我的矩陣分析總結(jié)

矩陣分析期末復(fù)習(xí)判斷一個(gè)集合是否為線性空間只需要驗(yàn)證2條：加法封閉性；乘法封閉性例：1）2）3)判斷一組基是否為標(biāo)準(zhǔn)正交基驗(yàn)證2條：各個(gè)向量的模是否為1；兩兩向量?jī)?nèi)積是否為0例：a1=(0,1,0)，a2=(12,0,12)，a3=(12,0,構(gòu)成R3的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，因?yàn)椋簗a1|=|a2|=|a3|=1<a1,a2>=<a1,a3>=<a2,a3>=0求一個(gè)線性變換的核T-1（0）、象集T(V)例：(1)證明T(x1,x2,…,xn)=(0,x1,x2,…,xn-1)是線性空間Pn的線性變換且Tn=0(零變換).(2)求T的核T-1（0）的維數(shù)、象集T(V)的維數(shù)證明：由線性變換的定義，易證T是線性變換，又因T2(x1,x2,…,xn)=T(0,x1,x2,…,xn-1)=(0,0,x1,x2,…,xn-2)…=Tn(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0)即Tn=0（零變換）若T(x1,x2,…,xn)=(0,x1,x2,…,xn-1)=(0,0,…,0)則x1=x2=…=xn-1=0.即T-1（0）為由一切形如(0,0,…,xn)的向量構(gòu)成的子空間，它是一維子空間，(0,0,…,1)是它的基。用最小二乘法解方程組例：用最小二乘法解下列方程組x1+x2=1x1+x3=2x1+x2+x3=0x1+2x2–x3=-1解：系數(shù)矩陣A=11110101112利用公式ATAX=ATB，有ATAX=44461-11-13x1x2于是求得最小二乘解為：x1=176,x2=-136,x3=求矩陣的史密斯標(biāo)準(zhǔn)型初等行、列變換例：求多項(xiàng)式矩陣A(

λ

)=0λλ（答案：d1(λ)=1，d2(λ)=λ，d3(λ)=λ(λ-1)(λ-2)求矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形例：求矩陣A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，其中A=-1step1:先求矩陣A的史密斯標(biāo)準(zhǔn)形;step2:再寫(xiě)出不變因子、初級(jí)因子，令初級(jí)因子等于0，求解;step3:最后寫(xiě)出約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.判斷一個(gè)矩陣級(jí)數(shù)是否收斂方法一：用矩陣的譜半徑來(lái)判斷方法二：當(dāng)譜半徑失效時(shí)，用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)判斷求帶參數(shù)的矩陣函數(shù)向量的范數(shù)、矩陣的范數(shù)向量的范數(shù)：例：x=(1,-2,3)T║x║1=|1|+|-2|+|3|=1+2+3=6║x║2=(|1|2+|-2|2+|3|2)1/2=(1+4+9)1/2=√14║x║∞=max(|1|,|-2|,|3|)=max(1,2,3)=3矩陣的范數(shù)：例：A=1║A║1=max(|1|+|-1|+|0|,|2|+|2|+|1|,|0|+|-1|+|1|)=max(2,5,2)=5列和范數(shù)║A║∞=max(|1|+|2|+|0|,|-1|+|2|+|-1|,|0|+|1|+|1|)=max(3,4,2)=4行和范數(shù)║A║2=max√λ(AHA)AHA=1-12201特征方程為：λE-AHA=λ-2得λ1=9.1428，λ2=2.9211,λ3=0.9361所以║A║2=√║A║F=(12+22+0+(-1)2+22+(-1)2+0+12+12)=1+4+1+4+1+1+1=13利用蓋爾圓盤(pán)定理求特征值的取值范圍例：估計(jì)矩陣A=10.10.53解：圓盤(pán)定理所指的四個(gè)圓盤(pán)為：|z-1|≤0.1+0.2+0.3=0.6|z-3|≤0.5+0.1+0.2=