空間向量基本定理（原題卷）

空間向量基本定理1、了解空間向量基本定理及其意義.2、會(huì)用基底表示空間向量3、掌握空間向量的正交分解．4、掌握用基向量解決立體幾何中簡(jiǎn)單問(wèn)題的通法重點(diǎn)：掌握空間向量基本定理難點(diǎn)：用空間向量基本定理解決有關(guān)問(wèn)題.閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容?！締?wèn)題】觀察如圖所示的平行六面體，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，請(qǐng)運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算知識(shí)，用a，b，c表示向量eq\o(AC1,\s\up6(→))，表示唯一嗎？此時(shí)這三個(gè)向量a，b，c共面嗎？知識(shí)點(diǎn)一空間向量基本定理(1)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.(2)基底：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc,x，y，z∈R}．這個(gè)集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．【探究1】空間中怎樣的向量能構(gòu)成基底？【探究2】基底與基向量的概念有什么不同？【探究3】空間的基底唯一嗎？【探究4】為什么空間向量基本定理中x，y，z是唯一的？1.空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.2.由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面,所以若三個(gè)向量不共面,就說(shuō)明它們都不是零向量.判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)空間向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空間向量的一個(gè)基底,則a,b,c均為非零向量.()(3)已知A,B,M,N是空間四點(diǎn),若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則A,B,M,N共面.()(4)若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.()知識(shí)點(diǎn)二空間向量的正交分解知識(shí)點(diǎn)2正交分解【思考】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，向量e1、e2、e3分別為棱AB、AD、AD1上的單位向量，{e1，e2，e3}能不能作為空間的一個(gè)基底？你能用向量e1、e2、e3表示向量eq\o(AB1,\s\up6(→))嗎？(1)單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：把一個(gè)空間向量分解為的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．知識(shí)點(diǎn)三用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立考點(diǎn)一空間向量基底的概念例1（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)演練】1、（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，是不共面的三個(gè)向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2.（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（

）A． B． C． D．3.（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二空間向量基底的運(yùn)用例2（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)演練】1、（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2、（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二期中）在四棱柱中，，，則（

）A． B．C． D．3、（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B． C． D．4、（2022·江蘇連云港·高二期中）在正方體中，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三空間向量的正交分解例3．（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是空間的一個(gè)單位正交基底，且向量，是空間的另一個(gè)基底，則用該基底表示向量____________.【對(duì)點(diǎn)演練】1、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，向量在基底下的表示為2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，______．3.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題例4（2023·廣東中山·高二?？茧A段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且，，，(1)求（用向量表示）；(2)求證：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·廣東廣州·高二廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．一、選擇題1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．32.（2023·江蘇連云港·高二江蘇省新海高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．3.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，E是MN的三等分點(diǎn)，且，用向量表示為（

）A． B．C． D．4．（2023·浙江寧波·高二余姚中學(xué)校考期中）已知向量，，是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，，是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在，，下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（多選）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．7、（多選）（2022·福建福州·高二期中）如圖，在平行六面體中，，，．若，，則（

）A． B．C．A，P，三點(diǎn)共線 D．A，P，M，D四點(diǎn)共面8．（多選）（2021·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且（，），則，的值可能為（

）A．， B．， C．， D．，9．（多選）（2022·浙江寧波·高二期末）若，，是三個(gè)不共面的單位向量，且兩兩夾角均為，則（

）A．的取值范圍是B．能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C．“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件D．二、填空題10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正方體中，點(diǎn)是上底面的中心，若，則___________.11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）四面體OABC的所有棱長(zhǎng)都等于，E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點(diǎn)，則___________.三、解答題12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A?B?C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn).(1)若，判斷??三個(gè)向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；(2)若，判斷M是否在平面ABC上；