專題07空間中的距離5種常見考法歸類（原卷版）

專題07空間中的距離5種常見考法歸類1．空間中兩點之間的距離空間中兩點之間的距離指的是這兩個點連線的線段長．注：在空間中求兩點之間的距離：利用向量法轉化為求向量的模．2．點到直線的距離給定空間中一條直線l及l(fā)外一點A，因為l與A能確定一個平面，所以過A可以作直線l的一條垂線段，垂線段的長稱為點A到直線l的距離．3．點到平面的距離(1)給定空間中一個平面α及α外一點A，過A可以作平面α的一條垂線段，垂線段的長稱為點A到平面α的距離．注：點到平面的距離是這個點與平面內(nèi)點的最短連線的長度．(2)一般地，若A是平面α外一點，B是平面α內(nèi)一點，n是平面α的一個法向量，則點A到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．注：若點A是平面α內(nèi)一點，則約定A到平面α的距離為0．4．相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離(1)當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離，如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．(2)當平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離．如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．注：線面距、面面距與點面距：5．計算兩點間的距離的兩種方法(1)利用|a|2＝a·a，通過向量運算求|a|，如求A，B兩點間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．(2)用坐標法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標系時．6．理解與認識點到直線的距離：點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內(nèi)點到直線的距離問題．(1)點在直線上時，點到直線的距離為0．(2)點在直線外時，點到直線的距離即為此點與過此點向直線作垂線的垂足間的距離．即點到直線的距離可轉化為兩點間的距離．注：設出點在直線上的射影，利用垂直關系求出射影的坐標轉化為求向量的模．7．用向量法求點線距的一般步驟建立空間直角坐標系；（2）求直線的方向向量；（3）計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影長；（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.8．用向量法求點面距的方法與步驟(1)建坐標系：結合圖形的特點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求向量：在坐標系中求出點到平面內(nèi)任一點對應的向量eq\o(AB,\s\up7(→))；(3)求法向量：設出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉化為求解方程組，求出法向量n；(4)得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)求得答案．注：用向量法求點到平面的距離的關鍵是確定平面的法向量．9．用向量法求線面距求直線與平面間的距離，往往轉化為點到平面的距離求解，且這個點要適當選取，以求解最為簡單為準則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面的距離可以用點到平面的距離求解，但在求點到平面的距離時有時用直線到平面的距離進行過渡.考點一空間兩點間的距離考點二點到直線的距離考點三點到平面的距離考點四線面平行、平行平面間的距離考點五空間線段點的存在性問題考點一空間兩點間的距離1．（2023秋·高二課時練習）在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且，H為的中點，應用空間向量方法求解下列問題．(1)求證：；(2)求與所成角的余弦值；(3)求的長．2．（2023秋·高二課時練習）如圖所示，直三棱柱中，，，分別是棱的中點，是的中點，求的長度．3．（2024秋·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點．(1)求的距離；(2)求的值．考點二點到直線的距離4．（2023秋·高二課時練習）已知直線過點，直線的一個方向向量為，則到直線的距離等于（

）A． B．C． D．55．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知直線過定點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為．6．（2023秋·高二課時練習）已知直三棱柱中，，，則點B到直線的距離為．7．（2023秋·高二課時練習）已知三棱錐，，且，則點到直線的距離為（

）A． B．C． D．38．（2023秋·高二課時練習）如圖，為矩形所在平面外一點，平面，若已知，則到直線的距離為．考點三點到平面的距離9．（2023秋·高二課時練習）已知正四棱柱，點為中點，求點到平面的距離．10．（2023秋·全國·高二隨堂練習）在三棱錐中，底面，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．11．（2023秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）若，則三棱錐的體積為．12．（2023秋·江西南昌·高二南昌市八一中學?？茧A段練習）正四棱柱中，，，為中點，為下底面正方形的中心．求：(1)點到直線的距離；(2)點到平面的距離．13．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學?？奸_學考試）如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，．(1)求點B到平面ECD的距離；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．14．（2023秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點．(1)證明：平面PAB；(2)求點A到直線CE的距離；(3)求直線CE與平面PAB間的距離．15．（2023春·高二單元測試）如圖，在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，.(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；(2)求點P到平面DEF的距離；(3)求點P到直線EF的距離．考點四線面平行、平行平面間的距離16．（2023秋·高二課時練習）已知正方形的邊長為1，平面，且分別為的中點，求直線到平面的距離．17．（2023秋·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．18．【多選】（2023·全國·高二專題練習）已知正方體的棱長為1，點分別是的中點，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離是 B．點到平面的距離為C．點到直線的距離為 D．平面與平面間的距離為19．（2023·全國·高二專題練習）若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是．20．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知正方體的棱長為4，設M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．考點五空間線段點的存在性問題21．（2023秋·北京門頭溝·高二大峪中學?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，是邊長為4的正方形．為矩形，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)證明：在線段上是否存在點P，使得P點到平面的距離為，若存在，求的值．不存在請說明理由．22．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？计谥校┤鐖D在四棱錐中，側面底面，側棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點．(1)求二面角的正弦值；(2)線段上是