【數(shù)學課件】平面與平面垂直課件 2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

8.6.3平面與平面垂直（1）

盛琪第八章立體幾何初步引

入1.直線與平面垂直的定義如果直線

l

與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線l和平面α互相垂直.2.直線和平面垂直的判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

垂直于同一個平面的兩條直線平行．a(chǎn)⊥αb⊥αa//b3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

在平面幾何中，我們先定義了角的概念，利用角刻畫兩條相交直線的位置關系，進而研究直線與直線互相垂直這種特殊情況.引

入二面角在日常生活中，有很多平面與平面相交的例子．類似地，我們需要先引進二面角的概念，用以刻畫兩個相交平面的位置關系，進而研究兩個平面互相垂直.探究新知

直線上的一點將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線．射線射線半平面半平面1.二面角①半平面：平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面．②二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.lABβα．P．Q③二面角的記法：

記作二面角α-AB-β；

二面角P-AB-Q；

二面角α-l-β或P-l-Q．棱面探究新知④二面角的畫法Ⅰ平臥式：AB

lABl

ABCDⅡ直立式：AB

AB

l探究新知問題1那么該如何定量地刻畫兩平面的位置關系呢？根據(jù)前面研究異面直線所成的角和直線與平面所成的角的經(jīng)驗，我們可以

雖然都是平面與平面相交，但在直觀感覺上，兩平面的“開合程度”并不一樣．比如日常生活中，常說“把門開大一些”，這說明門與墻面所形成的角度有不同的狀態(tài)．

用一個平面角來度量二面角的大?。@樣的平面角該如何建構呢？問題3在二面角的棱上任取一點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線形成的角度是唯一確定的嗎？為什么？探究新知PAB不能.

因為角的大小會由于所作射線的位置不一樣而不同，而度量一個量的基本要求是“唯一性”．是唯一確定的．根據(jù)等角定理.問題2在二面角的棱上任取一點，從該點出發(fā)，分別在兩個半平面內(nèi)任作一條射線，可得一個平面角，這樣的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？為什么？OAB探究新知2.二面角的平面角在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.問題3在二面角的平面角的定義中O點是在棱上任取的，那么∠AOB的大小與點O在棱上的位置有關系嗎？無關.根據(jù)等角定理.二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.注意：(1)大小與點O的位置無關.(2)二面角的平面角兩邊一定要垂直于棱.問題4二面角的平面角θ的取值范圍是什么？探究新知直二面角的定義：我們把平面角是直角的二面角叫做直二面角．銳二面角直二面角鈍二面角注意區(qū)分各種角的取值范圍：異面直線所成角：___________，線面角：____________.(0°,90°][0°,90°]α(β)lA(B)OαβlABOθ=0o二面角的取值范圍：二面角的平面角θ的取值范圍為θ=180o0o≤θ≤180o．探究新知

教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，我們常說墻面直立于地面上.問題5教室相鄰的兩個墻面與地面可以構成幾個二面角?分別指出構成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)．

二面角C-AO-B二面角A-BO-C二面角A-CO-B探究新知

如圖畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．3.兩平面垂直的定義探究新知

在明確了兩個平面互相垂直的定義的基礎上，我們研究兩個平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定．這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直.問題6建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，就認為墻面垂直于地面．這種方法說明了什么道理？

類似結論也可以在長方體中發(fā)現(xiàn)．如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'經(jīng)過平面ABCD的一條垂線AA'，此時，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．探究新知

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

這個定理說明了，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.4.平面與平面垂直的判定定理線面垂直

面面垂直圖形語言：符號語言：βaAα例題講解【例7】如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證平面A'BD⊥平面ACC'A'．例題講解【例8】如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點．求證：平面PAC⊥平面PBC．課堂練習【練習】(1)在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．易證：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．

教科書第158頁的例8以及練習的第3題中出現(xiàn)的四面體在中國古代被稱為“鱉臑”，即四個面都是直角三角形的三棱錐．“鱉臑”是用來展示空間垂直關系的經(jīng)典素材，值得我們關注．探究新知四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”；將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”；底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．塹堵陽馬鱉臑兩個塹堵組成一個長方體一個陽馬和一個鱉臑組成一個塹堵兩個鱉臑組成一個陽馬課堂練習【練習】(1)在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．平面ACD⊥平面ABC．(2)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，哪些平面互相垂直?平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，課堂小結1.知識點：2.方法：轉化思想.3.易錯點：二面角的平面角的取值范圍與線與線，線與面所成交的范圍混淆.平面與平面垂直的概念平面與平面垂直的判定定理二面角及其平面角的概念布置作業(yè)（1）教材P163:7,8（2）手工作業(yè)：用硬紙板制作一個陽馬和一個鱉臑.8.6.3平面與平面垂直（2）第八章立體幾何初步引

入2、平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，這兩個平面互相垂直.1、什么是二面角？怎么找到二面角的平面角？

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．引

入3、平面與平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.b符號表示：

下面我們研究平面與平面垂直的性質(zhì)，也就是在兩個平面互相垂直的條件下，能推出哪些結論．

如果兩個平面互相垂直，根據(jù)已有的研究經(jīng)驗，我們可以先研究其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面具有什么位置關系．線面垂直

面面垂直引

入問題1如圖，已知平面α⊥平面β，

α∩β=a，則β內(nèi)異于a的直線b與a是什么位置關系？相應地，b與α是什么位置關系？因為b與a在同一平面內(nèi)，故可能平行，也可能相交b//a→b//αb與a相交

→b與α相交問題2教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直,在黑板上任意畫一條直線與地面垂直嗎?怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直?探究新知兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言：1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理面面垂直

線面垂直例題講解例1

定理辨析.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l下列命題.（2）垂直于交線l的直線必垂直于平面β（）（3）過平面α內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面β（）（1）平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β（）√××l探究新知問題3設α⊥β，點P在平面α內(nèi)，過點P作平面β的垂線a,直線a與平面α具有什么位置關系?如下圖，過點P在α內(nèi)作直線b⊥c，則b⊥β.因為過一點有且只有一條直線與β垂直，所以直線a與直線b重合，因此a

α.a

α例題講解例2

如圖，已知平面α⊥平面β，不在平面α內(nèi)的直線a⊥β，判斷a與α的位置關系．

解：在α內(nèi)作垂直于α與β的交線的直線b．∵α⊥β∴b⊥β∵a⊥β∴a∥b∵a∴a∥α，即直線a與平面α平行

例題講解例3

如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

PABC證明：過點A作AE⊥PB，垂足為E．∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC．∵BC平面PBC，∴AE⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴PA⊥BC．又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．課堂練習練習1如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.課堂練習練習2判斷下列結論()()()()()√√×√()×√探究新知直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質(zhì)判定定義課堂練習練習1如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.課堂練習練習2

如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.課堂練習練習3

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求證：平面PDC⊥平面PAD.課堂練習練習3如圖所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為棱CC'中點，求二面角A'-BD-E的大?。骄啃轮?/p>

求二面角的一般步驟：1．作：在棱上選擇恰當?shù)囊粋€點，在兩半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，

兩射線組成的角，即為二面角的平面角；2．證：證明(1)中所作出的角就是二面角的平面角；

（注：關鍵證明線線垂直）3．求：通過解三角形，求出(1)中所作的角的大?。n堂練習練習4探究新知用三垂法作二面角的平面角的一般步驟：1．在其中一個半平面內(nèi)取恰