年初中數(shù)學(xué)突破中考?jí)狠S題幾何模型之相似三角形中的一線三等角模型

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年初中數(shù)學(xué)突破中考?jí)狠S題幾何模型之相似三角形中的一線三等角模型（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）一線三等角相似三角形判定的基本模型A字型X字型反A字型反8字型母子型旋轉(zhuǎn)型雙垂直三垂直相似三角形判定的變化模型一線三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過(guò)認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。CACADBEF【例1】如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°（1）求證：△BDE∽△CFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BECCDEABF【例2】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，求證：△BDE∽△DFEABPCM【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使∠APMABPCM（1）求證：△ABP∽△PCM；（2）設(shè)BP=x，CM=y．求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)△APM為等腰三角形時(shí)，求PB的長(zhǎng)．ABCPQ【例4】（1）在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.ABCPQ①若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長(zhǎng)；②若，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）正方形的邊長(zhǎng)為（如圖12），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.ABCD圖12當(dāng)ABCD圖12AABC備用圖點(diǎn)評(píng)：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過(guò)哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，還是找原來(lái)的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來(lái)的方法求解?！纠?】已知：菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C出發(fā)，沿線段BC、CD以1m/s的速度向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）連接AP、AQ、PQ，試判斷△APQ的形狀，并說(shuō)明理由。（2）當(dāng)t=1秒時(shí)，連接AC，與PQ相交于點(diǎn)K.求AK的長(zhǎng)。（3）當(dāng)t=2秒時(shí)，連接AP、PQ,將∠APQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊與AB、AD、AC分別交于點(diǎn)E、N、F，連接EF.若AN=1,求S△EPF.【應(yīng)用】1.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合．連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得∠CPD=∠OAB，且BD:AD=3:2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；②當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)．EDEDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）模型訓(xùn)練：ABCDE如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．ABCDE(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明△ADE是什么三角形，并說(shuō)明理由．已知：如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)D在邊AB上，，點(diǎn)E在邊BC上．又點(diǎn)F在邊AC上，且．(1)求證：△FCE∽△EBD；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使．如果有可能，那么求出BD的長(zhǎng)．如果不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。（1）求證△BPD∽△CEP（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？CPEACPEABDAABCDEF如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PE⊥AB與E，PF⊥BC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=CPEABFCPEABF（2）△PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。已知在等腰三角形中，，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：∽；（2）設(shè).①用含的代數(shù)式表示；②求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的定義域.CDABP已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，CDABP（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長(zhǎng)．（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）相似三角形知識(shí)概述1.平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3.相似三角形的定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等．②相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。③相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比④面積比等于相似比的平方溫馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則△A′B′C′∽△ABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k′=1．③相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出．5.相似三角形的判定定理①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長(zhǎng)線相交，所得的三角形與原三角形相似；②三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；③兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。溫馨提示：（1）判定三角形相似的幾條思路：①條件中若有平行，可采用判定定理1；②條件中若有一對(duì)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?，可再找一對(duì)角相等或找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)成比例；③條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等．④條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對(duì)應(yīng)成比例。（2）在綜合題中，注意相似知識(shí)的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。（3）運(yùn)用相似的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，要能夠在理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題，要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。6.位似①定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比．因此，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形．②性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．注意：（1）位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形．（2）兩個(gè)位似圖形不僅相似而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或在同一直線上7.三角形的重心①三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．②三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功．通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見(jiàn)上節(jié)圖．“見(jiàn)平行，想相似”是解這類(lèi)題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖．其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀牵耙?jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類(lèi)題的基本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖．若圖中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，則△ADE∽△ABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的．溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線．以上“平行線型”是常見(jiàn)的，這類(lèi)相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形．相似三角形專(zhuān)題分類(lèi)練習(xí)講解題型一：線段的比、黃金分割1.在比例尺1：10000的地圖上，相距2cm的兩地的實(shí)際距離是（）A．200cmB．200dmC．200mD．200km2.若則下列各式中不正確的是（）A．B．C．D．3.若，則=_______；已知，則=________；已知，且，則。4.若且，則∶=_________。5.2和8的比例中項(xiàng)是_________；線段2㎝與8㎝的比例中項(xiàng)為_(kāi)________。6.已知a：b：c＝2：3：4，且2a＋3b－2c＝10，求a，b，c的值。題型二：相似的性質(zhì)1.如果兩個(gè)相似三角形的面積比為3∶4，則它們的周長(zhǎng)比為_(kāi)________。2.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為3.如圖,DE∥BC，AD∶BD=2∶3，則ΔADE的面積∶四邊形DBCE的面積=_________。4.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有：_____個(gè)5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ADE與△BCE面積之比為4：9，那么△ADE與△ABE面積之比為_(kāi)_______6.平行四邊形ABCD中，AB=28，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FC，DE交AB于點(diǎn)M，MF交CD于點(diǎn)N，則CN=_________。ABCDABCDE第3題第4題第5題第6題7.如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，AC，DE把平行四邊形ABCD分成的四部分的面積分別為S1，S2，S3，S4．下面結(jié)論：①只有一對(duì)相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正確的結(jié)論是（）A．①③B．③C．①D．①②8.如圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是S1、S2，那么S1、S2的大小關(guān)系是（）A．S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.S1、S2的大小關(guān)系不確9.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，則△AEG的面積與四邊形BEGF的面積之比為（）A.1∶2B.1∶4C.4∶9D.2∶310.如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于點(diǎn)O，∶＝4∶9，則AE∶EC為（）A.2∶1B.2∶3C.4∶9D.5∶411.已知三個(gè)邊長(zhǎng)為2，3，5的正方形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______．第7題第8題第9題第10題第11題12.如圖在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12cm，AH＝8cm，求矩形的各邊長(zhǎng)。13.已知如圖，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中點(diǎn)，DF⊥AE，F(xiàn)為垂足，求△DFA的面積和四邊形CDFE的面積。題型三：相似的有關(guān)證明1.已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中點(diǎn)，直線ED分別與對(duì)角線AC和BC的延長(zhǎng)線交于M、N點(diǎn)NDNDCAEBM2.如圖，D在AB上，且DE∥BC，交AC于E，F(xiàn)在AD上，且，求證：△AEF∽△ACD．3.如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長(zhǎng)．題型四：函數(shù)與相似1.如圖，正方形ABCD中，AB＝1，G為DC中點(diǎn)，E為BC上任一點(diǎn)，（E點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合）設(shè)BE＝，過(guò)E作GA平行線交AB于F，設(shè)AFEC面積為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。2.如圖，ABCD是矩形，AH＝2，HD＝4，DE＝2，EC＝1，F(xiàn)是BC上任一點(diǎn)（F與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），過(guò)F作EH的平行線交AB于G，設(shè)BF為，四邊形HGFE面積為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。3.如圖，有一塊直角梯形鐵皮ABCD，AD＝3cm，BC＝6cm，CD＝4cm，現(xiàn)要截出矩形EFCG，（E點(diǎn)在AB上，與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），設(shè)BE＝，矩形EFCG周長(zhǎng)為，（1）寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量取值范圍；（2）取何值，矩形EFCG面積等于直角梯形ABCD面積的。ABOPCxy4.如圖，已知拋物線y＝x2－1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、GABOPCxy5.如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE=CE;(3)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，試問(wèn)以A、B、F，為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型五、圓與相似1.（2021?綏化）如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長(zhǎng)為（）A.4B.5C.6D.72.如圖，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，⊙O的切線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長(zhǎng)。3.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為直角邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓恰好與斜邊AB相切于點(diǎn)D，與BC交于另一點(diǎn)E．（1）求證：△AOC≌△AOD；（2）若BE=1，BD=3,求⊙O的半徑及圖中陰影部分的面積S．4.如圖⊙O是△ABC外接圓，AB是直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE⊥DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB。（1）求證:DE是⊙O的切線；(2)若AB=6,AE=4,求BC和BD的長(zhǎng)5.（2021遼寧）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F。（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若AB＝6，AD＝5，求AF的長(zhǎng)。

6.（2021?十堰）如圖1，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥CA于點(diǎn)D，OE⊥CB于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O．（1）求證：⊙O與CB相切于點(diǎn)E；（2）如圖2，若⊙O過(guò)點(diǎn)H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積．題型六、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問(wèn)題1．D是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，過(guò)A、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形與△ABC相似，畫(huà)出示意圖。DACBCABDACBCABD 2．已知Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分成兩部分，問(wèn)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與△OAB相似？畫(huà)出所有符合要求的線段，寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)。第2題第3題第4題3．在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（4，0），B（0，2），如果點(diǎn)C在x軸上（C與A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與△AOB相似。4．已知：如圖，P是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3，BF⊥BP，垂足為B，請(qǐng)?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M，使以B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似。5.正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直.（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；DBAMCN（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與xDBAMCN（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值.6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），EF⊥AB,EG⊥AC，垂足分別為F,G．（1）求證：；（2）FD與DG是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AB=AC時(shí)，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說(shuō)明理由．7.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，－3），直線＝－x與BC邊相交于D點(diǎn)．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝ax2－x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，試確定此拋物線的表達(dá)式；（3）設(shè)（2）中的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．66yxOCDB-3＝－xA8．如圖，拋物線y＝－x2＋x－2與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求證：△AOC∽△COB；xyACBODPQ（2）過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．若點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個(gè)單位的速度由xyACBODPQ9．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型三：位似1.如圖所示，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E.已知OA＝10cm，OA′＝20cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比值是________．2.如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).⑴以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1：2⑵連接⑴中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）3.如圖，點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn)，則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形．此時(shí)，△P′Q′R′與△PQR的位似比為_(kāi)________。第1題第2題第3題相似三角形分類(lèi)題型講解（答案）題型一：C2.C3.；；6；10；4.4:55.、46.a=4b=6c=8題型二：1.2.1:43.4:214.3個(gè)5.2:36.CN=77.A8.A9.C10.A11.12.DG=；DE=13.S1=；S2=題型三：4.題型四：2.3.（1）（2）4.(1)A（-1，0）B（1，0）C（0，1）(2)S=4(3)M1（-2，3）M2（4，15）M3（，）5.(1)題型五：1.B2.BF=1033.r=4；S=54-8π4.（2）BC=23；BD=65.（2）AF=1456.（2）S△題型六：1.C1（3，0）C2（6，4）C3（6，）2.C1（-1，0）C2（-4，0）C3（1，0）3.BM1=3;BM2=4.（2）；x=2時(shí)，S=10；（3）x=26.（1）D（4，-3）（2）（3）P1（3，0）P2（3，4）7.（2）t=2.5或t=1.58.（1）或或（2）P（4，）（3）Q1（10，）Q2（-2，）Q3（4，）《相似三角形》單元測(cè)試題一、精心選一選（每小題4分，共32分）1.下列各組圖形有可能不相似的是().(A)各有一個(gè)角是50°的兩個(gè)等腰三角形(B)各有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形(C)各有一個(gè)角是50°的兩個(gè)直角三角形(D)兩個(gè)等腰直角三角形2.如圖，D是⊿ABC的邊AB上一點(diǎn)，在條件（1）△ACD＝∠B，（2）AC2＝AD·AB，（3）AB邊上與點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩個(gè)，（4）∠B＝△ACB中，一定使⊿ABC∽⊿ACD的個(gè)數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）43．如圖，∠ABD＝∠ACD，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）（A）2（B）3（C）4（D）54.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上任意一點(diǎn)，則有（）（A）△ABE的周長(zhǎng)＋△CDE的周長(zhǎng)＝△BCE的周長(zhǎng)（B）△ABE的面積＋△CDE的面積＝△BCE的面積（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC5.如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為9:4,那么這兩個(gè)相似多邊形的相似比為()A.9:4B.2:3C.3:2D.81:166.下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（）。A.兩個(gè)等邊三角形B.兩個(gè)全等三角形C.兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)等腰直角三角形7.若⊿ABC∽⊿，∠A=40°,∠B=110°,則∠=()A.40°B110°C70°D30°8.如圖，在ΔABC中，AB=30，BC=24，CA=27，AE=EF=FB，EG∥FD∥BC，F(xiàn)M∥EN∥AC，則圖中陰影部分的三個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為（）A、70B、75C、81D、80二、細(xì)心填一填（每小題3分，共24分）9.如圖，在△ABC中，△BAC＝90°，D是BC中點(diǎn)，AE∥AD交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則⊿BAE相似于______．10、在一張比例尺為1：10000的地圖上，我校的周長(zhǎng)為18cm，則我校的實(shí)際周長(zhǎng)為。11、如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為4：5，則這兩個(gè)三角形的相似比是，它們的面積的比是。12、已知⊿ABC∽⊿DEF,AB=21cm,DE=28cm,則⊿ABC和⊿DEF的相似比為13、某同學(xué)利用影子長(zhǎng)度測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度，在同一時(shí)刻，他測(cè)得自己影子長(zhǎng)為0.8m，旗桿的影子長(zhǎng)為7m，已知他的身高為1.6m，則旗桿的高度為m．14.在長(zhǎng)8cm，寬6cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使留下的矩形與原矩形相似，那么留下的矩形面積是_______cm215.如圖，由邊長(zhǎng)為1的25個(gè)小正方形網(wǎng)格上有一個(gè)與⊿ABC相似且面積最大的⊿A1B1C1，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)上，則⊿A1B1C16.如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地上形成陰影（圓形）的示意圖，已知桌面的直徑為1.2米，桌面距地面1米，燈泡距地面3米，則地上陰影部分的面積是__