數(shù)學(xué)大觀 教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)大觀》教學(xué)大綱第一章數(shù)學(xué)愛(ài)我們簡(jiǎn)介課程指導(dǎo)思想：展示數(shù)學(xué)的魅力與威力.能力點(diǎn):通過(guò)有招(講故事)學(xué)無(wú)招(思想),無(wú)招(思想)指揮有招(算法).課程目的簡(jiǎn)介本課程的學(xué)習(xí)目引起對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好,減少對(duì)數(shù)學(xué)的仇恨,對(duì)數(shù)學(xué)思想有所理解.強(qiáng)調(diào)idea(思想),不追求technique(算法細(xì)節(jié)).標(biāo)和指導(dǎo)思想數(shù)學(xué)愛(ài)我們無(wú)招(idea)勝有招(technique),通過(guò)有招(講故事)學(xué)無(wú)招(思想措施).故事:

設(shè)計(jì)幻方.

從文字幻方開(kāi)始:

5行5列方格表中第一行填“我,們,愛(ài),數(shù),學(xué)”,后來(lái)每行仍是這5個(gè)字的排列,每列、每條對(duì)角線也是.將5個(gè)字換成0,1,2,3,4這5個(gè)不一樣數(shù)字,則每行每列每條對(duì)角線各數(shù)和相等。兩張滿足同樣規(guī)定的不一樣的表,第一張乘5加第二張表,再同加1就得到5階幻方.

類似可得3階幻方.運(yùn)算律巧算24用5,5,5,1通過(guò)加減乘除算24.

死湊難奏效,由5x5-1=24左邊恒等變形得到對(duì)的等式

5x(5-1/5)=24.

能力點(diǎn):運(yùn)算律的應(yīng)用.

歐幾里得由少數(shù)簡(jiǎn)樸公理推出復(fù)雜豐富的幾何學(xué).

代數(shù)學(xué)由更少數(shù)簡(jiǎn)樸公理推出,運(yùn)算律就是代數(shù)公理。未知算已知算術(shù)應(yīng)用題:

大人小孩共100人吃100個(gè)饅頭,大人每人吃3個(gè),小孩每3人吃1個(gè),大人小孩各多少?

小學(xué)算術(shù)只能由已知算未知，因此很困難.

初中可以不需要懂得大人小孩人數(shù),只要各設(shè)為x,y,就可由x,y算出總?cè)藬?shù)x+y=100和饅頭數(shù)3x+y/3=100.為何可以將已知未知混為一談?

由于它們的算法相似.

并且運(yùn)算律相似，因此可以對(duì)方程同解變形求出解來(lái).

天上掉下余弦定理為何不一樣數(shù)值a,b滿足同一種平方公式(a-b)^2=a^2+b^2-2ab?由于它們滿足同樣的運(yùn)算律.

a,b換成向量仍然滿足同樣的運(yùn)算律,平方公式仍然成立，這就是余弦定理,當(dāng)a,b垂直時(shí)ab=0,就是勾股定理.

還可以將a,b再換成n數(shù)組向量,也滿足同樣的運(yùn)算律，因此勾股定理可以推廣到n數(shù)組向量.余弦不小于1也可以推廣，就是柯西不等式.橢圓面積也簡(jiǎn)樸計(jì)算橢圓面積需要用到積分,還要進(jìn)行變量替代.

不過(guò),只要將橢圓的半短軸b拉長(zhǎng)到與半長(zhǎng)軸a相等,將橢圓拉成圓,就能由圓面積公式算出橢圓面積了.

怎樣拉長(zhǎng)?

將每個(gè)點(diǎn)(x,y)的橫坐標(biāo)x不變,縱坐標(biāo)y乘a/b,橢圓就拉成半徑為

a的圓,面積變成pa^2.

拉長(zhǎng)過(guò)程中面積擴(kuò)大倍數(shù)為a/b,再乘b/a壓縮回去就得到橢圓面積pab.

還可由圓內(nèi)接n邊形最大面積得到橢圓內(nèi)接n邊形最大面積。第二章七十二行任縱橫-數(shù)學(xué)聊齋數(shù)學(xué)聊齋通過(guò)生活中的故事闡明其中的數(shù)學(xué)原理、思想和措施.音樂(lè)美術(shù)體育旅游餐飲，生活的方方面面均有數(shù)學(xué)，培養(yǎng)透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,理論聯(lián)絡(luò)實(shí)際的能力.音調(diào)中的等比數(shù)列音階1,2,...,7,i中各音的頻率怎么算?

從1到高八度的i,頻率f升高1倍到2f.

通過(guò)12個(gè)“臺(tái)階”(包括白鍵黑鍵),共升高12個(gè)半音,

頻率構(gòu)成等比數(shù)列,

公比q等于2的12次方根.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可以算出各音的頻率。這叫做十二平均律.還可運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件按照算出的頻率將各個(gè)音播放出來(lái)，甚至可以構(gòu)成樂(lè)曲,讓你聽(tīng)聽(tīng)數(shù)學(xué)的美妙聲音.怎樣模擬不一樣樂(lè)器的聲音不一樣樂(lè)器發(fā)出的聲音的不一樣音色由不一樣波形決定,由不一樣頻率f,2f,3f,...的正弦波(Ak)sin(kf+tk)按不一樣強(qiáng)弱(由振幅Ak決定)合成.變化各頻率正弦波的強(qiáng)弱比例

(A1,A2,...,Ak,...),就變化了波形從而變化了音色.

將周期函數(shù)(波)分解為不一樣強(qiáng)弱比例的正弦波的合成,數(shù)學(xué)上稱為傅里葉級(jí)數(shù).美術(shù)中的數(shù)學(xué)課堂展示兩張照片,一張是地面的平行隊(duì)列在照片上相交,另一張是臺(tái)燈在墻上的光影邊緣曲線.

為何地面上的平行線在照片上相交?

地面的圖形到照片上圖形的映射是以鏡頭為中心的中心投影.

研究中心投影的幾何稱為射影幾何.

由于地面與照片不平行,平行線變成相交.

臺(tái)燈由燈罩內(nèi)發(fā)出的光束是圓錐，墻是平面，光影邊緣就是平面截圓錐得到的雙曲線，也是燈罩下沿的圓在燈光下的中心投影.佛光中的多媒體教學(xué)峨眉山最精彩也最難看到的景色是佛光。站在舍身崖懸崖往下看,假如天上有太陽(yáng),崖下有云,云的高度合適，出現(xiàn)彩色光環(huán),就是佛光.

假如云層太高或太矮,都看不見(jiàn)佛光.不過(guò)，假如云從太矮持續(xù)上升到太高,途中就有一點(diǎn)恰到好處.

這就是數(shù)學(xué)上的持續(xù)函數(shù)介值定理.

一朵朵云持續(xù)往上升,佛光一次次地出現(xiàn)，象是普賢菩薩在進(jìn)行多媒體教學(xué),教學(xué)內(nèi)容就是持續(xù)函數(shù)定理.足球的圓與方足球的勝敗有偶爾性，弱隊(duì)可以戰(zhàn)勝?gòu)?qiáng)隊(duì),因此“足球是圓的”.

然而，偶爾性不是沒(méi)有規(guī)律,沒(méi)有強(qiáng)弱.

弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝?gòu)?qiáng)隊(duì)只是少數(shù)情形,多數(shù)情形還是強(qiáng)隊(duì)勝弱隊(duì),可見(jiàn)“足球也是方的”.我國(guó)的嫦娥號(hào)飛船登月,專家在每一階段都預(yù)見(jiàn)了出現(xiàn)事故的概率,采用措施努力防止事故，最終成果是百分之百成功.假如一開(kāi)始就認(rèn)定百分之百?zèng)]有問(wèn)題,就增大了出事故的概率.邯鄲農(nóng)行案邯鄲農(nóng)業(yè)銀行兩個(gè)工作人員挪用國(guó)家資金買(mǎi)體育彩票,血本無(wú)歸逃跑，被抓回來(lái)判了死刑.

臨死之前還覺(jué)得買(mǎi)了諸多張彩票持續(xù)不中獎(jiǎng)“太令人意外”.我由此想到如下數(shù)學(xué)題：假如中獎(jiǎng)率10%,如下哪件事概率大：(1)

買(mǎi)一張就中獎(jiǎng).

(2)

持續(xù)買(mǎi)20張全不中.

計(jì)算措施很簡(jiǎn)樸,成果也會(huì)“太令人意外”.

深入計(jì)算:中獎(jiǎng)率千分之一，連買(mǎi)張不中獎(jiǎng),

算出概率成果與e=2.71828...有關(guān),也令人意外.行李箱密碼失而復(fù)得一位同事無(wú)意中把行李箱密碼搞亂了,問(wèn)需要試多少次才能重新找回密碼.

我說(shuō),你只是不小心搞亂，一定改得不多,

很也許只改一位,只要試30次.

她試了10次就找回了,說(shuō)本來(lái)密碼是000，改成900了.我說(shuō):看來(lái)不僅只改一位,很也許只改一格（加1或減1)，只要試6次就行了.總之，離本來(lái)密碼越近的概率越大,按照概率從大到小的次序試驗(yàn),反正不需要試1000次.千手觀音幾只手重慶大足石刻千手觀音真有近千只手,姿態(tài)方向各異,難以排序數(shù)清.

古代一位工匠想了一種絕妙措施：每只手貼一張金箔紙,同步在竹簽桶里放一支竹簽.所有的手都貼上金箔紙了,再數(shù)竹簽有1007支,因此手有1007只.

工匠的措施就是建立一一對(duì)應(yīng)：手與金箔一一對(duì)應(yīng)，金箔與竹簽一一對(duì)應(yīng)，一一對(duì)應(yīng)的集合元素同樣多.由此可以講整數(shù)集合與偶數(shù)集合及有理數(shù)集合一一對(duì)應(yīng)，與實(shí)數(shù)集合不也許對(duì)應(yīng).人擠成照片之維數(shù)變化與俄羅斯代數(shù)學(xué)家共進(jìn)晚餐,問(wèn)他吃什么主食,rice

or

noodle.

他聽(tīng)不懂noodle,我解釋:

noodle

is

1-dimensional.立即就懂了.重慶人描述公共汽車(chē)擁擠：把人都擠成照片了.

三維擠成二維，體積擠成0.代數(shù)課舉這兩個(gè)例子講維數(shù).還用來(lái)講行列式：三階行列式是平行六面體體積.

假如兩列相等，兩條棱重疊,也擠成照片，行列式當(dāng)然為0.幾把尺子量乾坤平面向量雖然無(wú)窮多,

但可以寫(xiě)成兩把尺子e1(往東一米)和e2(往北一米)常數(shù)倍之和a=xe1+ye2,量出兩個(gè)數(shù)構(gòu)成坐標(biāo)(x,y)代表a.

因此是“兩把尺子量天下”.空間向量增長(zhǎng)一把尺子e3(往上1米),三把尺子量乾坤.

兩把尺子量出2維空間,三把尺子量出三維空間.

兔子數(shù)列(斐波那契數(shù)列)可以分解為兩個(gè)等比數(shù)列之和來(lái)求通項(xiàng)公式，兩個(gè)等比數(shù)列作為兩把尺子量兔子數(shù)列.明星做廣告與非歐幾何明星做廣告的產(chǎn)品有時(shí)候會(huì)被揭發(fā)為假冒偽劣.

明星或他們的代言人就會(huì)辯解.

`“明星不是萬(wàn)能的,不也許鑒別這些產(chǎn)品，不應(yīng)當(dāng)承擔(dān)責(zé)任?！辈贿^(guò),當(dāng)明星做廣告的時(shí)候,為何不說(shuō)自己不是萬(wàn)能，反而努力讓人相信自己萬(wàn)能，并且因“萬(wàn)能”而獲得了巨額酬金，同理可證他們應(yīng)當(dāng)因“萬(wàn)能”而承擔(dān)責(zé)任賠償損失。這是最基本的邏輯。按照同樣的邏輯，可以讓你對(duì)深?yuàn)W難懂的非歐幾何有所理解。非歐幾何有矛盾嗎歐幾里得將復(fù)雜的幾何歸結(jié)為少數(shù)顯然的公理。其中一條公理（平行公理）不夠顯然：平面上過(guò)已知直線a外一點(diǎn)P只能作一條直線b與a不相交。有人企圖用反證法證明這個(gè)結(jié)論，假定過(guò)P有兩條直線與a不相交，推出了諸多看似荒唐但并不矛盾的結(jié)論。沒(méi)推出矛盾，不等于沒(méi)有矛盾。

終于證明了：只要?dú)W氏幾何無(wú)矛盾，非歐幾何也無(wú)矛盾，兩者同生同死。我們還用一首詩(shī)簡(jiǎn)介了另一種非歐幾何--球面幾何。第三章凌波微步微積分加減乘除算正弦兩首詩(shī)講微分學(xué).

一首詩(shī)《微分》說(shuō)：“函數(shù)千千萬(wàn)萬(wàn)，一次最簡(jiǎn)樸”.

舉的例子是用一次函數(shù)x近似替代sinx,一次項(xiàng)x就是微分,一次項(xiàng)系數(shù)1就是導(dǎo)數(shù).其實(shí)就是用弦長(zhǎng)2sinx近似替代弧長(zhǎng)2x,劉徽割圓早就做過(guò)的.

假如x比較大,就用更高次的多項(xiàng)式x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-...替代sinx,靠升高次數(shù)減少誤差，這就是《泰勒展開(kāi)》詩(shī)所說(shuō)：“我有乘除加減,翱翔天地間”，多項(xiàng)式只算加減乘除。圓周率引出的積分學(xué)在區(qū)間[0,1]上計(jì)算曲線y=(1-x^2)^{1/2}與x軸之間的面積,就是圓周率的1/4.將區(qū)間[0,1]提成諸多小段,每小段上函數(shù)值近似當(dāng)作不變,這就是《定積分》詩(shī)說(shuō)的“平平淡淡分秒”，加起來(lái)就得到高下不平的圓弧下方的面積，就是詩(shī)中所說(shuō)“編制百味人生”.將函數(shù)當(dāng)作速度，積分就是旅程.另一首詩(shī)“量天何須苦登高”說(shuō)不必苦苦編制旅程，而是找一種函數(shù)求導(dǎo)等于速度，就是原函數(shù).三次方程變一次把解三次方程x^3+x-3=0作為微積分的導(dǎo)航.

能否將三次項(xiàng)x^3直接砍掉,變成一次方程x-3=0來(lái)求解?

想法近乎瘋狂，卻有合理的成分：假如|x|<1，|x^3|比|x|小得多,就可以砍掉.發(fā)現(xiàn)

1<X<U<p>多項(xiàng)式迫近函數(shù)第3.1節(jié)已經(jīng)給出了多項(xiàng)式T(x)迫近sinx,但沒(méi)有講T(x)怎樣算出來(lái).為了估計(jì)用x近似替代sinx的誤差e(x)=x-sinx,求導(dǎo)數(shù)e(x)’=1-cosx=2[sin(x/2)]^2<

(x^2)/2,不等式兩邊求原函數(shù)得x-sinx=e(x)sinx>x-x^3/6.

由sin(x/2)約等于x/2還可得sinx約等于x-x^3/6.

對(duì)x-sinx多次求導(dǎo)可得到更高次數(shù)的T(x).舍近求遠(yuǎn)大智慧光的直線傳播和反射定律都是走的旅程最短的路線，折射卻舍近求遠(yuǎn)，不走直線走折線.

是不是光聰穎一時(shí)糊涂一時(shí),碰到水就腦袋進(jìn)水變傻了?

否則,光在空氣中速度高,水中速度低,在速度高的空氣中多走一段，速度低的水中少走一段,多走了旅程卻節(jié)省了時(shí)間.

怎樣的路線最省時(shí)間?

列出算式求導(dǎo).這是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最小值的經(jīng)典例子.蜜蜂勝過(guò)數(shù)學(xué)家大自然萬(wàn)物爭(zhēng)優(yōu)各顯神通.光線選擇最省時(shí)間的路線，露珠形成表面積最小的球形，蜜蜂建造蜂房選擇最省建筑材料的形狀和角度.

列出函數(shù)式可以在容積不變的前提下求出表面積最小的角度，既可以用微分學(xué)求導(dǎo),也可以用中學(xué)知識(shí)通過(guò)一元二次方程有實(shí)根的鑒別式來(lái)求最小值.歷史上數(shù)學(xué)家第一次算出來(lái)的答案與蜜蜂只差2’,后來(lái)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)用表不夠精確差了2‘，蜜蜂完全對(duì)的.

第四章代數(shù)與信息安全小學(xué)算術(shù)中的費(fèi)馬定理1/7化成無(wú)限循環(huán)小數(shù)a=0.142857...的循環(huán)節(jié)D=142857有奇妙的性質(zhì)。分?jǐn)?shù)1/p化成的小數(shù)“a是循環(huán)小數(shù)”描述為：小數(shù)點(diǎn)右移d位得到的新的小數(shù)部分與移動(dòng)之前相似，翻譯為代數(shù)運(yùn)算：10^da-a=(10^d-1)/p=D是整數(shù)，也就是循環(huán)節(jié)。循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度d就是使10^d被p除余1的最小正整數(shù)。按照費(fèi)馬小定理，當(dāng)素?cái)?shù)p不整除10時(shí)，10^{p-1}被p除余1，循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度d是p-1的因子。循環(huán)節(jié)中的群論在整數(shù)除以n的n個(gè)余數(shù){0,1,2,...,n-1}構(gòu)成的集合Z_n中定義加減乘法：按一般整數(shù)計(jì)算和差積之后再除以n求余數(shù)。1/n循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度d

就是使10^d的余數(shù)等于1的最小正整數(shù)。1/7的循環(huán)節(jié)D=142857尚有許多別的奇妙性質(zhì)：D的2,3,4,5,6倍都可以由D輪換出來(lái)，平均提成兩段之和142+857=999和三段之和14+28+57=99都由9構(gòu)成。這些性質(zhì)都可以通過(guò)Z_n中的乘法性質(zhì)得到解釋。密碼大戰(zhàn)凱撒登場(chǎng)公元前古羅馬將軍凱撒發(fā)明過(guò)一種密碼.

假如將字母表中26個(gè)字母a,b,c,...,z用前26個(gè)非負(fù)整數(shù)表達(dá),他的加密措施是將每個(gè)整數(shù)X變成X+3再除以26求余數(shù)得到Y(jié),記作Y≡X+3.解密措施自然就是X≡Y-3.為了加強(qiáng)保密性,可以采用更復(fù)雜的函數(shù),例如Y≡3X+5.

解密措施就應(yīng)當(dāng)將3X≡Y-5兩邊乘某個(gè)整數(shù)消去3得到X.由9x3=27≡1懂得乘9可以消去,得到解密函數(shù)X≡9(Y-5).福爾摩斯破凱撒福爾摩斯偵探案中有一種破譯密碼的故事.

編制密碼的人將每個(gè)英文字母用一種姿勢(shì)的小人代表.不一樣姿勢(shì)的小人代表不一樣的字母？小人的姿勢(shì)可以有無(wú)窮多，怎么破譯?

福爾摩斯的妙招是：記錄哪一種姿勢(shì)的小人出現(xiàn)得最多，這種小人就代表英文字母e,

由于英文文章出現(xiàn)最多的字母是e.

然后再根據(jù)故事情景和上下文破譯了其他字母.雖然是小說(shuō)創(chuàng)作，但這個(gè)破譯原理是科學(xué)的.公開(kāi)的密碼密碼應(yīng)當(dāng)保密，豈能公開(kāi)？不過(guò)，假如你但愿諸多素不相識(shí)的商人向你發(fā)信討論商業(yè)合作業(yè)務(wù)，信件內(nèi)容又但愿保密，他怎樣加密才能讓你讀懂？除非你將加密措施向全社會(huì)公開(kāi)，讓每個(gè)人都能用這種措施加密之后給你發(fā)信，不過(guò)都不懂得怎樣解密,只有你可以解密.

就好比你在公共場(chǎng)所設(shè)置一種信箱，每個(gè)人都可以將信扔進(jìn)去，但都不能拿出來(lái)，只有你有鑰匙可以打開(kāi)門(mén)拿出來(lái).

這就是公開(kāi)密鑰.老祖宗留下解密法寶本課程簡(jiǎn)介的公開(kāi)密鑰的保密原理是：求兩個(gè)很大的素?cái)?shù)p,q的乘積n=pq很輕易，要由n分解成p,q很難.

向社會(huì)公布n及一種正整數(shù)h,加密措施是將明文分段用不不小于n的非負(fù)整數(shù)X代表.

將其中每X的h次冪除以n求余數(shù)Y,各個(gè)Y構(gòu)成密文.大家都不能由Y算出X,只有你可以求出另一種指數(shù)d，將Y^d除以n求余數(shù)得到X.

怎樣求d?

需要用到老祖宗歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法.指鹿為馬之幼兒版--糾錯(cuò)碼有一位父親吹噓他的兩歲小孩博比認(rèn)識(shí)所有的動(dòng)物，而博比卻在識(shí)別畫(huà)冊(cè)上的動(dòng)物時(shí)將長(zhǎng)頸鹿、老虎、獅子分別認(rèn)成馬、貓和狗,將黑猩猩認(rèn)成“父親”。博比不認(rèn)識(shí)長(zhǎng)頸鹿、老虎、獅子、黑猩猩，就將