【數(shù)學課件】直線的傾斜角與斜率（2課時） 2023-2024學年高二上學期人教A版（2019）選擇性必修第一冊

引

入解析幾何勒奈·笛卡爾（1596-1650）：法國數(shù)學家、科學家和哲學家皮埃爾·德·費馬（1601-1665），法國律師和業(yè)余數(shù)學家坐標系點數(shù)(有序數(shù)對或數(shù)組)幾何代數(shù)曲線(點的軌跡)的方程研究幾何圖形性質(zhì)代數(shù)方法直線直線的方程幾何要素圓的方程解決實際問題圓平面直角坐標系代數(shù)方法數(shù)形結(jié)合思想以坐標系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法.幾何圖形代數(shù)表示由形到數(shù)由數(shù)到形解析幾何基本思想平面幾何中點是構成直線的基本元素．本節(jié)我們首先在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素.坐標點平面直角坐標系如何用坐標表示直線呢？2.1.1傾斜角與斜率Q1：如何確定一條直線的位置？兩點可確定一條直線一點和一個方向可確定一條直線Q2：過一點可作多少條直線？它們組成一個直線束，這些直線的區(qū)別是什么？直線方向不同

直線的傾斜程度不同直線的傾斜角不同表示“形”Q3：怎樣描述這種“傾斜程度”的不同?1.直線的傾斜角（1）定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.規(guī)定：當直線l和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0°（2）范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為[0°，180°).xyoαlQ4：任何一條直線都有唯一確定的傾斜角與它對應嗎？Oyxl1α1l2l3α2α3每一個傾斜角都對應于唯一的一條直線嗎?直線l唯一傾斜角α方向相同的直線(平行或重合)傾斜角α結(jié)論：（3）方向相同的直線，傾斜角相同2.直線的斜率OyxαOyxαα??探究

在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α，P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）是直線l上兩點,α與P1,P2的坐標有關系嗎？(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P的坐標有什么關系?(2)如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標又有什么關系?（3）在平面直角坐標系中，如果直線l經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α與P1,P2的坐標有關系嗎？追問

當直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎?為什么?定義：把一條直線的傾斜角α的正切值tanα叫做這條直線的斜率，常用k表示.α的范圍k的范圍k=0k>0k不存在k<0與x軸垂直與x軸平行或重合直線的傾斜角越大，斜率越大(

)α為銳角時，α越大，斜率越大，k由0變化到+∞；α為鈍角時，α越大，斜率越大，k由-∞變化到0；所有的直線都有傾斜角；但不是所有直線都有斜率.2.2直線的斜率——兩點坐標基礎練習——傾斜角與斜率的關系3.典型例題例1如圖示,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2

O2.1.2兩條直線平行和垂直的判定復習回顧4.斜率與方向向量1.傾斜角直線的確定：一個點和一個方向確定一條直線.xoαl2.斜率：方向向量直線的方向3.斜率公式：傾斜角與斜率的對應關系k=tanα(α≠90°).（x1≠x2）方向向量的坐標（x，y)數(shù)直線相對于x軸的傾斜程度轉(zhuǎn)化幾何問題代數(shù)問題直線的位置關系？Oyx1.當斜率存在時,設直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則有若沒有特別說明，說“兩條直線l1,l2”時，指兩條不重合的直線.3.若直線l1,l2重合，此時仍然有k1=k2.用斜率證明三點共線時，常常用到這個結(jié)論.2.當斜率不存在時,它們的傾斜角都為90°,顯然有l(wèi)1//l2.1.兩條直線平行的判定l1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2???條件：兩條直線不重合且都有斜率題型點撥——用斜率關系判斷直線的位置關系或形狀先畫圖預判再用斜率驗證例2.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結(jié)論.例3.已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.練習1.若三點A(2,1)，B(﹣2，m)，C(6,8)在同一條直線上，則m的值為______．1.兩條直線垂直的判定問題

2

當兩條直線相交時,它們的斜率有何關系？不相等相交追問

在相交關系中,垂直是最特殊的情形,當直線l1,

l2垂直時,它們的斜率是否還有特殊的數(shù)量關系?Oyx└設兩條直線l1,

l2的斜率分別為k1,

k2,則直線l1,

l2的方向向量分別是,于是也就是說如果兩條直線都有斜率,注：(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的條件是兩條直線的斜率都存在.(2)當直線l1或l2的傾斜角為90°時,若l1⊥l2,則另一條直線的傾斜角為0°;反之亦然.(3)當兩條直線的斜率都存在時，若有兩條直線的垂直關系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜率.如果兩條直線都有斜率,題型點撥——用斜率關系判斷直線的位置關系或形狀先畫圖預判再用斜率驗證例4.已知A(一6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,—6),試判斷直線AB與PQ的位置關系.例5.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三點，試判斷△ABC的形狀.練習2.已知定點A(-1,3)，B(4,2)，以AB為直徑作圓，與x軸有交點P，則交點P的坐標是

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題型點撥——用斜率關系判斷直線的位置關系或形狀先畫圖預判再用斜率驗證練習3.已知矩形ABCD的三個頂點的坐標分別為A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，則第四個頂點D的坐標為________．Oyx1.當斜率存在時,設直線l1,l2