則④正確本題正確選項(xiàng)：4、方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為()A.(0,1) B.{(0,1)} C.{0,1} D.【答案】.C【分析】解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，由此能求出方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合【詳解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為．故選：C．5、已知集合，則M的元素個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．7D．8【答案】B【詳解】由題意得：故選：B6.方程組的解組成的集合為（

）A． B．或C．， D．【答案】.D【分析】首先求出方程組的解，再用列舉法表示集合;【詳解】解：由可得或，故方程組的解組成的集合為，故選：D7.已知集合，且，則的值為（）A.－1或 B.－1 C. D.1【答案】C【分析】根據(jù)，分別考慮，注意借助集合元素的互異性進(jìn)行分析.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，當(dāng)時(shí)，或（舍），此時(shí)，滿足條件，綜上可知：的值為.故選：C.8．（2023春·河南開(kāi)封·高一校考階段練習(xí)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的描述法及元素與集合的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若，則B．中最小的元素是0C．的近似值的全體構(gòu)成一個(gè)集合D．一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素【答案】AD【分析】根據(jù)集合的概念及集合中元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】若，則－a也是整數(shù)，即，故A正確；因?yàn)閷?shí)數(shù)集中沒(méi)有最小的元素，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)椤暗慕浦怠辈痪哂写_定性，所以不能構(gòu)成集合，故C錯(cuò)誤；同一集合中的元素是互不相同的，故D正確.故選：AD.10.下列說(shuō)法正確的是（

）A．由所有實(shí)數(shù)組成集合，由立德中學(xué)某班會(huì)運(yùn)動(dòng)的所有學(xué)生組成的集合.均不存在.B．，C．，F(xiàn)E，則可能有4個(gè).D．，用列舉法表示集合E為.【答案】BC【詳解】根據(jù)集合之間的關(guān)系，以及集合的表示方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.對(duì)A：由所有實(shí)數(shù)組成的集合是空集，由立德中學(xué)某班會(huì)運(yùn)動(dòng)的所有學(xué)生組成的集合是，都存在，故錯(cuò)誤；對(duì)：，由5個(gè)2組成的集合，根據(jù)集合中元素的互異性，故，故正確；對(duì)：，因?yàn)镕E，故為含有且是的子集，共有4個(gè)，故正確；對(duì)：，故錯(cuò)誤.故選：.11.已知集合，，則為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【詳解】結(jié)合元素與集合的關(guān)系，集合元素的互異性來(lái)求得的值.依題意，當(dāng)時(shí)，或，若，則，符合題意；若，則，對(duì)于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.當(dāng)時(shí)，或，若，則，對(duì)于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.若，則，符合題意.綜上所述，的值為或.故選：BC填空題12.已知集合A={x|x為不超過(guò)4的自然數(shù)}，用列舉法表示A=．【答案】.{0，1，2，3，4}【詳解】 解：滿足x為不超過(guò)4的自然數(shù)有0，1，2，3，4．故A={0，1，2，3，4}．故答案為：{0，1，2，3，4}．13.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則__________.【答案】1【詳解】解：由題意，所以，即，所以，解得，當(dāng)時(shí)，與元素互異性矛盾，舍去，時(shí)，兩個(gè)集合為．滿足題意．所以．故答案為：1．14、若，且，則a的取值范圍為．【答案】【詳解】∵，∴，得．15、.設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b∈P，都有a+b、ab、ab、∈P（除數(shù)b≠0）,則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集F={a+b|a,b∈Q}也是數(shù)域.有下列命題:①整數(shù)集是數(shù)域;②若有理數(shù)集QM,則數(shù)集M必為數(shù)域;▲.(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)【答案】③④【詳解】對(duì)于命題①，因當(dāng)時(shí)，，所以命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，如，則，所以命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，設(shè)數(shù)域P,a∈P,b∈P(假設(shè)a≠0),則a+b∈P,則a+(a+b)=2a+b∈P,同理na+b∈P,n∈N,故數(shù)域必為無(wú)限集，所以命題③正確；對(duì)于命題