空間幾何體的表面積和體積考點(diǎn)講解及經(jīng)典例題解析

空間幾何體的表面積和體積習(xí)題講解一．課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。二．命題走向近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。考查形式：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問題；三．要點(diǎn)精講1．多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積()全面積()體積()棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×l直棱柱棱錐棱錐各側(cè)面積之和正棱錐棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和正棱臺(tái)表中S表示面積，、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表斜高，表示斜高，表示側(cè)棱長(zhǎng)。2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球表中、分別表示母線、高，表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，、分別表示圓臺(tái)上、下底面半徑，表示半徑。四．典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1．一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為、ycm、zcm、lcm依題意得：由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2．如圖1所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。角形，已知，．（Ⅰ）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積．（Ⅰ）證明：在中，由于，，，ABCMABCMPDO故．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．（Ⅱ）解：過作交于，由于平面平面，所以平面．因此為四棱錐的高，又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．因此．在底面四邊形中，，，所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為．故．點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問題例7．ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得·點(diǎn)評(píng)：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8．（2007江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（）A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評(píng)：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問題例9．（2008四川理，19）．（本小題滿分12分）如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF，G、H分別是FA、FD的中點(diǎn)。(Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(Ⅱ)C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？(Ⅲ)設(shè)AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.GGHFEDCBA)解法一：(Ⅰ)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD.所以GH，又BC,故GHBC.所以四邊形BCHG是平行四邊形.(Ⅱ)C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下：由BE,G是FA的中點(diǎn)知，BEGF，所以EF∥BG.由(Ⅰ)知BG∥GH，故FH共面.又點(diǎn)D在直線FH上.所以C、D、F、E四點(diǎn)共面.(Ⅲ)連結(jié)EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形.故BG⊥EA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED.又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.由(Ⅰ)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(Ⅱ)知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.解法二：由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.(Ⅰ)設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).所以，于是又點(diǎn)G不在直線BC上.所以四邊形BCHG是平行四邊形.(Ⅱ)C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下：由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2c)，所以(Ⅲ)由AB=BE，得c=a，所以又即CH⊥AE,CH⊥AD,又AD∩AE=A,所以CH⊥平面ADE,故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問題，是極具實(shí)際意義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例10．（1）（2008四川理，8）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過作垂線于的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：(D)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【解】：設(shè)分別過作垂線于的面截球得三個(gè)圓的半徑為，球半徑為，則：∴∴這三個(gè)圓的面積之比為：故選D【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系；【突破】：畫圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理；例11．（2008四川文，12）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于(B)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【解】：如圖在三棱柱中，設(shè)，由條件有，作于點(diǎn)，則∴∴∴故選B【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時(shí)考察空間想象能力；【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵；例12．如圖9—9，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。圖題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問題圖例13．已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，，∴，∴，∴。點(diǎn)評(píng)：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。例14．如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得=2r,∴r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,(R－a)2=R2–(a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2。點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。題型9：球的面積、體積綜合問題例15．（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，，，又∵，∴，∴，∴，∴（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H由題設(shè)∵△AOF∽△AEG∴，得∵△AO1H∽△AOF∴，得∴點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題例19．（1）我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離。解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，∵，∴答：北緯緯線長(zhǎng)約等于．（2）解：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為．例16．在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于．點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。（2008廣東文18）（本小題滿分14分）如圖5所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，。（1）求線段PD的長(zhǎng)；（2）若，求三棱錐P-ABC的體積?！窘馕觥浚?）BD是圓的直徑又,,;(2)在中，又底面ABCD三棱錐的體積為.五．思維總結(jié)1．正四面體的性質(zhì)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則這個(gè)正四面體的(1)全面積：；(2)體積：；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：；(4)內(nèi)切球半徑：r=；(5)外接球半徑：；(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。2．直角四面體的性質(zhì)有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③體積V=abc；④底面△ABC=；⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC⑦=++;⑧外切球半徑R=；⑨內(nèi)切球半徑r=3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.①如圖，圓錐的頂角為β，母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，底面半徑為r，則②圓臺(tái)如圖，圓臺(tái)母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r′、r，則h=lsinα，r-r′=lcosα。③球的截面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的