挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題(全套)

挑戰(zhàn)中考系列(數(shù)學(xué))第一部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題§1．1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題§1．2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題§1．3因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題§1．4因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題§1．5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題§1．6因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題§1．7因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題第二部分圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問題§2．1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第三部分圖形運(yùn)動(dòng)中的計(jì)算說理問題§3．1代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題§3．2幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題第四部分圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)§4．1圖形的平移§4．2圖形的翻折§4．3圖形的旋轉(zhuǎn)§4．4三角形§4．5四邊形§4．6圓§4．7函數(shù)的圖象及性質(zhì)§1．1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)相似三角形的判定定理有3個(gè)，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等．判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程．應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等．應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）．還有一種情況，討論兩個(gè)直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問題．求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個(gè)公式容易記錯(cuò)．理解記憶比較好．如圖1，如果已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求A、B兩點(diǎn)間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了．水平距離BC的長就是A、B兩點(diǎn)間的水平距離，等于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減；豎直距離AC就是A、B兩點(diǎn)間的豎直距離，等于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減．圖1圖1圖2例1湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于A(－3,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,－3m)（m＞0），頂點(diǎn)為D．（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m（2）如圖1，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖2，當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)的正下方時(shí)，△APC的面積最大．拖動(dòng)y軸上表示實(shí)數(shù)m的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，拋物線的形狀會(huì)改變，可以體驗(yàn)到，∠ACD和∠ADC都可以成為直角．思路點(diǎn)撥1．用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便．2．連結(jié)OP，△APC可以割補(bǔ)為：△AOP與△COP的和，再減去△AOC．3．討論△ACD與△OBC相似，先確定△ACD是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在兩種情況．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－3,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋3)(x－1)．代入點(diǎn)C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a所以該二次函數(shù)的解析式為y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m（2）如圖3，連結(jié)OP．當(dāng)m＝2時(shí)，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x,2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9，S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．圖3圖4圖5圖6（3）如圖4，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為E．過點(diǎn)A作x軸的垂線交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶如果△ADC與△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為1∶3m①如圖4，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，．所以．解得m＝1．此時(shí)，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如圖5，當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，．所以．解得．此時(shí)，而．因此△DCA與△OBC不相似．綜上所述，當(dāng)m＝1時(shí)，△CDA∽△OBC．考點(diǎn)伸展第（2）題還可以這樣割補(bǔ)：如圖6，過點(diǎn)P作x軸的垂線與AC交于點(diǎn)H．由直線AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因?yàn)镻(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因?yàn)椤鱌AH與△PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點(diǎn)間的水平距離3，所以圖1圖2圖3圖1例92014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動(dòng)圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況．思路點(diǎn)撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五種情況，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有三個(gè)值，根據(jù)對稱性，MA＝MN和NA＝NM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的．圖文解析（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負(fù)值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AM＝AN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3圖4圖5②如圖4，當(dāng)MA＝MN時(shí)，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時(shí)x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．如圖5，當(dāng)NA＝NM時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為．③如圖6，當(dāng)NA＝NM＝4時(shí)，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以O(shè)N＝2．此時(shí)x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．如圖7，當(dāng)MN＝MA＝4時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為．圖6圖7考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0,1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例102014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為(10,0)和，以O(shè)B為直徑的⊙A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn)．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)（不同于O、B），過點(diǎn)M作⊙A的切線，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t（0＜t≤8）秒時(shí)恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高．拖動(dòng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△BPQ有三個(gè)時(shí)刻可以成為等腰三角形．思路點(diǎn)撥1．從直線BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊．2．設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便．3．第（3）題連結(jié)AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高．4．第（4）題的△PBQ中，∠B是確定的，夾∠B的兩條邊可以用含t的式子表示．分三種情況討論等腰三角形．圖文解析（1）直線BC的解析式為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(10,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝ax(x－10)．代入點(diǎn)C，得．解得．所以．拋物線的頂點(diǎn)為．（3）如圖2，因?yàn)镋F切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．圖2（4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三種情況討論等腰三角形BPQ：①如圖3，當(dāng)BP＝BQ時(shí)，10－t＝t．解得t＝5．②如圖4，當(dāng)PB＝PQ時(shí)，．解方程，得．如圖5，當(dāng)QB＝QP時(shí)，．解方程，得．圖3圖4圖5圖6考點(diǎn)伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的⊙G與x軸相切于點(diǎn)A．如圖6，這是因?yàn)锳G既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以⊙G與x軸相切于點(diǎn)A．例112014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(0,－1)，求∠ACB的大??；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△ABC保持直角三角形的形狀．點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)，觀察△ABC的頂點(diǎn)能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形ABC有4種情況．1．拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式，用m，n表示點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．2．第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比．3．第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程．圖文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，可知A(m,0)，B(n,0)．若m＝2，n＝1，那么A(2,0)，B(1,0)．．（2）如圖1，由于C(0,mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以O(shè)C2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因?yàn)椤?與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以∠ACB＝90°．（3）在△ABC中，已知A(2,0)，B(n,0)，C(0,2n)．討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間的距離公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①當(dāng)AB＝AC時(shí)，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如圖2）．②當(dāng)CA＝CB時(shí)，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如圖3），或n＝2（A、B重合，舍去）．當(dāng)BA＝BC時(shí)，解方程(n－2)2＝5n2，得（如圖4），或（如圖5）．圖1圖2圖3圖4圖5考點(diǎn)伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理．由于C(0,mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,－1)，mn＝－1．由A(m,0)，B(n,0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）題在討論等腰三角形ABC時(shí)，對于CA＝CB的情況，此時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，可以直接寫出B(－2,0)，n＝－2．例122014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：（1）設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2，連結(jié)PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？圖1圖2圖3圖4動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，△APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況．還可以體驗(yàn)到，當(dāng)QC＝2HC時(shí)，四邊形PQP′C思路點(diǎn)撥1．在△APQ中，∠A是確定的，夾∠A的兩條邊可以用含t的式子表示．2．四邊形PQP′C的對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時(shí)，它是菱形，．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝，cosA＝．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQsinA＝t．所以S＝S△APQ＝＝＝＝．當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．（2）設(shè)PP′與AC交于點(diǎn)H，那么PP′⊥QC，AH＝APcosA＝．如果四邊形PQP′C為菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC．解方程，得．（3）等腰三角形APQ存在三種情況：①如圖5，當(dāng)AP＝AQ時(shí)，5－t＝t．解得．②如圖6，當(dāng)PA＝PQ時(shí)，．解方程，得．如圖7，當(dāng)QA＝QP時(shí)，．解方程得．圖5圖6圖7圖8考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果點(diǎn)Q是△PP′C的重心，求t的值．如圖8，如果點(diǎn)Q是△PP′C的重心，那么QC＝HC．解方程，得．例132015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時(shí)的t值，若不存在，請說明理由．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況．思路點(diǎn)撥1．過點(diǎn)B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值．2．線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點(diǎn)Q分別在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，作BD//PQ交AC于點(diǎn)D，那么．所以AD＝5．所以CD＝3．如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，．又因?yàn)?，所以．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是．圖1圖2圖3圖4（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，0＜t≤5，S△ABD＝15．由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，5＜t≤8，S△ABC＝24．因?yàn)镾△CQP＝＝＝，所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成為等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，我們先用t表示△PQC的三邊長：易知CP＝8－t．如圖2，由QP//BD，得，即．所以．如圖4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQsin∠A＝，AH＝．在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）①當(dāng)PC＝PQ時(shí)，解方程，得≈3.4（如圖5所示）．②當(dāng)QC＝QP時(shí)，．整理，得．所以(11t－40)(t－8)＝0．解得≈3.6（如圖6所示），或t＝8（舍去）．③當(dāng)CP＝CQ時(shí)，．整理，得．解得＝3.2（如圖7所示），或t＝0（舍去）．綜上所述，當(dāng)t的值約為3.4，3.6，或等于3.2時(shí)，△PQC是等腰三角形．圖5圖6圖7圖8圖9考點(diǎn)伸展第（1）題求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值，可以用代數(shù)計(jì)算說理的方法：①如圖8，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，PQ＝＝＝．當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ最大，此時(shí)t＝5，PQ的最大值為．②如圖9，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ＝＝＝．當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ最大，此時(shí)t＝5，PQ的最大值為．綜上所述，PQ的最大值為．§1．3因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先看三個(gè)問題：1．已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2．已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3．已知點(diǎn)A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．圖1圖2圖3圖4如圖1，點(diǎn)C在垂線上，垂足除外．如圖2，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外．如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個(gè)正方形，除了O、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B，共6個(gè)．解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．如圖4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)C．如果作BD⊥y軸于D，那么△AOC∽△CDB．設(shè)OC＝m，那么．這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)．例192015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：y＝x2經(jīng)過點(diǎn)A(1,m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、B′．（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點(diǎn)P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖1圖2圖3圖4動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線E1上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P始終是線段OP′的中點(diǎn)．還可以體驗(yàn)到，直角三角形QBB′思路點(diǎn)撥1．判斷點(diǎn)P是線段OP′的中點(diǎn)是解決問題的突破口，這樣就可以用一個(gè)字母表示點(diǎn)P、P′的坐標(biāo)．2．分別求線段AA′∶BB′，點(diǎn)P到AA′的距離∶點(diǎn)P′到BB′的距離，就可以比較△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖文解析（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2＝1，所以A(1,1)，m＝1．設(shè)拋物線E2的表達(dá)式為y＝ax2，代入點(diǎn)B(2,2)，可得a＝．所以y＝x2．（2）點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB′存在兩種情況：①如圖3，過點(diǎn)B作BB′的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2,4)．②如圖4，以BB′為直徑的圓D與拋物線E1交于點(diǎn)Q，那么QD＝＝2．設(shè)Q(x,x2)，因?yàn)镈(0,2)，根據(jù)QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝．此時(shí)Q．（3）如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)P、P′分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b,b2)，P′(c,)．因?yàn)镺、P、P′三點(diǎn)在同一條直線上，所以，即．所以c＝2b．所以P′(2b,2b2)．如圖6，由A(1,1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．由A(1,1)、P(b,b2)，可得點(diǎn)P到直線AA′的距離PM′＝b2－1．由B(2,2)、P′(2b,2b2)，可得點(diǎn)P′到直線BB′的距離P′N′＝2b2－2．所以△PAA′與△P′BB′的面積比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4．考點(diǎn)延伸第（2）中當(dāng)∠BQB′＝90°時(shí)，求點(diǎn)Q(x,x2)的坐標(biāo)有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．所以(x2－2)2＝(x＋2)(2－x)．圖5圖6圖1圖2例202015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，連結(jié)PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t＜2時(shí)，延長QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請說明理由．動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15湘潭26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△BPQ有兩次機(jī)會(huì)可以成為直角三角形．還可以體驗(yàn)到，點(diǎn)N有一次機(jī)會(huì)可以落在拋物線上．思路點(diǎn)撥1．分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ．2．如果PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，那么MQ＝NP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程．．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，所以y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45°．在△BPQ中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ＝t．直角三角形BPQ存在兩種情況：①當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝BP．解方程t＝(4－t)，得t＝2（如圖3）．②當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝BQ．解方程4－t＝2t，得t＝（如圖4）．圖3圖4圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)G恰為MN的中點(diǎn)時(shí)，MQ＝NP．作QE⊥y軸于E，作NF⊥x軸于F，作QH⊥x軸于H，那么△MQE≌△NPF．由已知條件，可得P(t－1,0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．將x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得，即．整理，得t2－9t＋12＝0．解得．因?yàn)閠＜2，所以?。键c(diǎn)伸展第（3）題也可以應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得．所以xN＝2xG＝2．§1．4因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先思考三個(gè)問題：1．已知A、B、C三點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形有幾個(gè)，怎么畫？2．在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？3．在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對角線互相平分？圖1圖2圖3圖4如圖1，過△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個(gè)點(diǎn)D．如圖2，已知A(0,3)，B(－2,0)，C(3,1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點(diǎn)D的坐標(biāo)呢？點(diǎn)B先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位與點(diǎn)A重合，因?yàn)锽A與CD平行且相等，所以點(diǎn)C(3,1)先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)D(5,4)．如圖3，如果平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)G，那么過點(diǎn)G畫任意一條直線（一般與坐標(biāo)軸垂直），點(diǎn)A、C到這條直線的距離相等，點(diǎn)B、D到這條直線的距離相等．關(guān)系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝y(tǒng)B＋yD有時(shí)候用起來很方便．我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合．如圖4，點(diǎn)A是拋物線y＝－x2＋2x＋3在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，線段AB交直線y＝x－1于點(diǎn)C，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)可以表示為(x,－x2＋2x＋3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(x,x－1)，線段AB的長可以用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示為AB＝y(tǒng)A＝－x2＋2x＋3，線段AC的長可以用A、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示為AC＝y(tǒng)A－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：點(diǎn)在圖象上，可以用圖象的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離．例242014年湖南省岳陽市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過A(1,0)、B(5,0)、C三點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)E(x,y)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值（3）是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14岳陽24”，拖動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，S最大．當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到OB的垂直平分線上時(shí)，四邊形OEBF恰好是正方形．思路點(diǎn)撥1．平行四邊形OEBF的面積等于△OEB面積的2倍．2．第（3）題探究正方形OEBF，先確定點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，再驗(yàn)證EO＝EB．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(5,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x－1)(x－5)．代入點(diǎn)C，得．解得．所以拋物線的解析式為．（2）因?yàn)镾＝S平行四邊形OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE)＝＝＝．所以當(dāng)x＝3時(shí)，S取得最大值，最大值為．此時(shí)點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)（如圖2）．（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，且EO＝EB．當(dāng)x＝．此時(shí)E．如圖3，設(shè)EF與OB交于點(diǎn)D，恰好OB＝2DE．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四邊形OEBF是正方形．所以當(dāng)平行四邊形OEBF是正方形時(shí)，E、F．圖1圖2圖3圖4圖5考點(diǎn)伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個(gè)呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么∠OEB＝90°．根據(jù)EH2＝HO·HB，列方程．或者由DE＝OB＝，根據(jù)DE2＝，列方程．這兩個(gè)方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，這個(gè)方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的．事實(shí)上，這個(gè)方程可以因式分解，．如圖3，x＝；如圖4，x＝4；如圖5，x＝，但此時(shí)點(diǎn)E在x軸上方了．這個(gè)方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個(gè)根是、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝．根據(jù)恒等式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得方程組解得例252014年湖南省益陽市中考第20題如圖1，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝a(x－2)2＋k經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．】圖文解析（1）由y＝－3x＋3，得A(1,0)，B(0,3)．將A(1,0)、B(0,3)分別代入y＝a(x－2)2＋k，得解得a＝1，k＝－1．（2）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,m)．已知A(1,0)、B(0,3)，根據(jù)QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2．解得m＝2．所以Q(2,2)．（3）點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)為C(3,0)，AC＝2．如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點(diǎn)M、N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上．如圖4，當(dāng)AC為正方形的對角線時(shí)，M、N中恰好有一個(gè)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)(2,－1)．因?yàn)閷蔷€AC＝2，所以正方形的邊長為．圖1圖2圖3圖4考點(diǎn)伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)M有幾個(gè)？①如果AC為對角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,－1)．②如圖5，如果AC為邊，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或0．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3)或(0,3)．第（2）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？①如圖2，當(dāng)QA＝QB時(shí)，Q(2,2)．②如圖6，當(dāng)BQ＝BA＝時(shí)，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x＝2有兩個(gè)交點(diǎn)．根據(jù)BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得．此時(shí)Q或．③如圖7，當(dāng)AQ＝AB時(shí)，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線x＝2有兩個(gè)交點(diǎn)，但是點(diǎn)(2,－3)與A、B三點(diǎn)共線，所以Q(2,3)．圖5圖6圖7例262014年湖南省邵陽市中考第25題準(zhǔn)備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的點(diǎn)M，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽25”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EM與FN在同一條直線上時(shí)，四邊形BFDE是菱形，此時(shí)矩形的直角被三等分．思路點(diǎn)撥1．平行四邊形的定義和4個(gè)判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形．2．如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直．用這兩個(gè)性質(zhì)都可以解答第（2）題．圖文解析（1）如圖3，因?yàn)锳B//DC，所以∠ABD＝∠CDB．又因?yàn)椤?＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．又因?yàn)镋D//BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形圖1圖2圖3圖4圖5圖6（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么∠1＝∠5．所以∠1＝∠2＝∠5．由于∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．所以BD＝2AB＝4，AE＝．所以ME＝．所以S菱形BFDE＝2S△BDE＝BD·ME＝．考點(diǎn)伸展第（1）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．還可以這樣思考：證明四邊形BFDE的兩組對邊分別相等；證明ED與BF平行且相等；證明四邊形BFDE的兩組對角分別相等．這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明∠1＝∠2＝∠3＝∠4．這樣其實(shí)就走了彎路，因?yàn)橛伞?＝∠3，直接得到BE//FD，根據(jù)平行四邊形的定義來得快．能不能根據(jù)BD與EF互相平分來證明呢？也是可以的：如圖5，設(shè)EF與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)“角角邊”證明△EMO≌△FNO，得到EF與MN互相平分．又因?yàn)锽M＝DN，于是得到EF與BD互相平分．第（2）題的解法，我們用了菱形的性質(zhì)：對角線平分每組對角，得到30°的角．我們也可以根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分來解題：如圖6，如果四邊形BFDE是菱形，那么對角線EF⊥BD，此時(shí)垂足M、N重合．因此BD＝2DC．這樣就得到了∠5＝30°．事實(shí)上，當(dāng)四邊形BFDE是菱形時(shí)，矩形ABCD被分割為6個(gè)全等的直角三角形．由AB＝2，得AD＝．矩形ABCD的面積為．菱形面積占矩形面積的，所以菱形面積為．§1．5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題課前導(dǎo)學(xué)面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計(jì)算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標(biāo)軸平行的，計(jì)算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補(bǔ)”的方法．圖1圖2圖3圖4圖5圖6計(jì)算面積長用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．例32湖南省常德市中考第25題如圖1，．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）x（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)），在原拋物線x軸的上方．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于兩點(diǎn)，設(shè)y＝ax(x－4)．代入點(diǎn)，得．解得．所以．（2）如圖2，OAMAM．如果PQOAPQMP因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線x＝2，P、Q關(guān)于x＝2對稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由MPMP所以當(dāng)為（3）如圖3，作CE⊥x軸于E，作DF⊥x軸于F．我們把面積進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)換：CEDF即yC∶yD＝3∶1因此ME∶MF＝3∶1．設(shè)MF＝m，那么ME＝3m原拋物線的解析式為，所以翻折后的拋物線的解析式為．所以D，CyC∶yD＝3∶1，列方程m所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．圖1圖2圖3圖4考點(diǎn)伸展B例332014年湖南省永州市中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于A(－1,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,2)．點(diǎn)M(m,n)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上．過點(diǎn)M作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)Q，交拋物線于另一點(diǎn)E，直線BM交y軸于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－4)．代入點(diǎn)C(0,2)，得2＝－4a．解得．所以．頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）如圖2，已知M(m,n)，作MN⊥x軸于N．由，得．所以．因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線，所以ME＝．由于S△MFQ＝＝＝，S△MEB＝＝，所以當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時(shí)，∶＝1∶3．整理，得m2＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,3)或(－12,－88)圖1圖2圖3圖4考點(diǎn)伸展第（2）題S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需點(diǎn)M一定要在拋物線上？從上面的解題過程可以看到，△MFQ與△MEB的高的比與n無關(guān)，兩條底邊的比也與n無關(guān)．如圖3，因此只要點(diǎn)E與點(diǎn)M關(guān)于直線x＝對稱，點(diǎn)M在直線的左側(cè)，且點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1（如圖3）或－12（如圖4）．§1．6因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題課前導(dǎo)學(xué)一、圓與圓的位置關(guān)系問題，一般無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形．解這類問題，一般分三步走，第一步先羅列三要素：R、r、d，第二步分類列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．第一步在羅列三要素R、r、d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步分類列方程，就是指外切與內(nèi)切兩種情況．二、直線與圓的位置關(guān)系問題，一般也無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形．解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．第一步在羅列兩要素R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時(shí)d＝R列方程．如圖1，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，圓O的半徑為1，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，如果圓C既與直線AB相切，又與圓O相切，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．“既……，又……”的雙重條件問題，一般先確定一個(gè)，再計(jì)算另一個(gè)．假設(shè)圓C與直線AB相切于點(diǎn)D，設(shè)CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4－5m)．羅列三要素：對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m分類列方程：兩圓外切時(shí)，4－5m＝3m＋1；兩圓內(nèi)切時(shí)，4－5m把這個(gè)問題再拓展一下，如果點(diǎn)C在y軸上，那么還要考慮點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸．相同的是，對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m；不同的是，圓心距OC＝5圖1圖1圖2圖3例422014年湖南省衡陽市中考第27題如圖1，直線AB與x軸交于點(diǎn)A(－4,0)，與y軸交于點(diǎn)B(0,3)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿直線AB向點(diǎn)B移動(dòng)．同時(shí)將直線以每秒0.6個(gè)單位長度的速度向上平移，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜5）秒．（1）證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形ACDP為菱形？請指出此時(shí)以點(diǎn)D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系并說明理由．圖文解析（1）如圖2，由A(－4,0)、B(0,3)，可得直線AB的解析式為．所以直線AB//CD．在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以O(shè)C＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四邊形ACDP總是平行四邊形．（2）如圖3，如果四邊形ACDP為菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t＝t．解得t＝．此時(shí)OD＝0.6t＝．所以BD＝＝．作DE⊥AB于E．在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BD·sinB＝．因此OD＝DE，即圓心D到直線AB的距離等于圓D的半徑．所以此時(shí)圓D與直線AB相切于點(diǎn)E（如圖4）．考點(diǎn)伸展在本題情境下，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，平行四邊形ACDP的面積最大？S平行四邊形ACDP＝AC·DO＝＝＝．當(dāng)時(shí)，平行四邊形ACDP的面積最大，最大值為3．此時(shí)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)（如圖5）．圖4圖5例432014年湖南省株洲市中考第23題如圖1，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長線上，OQ＝QB＝1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓上運(yùn)動(dòng)（包含P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求△ABC的面積（如圖1）；（2）設(shè)∠AOB＝，當(dāng)線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求的范圍（如圖2，直接寫出答案）；（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AO⊥PM于點(diǎn)N，求CM的長（如圖3）．圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖文解析（1）如圖4，連結(jié)OA．當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，OA⊥AB，A為切點(diǎn)．此時(shí)在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，所以AB＝，∠ABO＝30°．此時(shí)等邊三角形ABC的高為，所以S△ABC＝．（2）0°≤≤60°．（3）如圖5，連結(jié)MQ，那么∠PMQ＝90°．當(dāng)AO⊥PM時(shí)，AO//MQ．由于Q是OB的中點(diǎn)，所以，M是AB的中點(diǎn)．所以CM⊥AB．由于O是PQ的中點(diǎn)，所以．所以．如圖6，連結(jié)MO．在Rt△OMN中，，MO＝1，所以MN2＝．在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2＝．所以AM＝．于是在Rt△CAM中，CM＝AM＝＝．考點(diǎn)伸展第（2）題的題意可以這樣理解：如圖7，過點(diǎn)B畫圓O的切線，切點(diǎn)為G．如圖8，弧上的每一個(gè)點(diǎn)（包括點(diǎn)G、Q）都是符合題意的點(diǎn)A，即線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）．如圖9，弧上的每一個(gè)點(diǎn)A（不包括點(diǎn)Q）與點(diǎn)B連成的線段AB，與圓O都有兩個(gè)交點(diǎn)A、M．圖7圖8圖9圖1圖2圖3§1．7因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題課前導(dǎo)學(xué)線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．第二類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個(gè)問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定?。谝徊剑瑧?yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對稱點(diǎn)為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．圖4圖5圖6圖1圖2例50湖南省郴州市中考第26題已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點(diǎn)．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最?。咳舸嬖?，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)、B(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－2)．代入點(diǎn)C(0,2)，可得a＝－1．所以這條拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如圖3，連結(jié)OP．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四邊形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時(shí)P(1,2)．（3）第一步，幾何說理，確定點(diǎn)G的位置：如圖4，在△CMG中，CM為定值，因此當(dāng)GC＋GM最小時(shí)，△CMG的周長最?。捎贕A＝GC，因此當(dāng)GA＋GM最小時(shí)，GC＋GM最小．當(dāng)點(diǎn)G落在AM上時(shí)，GA＋GM最?。ㄈ鐖D5）．圖3圖4圖5圖6圖7圖8第二步，代數(shù)計(jì)算，求解點(diǎn)G的坐標(biāo)：如圖6，，cos∠CAO＝，所以，E．如圖7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1,0)、M，得直線AM的解析式為．作GH⊥x軸于H．設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．因?yàn)椤鰽BC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積也最大．過點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于F．因?yàn)椤鱌CF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時(shí)，△PCB的面積最大．設(shè)點(diǎn)P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．當(dāng)x＝1時(shí)，PF最大．此時(shí)P(1,2)．例51湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c關(guān)于y軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C(－3,－3)均在拋物線上，點(diǎn)F在y軸上，過點(diǎn)作直線l與x軸平行．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D(x,y)是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)G，設(shè)線段GD的長為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）若點(diǎn)P(m,n)是拋物線上位于第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF并延長，交拋物線于另一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QS⊥l，垂足為S，過點(diǎn)P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；（4）若點(diǎn)A(－2,t)在線段BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，MF＋MA的值最?。堉苯訉懗龃藭r(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與MF＋MA的最小值．圖1圖2圖3圖4圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以y＝ax2．代入點(diǎn)C(－3,－3)，得．所以拋物線的解析式為．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得解得，b＝－2．所以直線BC的解析式為．（2）由于點(diǎn)D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此當(dāng)時(shí)，h取得最大值，最大值為．（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)為H．設(shè)直線PQ的解析式為．聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得．所以x1·x2＝．它的幾何意義是HS·HN＝．又因?yàn)镠F＝．所以HF2＝HS·HN．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因?yàn)椤?與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以△FNS是直角三角形．（4）MF＋MA的最小值是，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是．考點(diǎn)伸展第（3）題也可以通過計(jì)算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．這樣我們就可以根據(jù)“等邊對等角”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，得到∠NFC＝90°．應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，就容易解答第（4）題：如圖3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．當(dāng)ME＋MA的值最小時(shí)，MF＋MA的值也最小．當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，ME＋MA的值最小，最小值為AE．而AE的最小值為點(diǎn)A到l的垂線段，即AE⊥l時(shí)，AE最?。ㄈ鐖D4）．§2．1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題課前導(dǎo)學(xué)（一）圖形運(yùn)動(dòng)的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題．產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系．還有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和．由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，在兩種類型的題目中比較常用．類型一，已知“邊角邊”，至少一邊是動(dòng)態(tài)的，求角的對邊．如圖1，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4)，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OB＝x，AB＝y(tǒng)，那么我們在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．類型二，圖形的翻折．已知矩形OABC在坐標(biāo)平面內(nèi)如圖2所示，AB＝5，點(diǎn)O沿直線EF翻折后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D落在AB邊上，設(shè)AD＝x，OE＝y(tǒng)，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2圖1圖2圖3由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題，在兩種類型的題目中比較常用．一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應(yīng)邊成比例．一般步驟是先說理產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫出定義域．關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點(diǎn)是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯(cuò)．課前導(dǎo)學(xué)（二）圖形運(yùn)動(dòng)的過程中，求面積隨某個(gè)量變化的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題．計(jì)算面積常見的有四種方法，一是規(guī)則圖形的面積用面積公式；二是不規(guī)則圖形的面積通過割補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算；三是同高（或同底）三角形的面積比等于對應(yīng)邊（或高）的比；四是相似三角形的面積比等于相似比的平方．前兩種方法容易想到，但是靈活使用第三種和第四種方法，可以使得運(yùn)算簡單．一般情況下，在求出面積S關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系后，會(huì)提出在什么情況下（x為何值時(shí)），S取得最大值或最小值．關(guān)于面積的最值問題，有許多經(jīng)典的結(jié)論．例1，周長一定的矩形，當(dāng)正方形時(shí)，面積最大．例2，面積一定的矩形，當(dāng)正方形時(shí)，周長最?。?，周長一定的正多邊形，當(dāng)邊數(shù)越大時(shí)，面積越大，極限值是圓．例4，如圖1，銳角△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的面積為y，AD＝x，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積y最大．例5，如圖2，點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于AB的中點(diǎn)E的正上方時(shí)，△PAB的面積最大．例6，如圖3，△ABC中，∠A和對邊BC是確定的，當(dāng)AB＝AC時(shí)，△ABC的面積最大．例1湖南省常德市中考第26題如圖1，圖2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G．（1）在圖1中，正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，設(shè)AP＝，求y關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）GB⊥EF對于圖1，圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；（3）請根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB．圖1圖2圖3圖4圖文解析（1）如圖3，延長EP交BC于M，延長FP交AB于N，那么四邊形AEPN和四邊形CFPM是正方形．由AP＝，可得正方形AEPN的邊長為．所以FC＝DE＝．由于S△DEF＝＝，S△BCF＝＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF＝4－－＝．（2）如圖4，因?yàn)閠an∠EFP＝，tan∠PBN＝，且PE＝NP，PF＝NB，所以∠EFP＝∠PBN．又因?yàn)椤?＝∠2，∠1＋∠PBN＝90°，所以∠2＋∠EFP＝90°．所以GB⊥EF．（3）如圖5，由于GB⊥EF，∠BCF＝90°，所以B、C、G、F四點(diǎn)共圓．所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．又因?yàn)椤螩GF＝∠CGB＋90°，∠BFP＝∠CFB＋90°，所以∠CGF＝∠BFP．所以△FGC∽△PFB．圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展如圖6，由于tan∠EFP＝tan∠PBN，所以∠EFP＝∠PBN．又因?yàn)椤螾BN＋∠1＝90°，所以∠EFP＋∠1＝90°．因此這種情況下，依然有BG⊥EF．第（1）題還有更簡便的割補(bǔ)辦法：如圖7，連結(jié)EN．由于S四邊形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝，S△AEN＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S四邊形NBFE＋S△AEN＝．例2湖南省湘潭市中考第25題如圖1，△ABC為等邊三角形，邊長為a，點(diǎn)F在BC邊上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，設(shè)BF＝m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan∠EDF＝，求此圓的直徑（用含a的式子表示）．圖文解析（1）如圖1，因?yàn)椤螧＝∠C＝60°，∠BDF＝∠CEF＝90°，所以△BDF∽△CEF．（2）如圖2，當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的邊長a＝4時(shí)，S△ABC＝．在Rt△BDF中，∠B＝60°，BF＝m，所以，．所以S△BDF＝＝．在Rt△CEF中，∠C＝60°，CF＝4－m，所以，．所以S△CEF＝＝．因此S＝S四邊形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF＝＝＝．所以當(dāng)m＝2時(shí)，S取得最大值，最大值為．此時(shí)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)（如圖3）．（3）如圖4，由于A、D、F、E四點(diǎn)共圓，所以∠EAF＝∠EDF．因?yàn)椤螦EF＝90°，所以AF是圓的直徑．在Rt△EAF中，由于tan∠EAF＝＝，設(shè)EF＝，EA＝2x．在Rt△ECF中，∠C＝60°，所以．因此EC＝x．由AC＝EA＋EC＝a，得2x＋x＝a．所以x＝．所以在Rt△EAF中，EF＝，EA＝，由勾股定理，得圓的直徑AF＝．圖1圖2圖3圖4考點(diǎn)伸展第（2）題也可以求△ADF與△AEF的面積和．由于，，所以AD＝，S△ADF＝．由于，，所以AE＝，S△AEF＝．因此S＝S△ADF＋S△AEF＝＝．例3湖南省郴州市中考第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE＝1cm，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，與點(diǎn)M同時(shí)同方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)．以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)G剛好落在線段AD上？（2）設(shè)正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S．當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時(shí)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍；（3）設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點(diǎn)P，連結(jié)DP，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPD是等腰三角形？圖2圖1圖3圖4圖5當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段AD上時(shí)，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．（2）重疊部分的圖形是正方形，存在兩種情況：①當(dāng)HM在AD的左側(cè)時(shí)，正方形MNGH的大小不變，邊長為1，S＝1．如圖3，當(dāng)H落在AB上時(shí)，BM＝HMtan30°＝．所以≤t＜4．②如圖4，當(dāng)HM在AD上時(shí)，正方形的邊長為t－3，S＝(t－3)2．如圖5，當(dāng)G落在AC上時(shí)，AH＝HGtan30°＝．由AD＝，得．解得．所以4≤t≤．（3）等腰三角形CPD存在兩種情況：①如圖6，當(dāng)PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P在DC的垂直平分線上，N是DC的中點(diǎn)．此時(shí)t＝3＋6＝9．②如圖7，當(dāng)CP＝CD＝12時(shí)，在Rt△CPN中，由cos30°＝，得．此時(shí)t＝．圖6圖725題圖1考點(diǎn)伸展當(dāng)點(diǎn)G落在AC上時(shí)，CG∶AG的比值是多少呢？如圖5，．

例4湖南省常德市中考第25題如圖1，曲線y1是拋物線的一部分，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且表達(dá)式為（x≤3），曲線y2與曲線y1關(guān)于直線x＝3對稱．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線y2的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)C作CD//x軸交曲線y1于點(diǎn)D，連結(jié)AD，在曲線y2上有一點(diǎn)M，使得四邊形ACDM為箏形（如果一個(gè)四邊形的一條對角線被另一條對角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)直線CM與軸交于點(diǎn)N，試問在線段MN下方的曲線y2上是否存在一點(diǎn)P，使△PMN的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）由，得A(－1,0)、B(3,0)、C(0,)．因?yàn)锳(－1,0)、B(3,0)關(guān)于直線x＝3的對稱點(diǎn)為A′(7,0)、B(3,0)，所以拋物線y2的表達(dá)式為（x＞3）．（2）由CD//x軸，可知C、D關(guān)于拋物線y1的對稱軸x＝1對稱，所以D(2,)．如圖2，由A(－1,0)、C(0,)、D(2,)，可得AC＝DC＝2．因此點(diǎn)C在AD的垂直平分線上．如果四邊形ACDM的對角線互相垂直平分，那么四邊形ACDM是菱形，此時(shí)點(diǎn)M在x軸上，不在拋物線y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情況．如圖2，如圖3，過點(diǎn)A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點(diǎn)G、H，那么∠ADG＝∠CMH．由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30°．因此．設(shè)M，那．整理，得x2－13x＋24＝0．解得．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．（3）如圖2，如圖3，由于∠ADC＝30°，當(dāng)CM⊥AD時(shí)，∠OCN＝30°．所以O(shè)N＝OC＝1，N(1,0)．所以直線CN為．如圖4，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為K，PK交MN于E，過點(diǎn)M作y軸的垂線交PK于F．所以S△PMN＝S△PME＋S△PNE＝．因?yàn)镸F＋NK為定值，因此當(dāng)PE最大時(shí)，△PMN的面積最大．設(shè)P，E，那么PE＝＝＝．所以當(dāng)時(shí)，PE取得最大值，△PMN面積最大．此時(shí)P．考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣思考：如圖5，由于MN是定值，因此點(diǎn)P到MN的距離最大時(shí)，△PMN的面積也最大．過點(diǎn)P作MN的平行線，當(dāng)這條直線與拋物線y2只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條平行線間的距離最大，也就是說方程組只有一組解，即?＝0．解得．圖2圖3圖4圖5§3．1代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題課前導(dǎo)學(xué)計(jì)算說理是通過計(jì)算得到結(jié)論；說理計(jì)算側(cè)重說理，說理之后進(jìn)行代入求值．壓軸題中的代數(shù)計(jì)算題，主要是函數(shù)類題．函數(shù)計(jì)算題必考的是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，按照設(shè)、列、解、驗(yàn)、答五步完成，一般來說，解析式中待定幾個(gè)字母，就要代入幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．還有一類計(jì)算題，就是從特殊到一般，通過計(jì)算尋找規(guī)律．代數(shù)計(jì)算和說理較多的一類題目，是確定直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).聯(lián)立直線和拋物線的解析式組成方程組，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)?確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．我們介紹一下求函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)的幾何方法．如圖1，已知直線y＝x＋1與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y＝x2－2x－3與直線y＝x＋1交于A、B兩點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)的代數(shù)方法，就是聯(lián)立方程組，方程組的一個(gè)解是點(diǎn)A的坐標(biāo)，另一個(gè)解計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)．幾何法是這樣的：設(shè)直線AB與y軸分別交于C，那么tan∠AOC＝1．作BE⊥x軸于E，那么．設(shè)B(x,x2－2x－3)，于是．請注意，這個(gè)分式的分子因式分解后，．這個(gè)分式能不能約分，為什么？因?yàn)閤＝－1的幾何意義是點(diǎn)A，由于點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合，所以x≠－1，因此約分以后就是x－3＝1．這樣的題目一般都是這樣，已知一個(gè)交點(diǎn)求另一個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過約分，直接化為一元一次方程，很簡便．圖1圖1圖2圖3例1湖南省長沙市中考第25題在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫“夢之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1,1），(－2,－2)，，…，都是“夢之點(diǎn)”，顯然“夢之點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)．（1）若點(diǎn)P(2,m)是反比例函數(shù)（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)y＝3kx＋s－1（k、s為常數(shù)）的圖象上存在“夢之點(diǎn)”嗎？若存在，請求出“夢之點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1（a、b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)“夢之點(diǎn)”A(x1,x1)、B(x2,x2)，且滿足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令，試求t的取值范圍．圖文解析（1）因?yàn)辄c(diǎn)P(2,m)是“夢之點(diǎn)”，所以P(2,2)．所以．（2）“夢之點(diǎn)”一定在直線y＝x上，直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x的位置關(guān)系有重合、平行、相交．①如圖1，當(dāng)直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x重合時(shí)，有無數(shù)個(gè)“夢之點(diǎn)”．此時(shí)k＝，s＝1．②如圖2，當(dāng)直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x平行時(shí)，沒有“夢之點(diǎn)”．此時(shí)k＝，s≠1．③如圖3，當(dāng)直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x相交時(shí)，有1個(gè)“夢之點(diǎn)”．此時(shí)k≠，“夢之點(diǎn)”的坐標(biāo)為．（3）因?yàn)锳(x1,x1)、B(x2,x2)兩點(diǎn)是拋物線與直線y＝x的交點(diǎn)，聯(lián)立y＝ax2＋bx＋1和y＝x，消去y，整理，得ax2＋(b－1)x＋1＝0．所以x1x2＝＞0．所以A、B兩點(diǎn)在y軸的同側(cè)．如圖4，由|x1－x2|＝2，可知A、B兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2．已知－2＜x1＜2，我們分兩種情況來探求a的取值范圍：①當(dāng)A、B兩點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，0＜x1＜2，2＜x2＜4．所以0＜x1x2＜8．②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，－2＜x1＜0，－4＜x2＜－2．所以0＜x1x2＜8．綜合①、②，不論0＜x1＜2或－2＜x1＜0，都有0＜x1x2＜8．所以0＜＜8．所以a＞．由ax2＋(b－1)x＋1＝0，得x1＋x2＝，x1x2＝．由|x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．所以．整理，得．所以＝＝＝．如圖5，這條拋物線的開口向上，對稱軸是直線，在對稱軸右側(cè)，t隨a的增大而增大．因此當(dāng)時(shí)，t取得最小值，t＝＝．所以t的取值范圍是t＞．圖4圖5考點(diǎn)伸展第（3）題我們也可以這樣來討論：一方面，由|x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．所以．整理，得．另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0．所以＜0．所以＝＝＜0．所以a＞．例2湖南省懷化市中考第23題設(shè)m是不小于－1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）若，求的值；（2）求的最大值．圖文解析（1）因?yàn)榉?/p>