江蘇省蘇州市常熟市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)生暑期自主學(xué)習(xí)調(diào)查數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

學(xué)生暑期自主學(xué)習(xí)調(diào)查高二數(shù)學(xué)2023.09注意事項(xiàng)：學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本卷共4頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題～第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）.本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卷交回.2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置.3.請?jiān)诖痤}卷上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.4.請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.2.已知命題，則的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含有量詞的命題否定方法來求解.【詳解】因?yàn)槊}，所以的否定是.故選：D.3.在空間中，l，m是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系及判定方法求解.【詳解】若，，，則或異面，故A錯(cuò)誤；若，，則或，故B錯(cuò)誤；若，，，可能有，故C錯(cuò)誤；若，，則，又，則，故D正確，故選：D.4.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合特殊值，即可判斷函數(shù)圖象.【詳解】設(shè)，則，故為上的偶函數(shù)，故排除B．又，，排除C、D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圖象識(shí)別，注意從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)等方面去判斷，本題屬于中檔題.5.在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉(zhuǎn)化為、即可.【詳解】.故選：D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，利用差角公式求解答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?故選：A.7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上，兩點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，且在點(diǎn)的同側(cè).若在，處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且，則該球體建筑物的高度約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合正弦的二倍角公式、輔助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)球的半徑為，則，，，所以故選：B8.在四面體中，已知二面角為直二面角，，，，設(shè).若滿足條件的四面體有兩個(gè)，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取中點(diǎn)為，連接，由直二面角可得平面，，結(jié)合余弦定理與勾股定理可得，根據(jù)四面體有兩個(gè)，結(jié)合二次函數(shù)根的分布即可求得t的取值范圍.【詳解】取中點(diǎn)為，連接因?yàn)椋?，為中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槠矫?，又二面角是直二面角，所以平面，又平面，所以在中，，由余弦定理得：又所以，即設(shè)，即，滿足條件的四面體有兩個(gè)，所以有兩個(gè)正根，所以，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)或不選的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是（）A.B.C.若，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn).已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的幾何意義逐一判斷即可.【詳解】A：，本選項(xiàng)正確；B：因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，所以本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為3的圓，因此本選項(xiàng)正確，故選：AD10.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為6”，則（）A.甲與乙是對立事件 B.甲與乙是互斥事件C.丙與丁相互獨(dú)立 D.甲與丁相互獨(dú)立【答案】BD【解析】【分析】先求出事件對應(yīng)的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否為1判斷A、B選項(xiàng)，再由獨(dú)立事件的概率公式判斷C、D選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁事件分別對應(yīng)，則，，丁包含的基本事件有，則，，；對于A、B，顯然甲乙事件不能同時(shí)發(fā)生，又，則A錯(cuò)誤；B正確；對于C，，則，則C錯(cuò)誤；對于D，，則，D正確.故選：BD.11.若定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.為偶函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞增 D.的最小正周期【答案】ABD【解析】【分析】由可得函數(shù)圖象關(guān)于對稱，通過圖象的平移判斷選項(xiàng)A正確；由函數(shù)為奇函數(shù)結(jié)合，可得函數(shù)的周期為，判斷選項(xiàng)D正確；由時(shí)，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和對稱性，可得函數(shù)的單調(diào)性，判斷出B正確，C錯(cuò)誤．【詳解】由得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位長度得到的，所以函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；由得，所以，的最小正周期為，故D正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，且，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈淖钚≌芷冢栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD12.如圖，若正方體的棱長為2，點(diǎn)是正方體在側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值 B.四棱錐外接球的半徑為C.若，則的最大值為 D.若，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】求出的體積，即可判斷A，由正方體的性質(zhì)可得四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則四棱錐外接球的球心在直線上，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可判斷B，過點(diǎn)作，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，即可證明平面，從而得到點(diǎn)的軌跡是線段，再求出的最值，即可判斷C、D.【詳解】對于A：三棱錐的體積為，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以的面積是定值，且點(diǎn)到平面距離是正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B：由正方體的性質(zhì)可得四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則平面，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，，，所以，在中，，即，解得，故B正確；對于C：過點(diǎn)作，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)榍?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，又，所以點(diǎn)的軌跡是線段，在中，，，，所以的最大值為，此時(shí)與重合，故C錯(cuò)誤；對于D：在中，，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以的最小值為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：______.【答案】11【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算求解作答.【詳解】.故答案為：1114.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則這個(gè)圓錐表面積為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，扇形的弧長為，利用弧長公式、圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，扇形的弧長為，因?yàn)?，所以，所以?故答案為：.15.寫出一個(gè)定義域不是R，但值域是R奇函數(shù)f(x)=___.【答案】tanx（答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根據(jù)所學(xué)函數(shù)合理構(gòu)造選擇即可.【詳解】由正切函數(shù)性質(zhì)可知滿足條件，即.故答案為：(答案不唯一)16.在銳角三角形ABC中，已知，則______，的最小值是______.【答案】①.3②.##【解析】【分析】先由正弦定理化角為邊，再用余弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換可得；利用，得出，結(jié)合基本不等式求得最小值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，從而，則，所以，即有，即.，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：3，.四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知復(fù)數(shù).（1）若在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍；（2）若為純虛數(shù)，設(shè)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限的特征進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)線純虛數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則、投影向量的定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)位于第二象限，所以，解得.所以的取值范圍為；【小問2詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以，所以，，∴點(diǎn)，.所以.即向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.18.某企業(yè)為了深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，組織全體120位黨員開展“學(xué)習(xí)二十大，爭當(dāng)領(lǐng)學(xué)人”黨史知識(shí)競賽，所有黨員的成績均在內(nèi)，成績分成5組，按照下面分組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示，按比例分配的分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人作為企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；（2）若從6位宣傳使者中隨機(jī)選取兩人參加宣傳活動(dòng)，求第3組中至多有一人被選中的概率．【答案】（1）92.5（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出小于90分的黨員成績所占比例，可得黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)可得答案；（2）按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)，將第3組三位黨員編為A，B，C，其他組三位黨員編為D，E，F(xiàn)，用，表示兩位黨員，則可以用表示隨機(jī)選取兩人的組合，用列舉法可得答案．【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，小于90分的黨員成績所占比例為，所以黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)，由，可以估計(jì)黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92.5；【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，第3，4，5組黨員人數(shù)的比例為，按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)為人．將第3組三位黨員編為A，B，C，其他組三位黨員編為D，E，F(xiàn)，用，表示兩位黨員，則可以用表示隨機(jī)選取兩人的組合，設(shè)事件“從宣傳使者中隨機(jī)選取兩人，第3組中至多有一人被選中”，試驗(yàn)的樣本空間，，所以，從而．19.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和.【答案】（1），單調(diào)減區(qū)間為.（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡可得，再函數(shù)性質(zhì)可求得解析式，根據(jù)整體代換可求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由三角函數(shù)平移規(guī)則可知，再根據(jù)三角函數(shù)值域以及方程的根可求出方程的所有根之和為.【小問1詳解】由題意可知，函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以可得，，又，解得因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，可得周期，由可得.故函數(shù).令，可得單調(diào)減區(qū)間為，.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù).由方程得或，即或（舍）當(dāng)時(shí)，，所以或或或；即方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為；可得.所以，故所有根之和為.20.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【小問1詳解】方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.【小問2詳解】方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.21.如圖，四棱錐中，平面，，，且，，.（1）求證：；（2）已知為線段上一點(diǎn)，若與平面所成角的正切值為，試確定點(diǎn)位置；并求此時(shí)二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）為的中點(diǎn)，【解析】【小問1詳解】因?yàn)?，，，，所以四邊形是直角梯形，且，，故，?又平面，平面，