北師大版八年級數(shù)學下冊 （等腰三角形）三角形的證明新課件(第2課時)

第一章

三角形的證明等腰三角形（第2課時）北師大版

八年級下冊

學習重點學習難點經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程,能夠用綜合法證明三角形和等腰三角形的一些結(jié)論.能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論.學習目標1.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程,讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展,發(fā)展學生初步的演繹邏輯推理能力.2.會證明等腰三角形中有關(guān)角平分線、中線、高線的特征.3.掌握等邊三角形的性質(zhì)定理.前

言實踐探究，交流新知（大膽猜想）例1

證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB又∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1＝∠2在△BDC和△CEB中，∴△BDC≌△CEB(ASA)∴BD＝CE.實踐探究，交流新知（規(guī)范過程）思考：等腰三角形兩腰上的中線相等嗎？高呢？還有其他的結(jié)論嗎？

請你證明它們，并與同伴交流.例2

如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D.

求證：BD＝CE.證明：∵AB＝AC，CE⊥AB，BD⊥AC∴∠AEC＝∠ADB＝90°.在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD(AAS)∴BD＝CE變式訓練

在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線.

求證：BD＝CE.實踐探究，交流新知（拓展延伸）

實踐探究，交流新知想一想：等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么

特征呢？例4如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC.

求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對等角)∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等邊對等角)∴∠A＝∠B＝∠C(等量代換)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)∴∠A＝∠B＝∠C＝60°實踐探究，交流新知（知識總結(jié)）知識點一：等腰三角形中的相等線段（1）等腰三角形兩底角的平分線相等；（2）等腰三角形兩腰上的高線相等；（3）等腰三角形兩腰上的中線相等；知識點二：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°開放訓練，體現(xiàn)應用1.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在BC，AC邊上，

且AE＝CD，AD與BE相交于點F.(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度數(shù)．解：(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAE＝∠ACD＝60°，AB＝AC在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD(SAS)(2)∵△ABE≌△CAD∴∠ABE＝∠CAD∵∠BAF＋∠DAC＝∠BAC＝60°，∠BFD＝∠ABE＋∠BAF∴∠BFD＝∠BAF＋∠CAD＝∠BAC＝60°.開放訓練，體現(xiàn)應用2.如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至點E，使CE＝CD.

求證：DB＝DE.證明：∵△ABC是等邊三角形∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°∵BD⊥AC∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°∵CE＝CD∴∠CDE＝∠E∵∠ACB＝∠CDE＋∠E∴∠E＝30°∴∠DBE＝∠E∴DB＝DE課堂檢測，鞏固新知1.如圖，△ABC是等邊三角形，AD＝CD，則∠ADB＝90°，

∠CBD＝

．2．如圖，等邊三角形ABC的邊長如圖所示，那么y＝

．3．如圖所示，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE＝AD，

則∠ADE＝

．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F.若S△ABC＝1，則PE＋PF＝

．（第1題）（第2題）（第4題）（第3題）30°375°1課堂檢測，鞏固新知5.如圖，在等邊三角形ABC中，點D為BC延長線上一點，點E為CA延長線上一點，且AE＝DC，求證：AD＝BE.證明：在等邊三角形ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°∴∠EAB＝∠DCA＝120°在△EAB和△DCA中，∴△EAB≌△DCA(SAS)∴AD＝BE課堂小結(jié)，整體感知1.課堂小結(jié)：請同學們回顧本節(jié)課所學的內(nèi)容，有哪些收獲？知識點1

等腰三角形中的相等線段（1）等腰三角形兩底角的平分線相等；（2）等腰三角形兩腰上的高線相等；（3）等腰三角形兩腰上的中線相等；知識點2等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°2．布置作業(yè)：(1)教材第6頁隨堂練習第1，2題．(2)教材第7頁習題1.2第1，2，3題.同學們，

下課！第一章

三角形的證明等腰三角形（第3課時）北師大版

八年級下冊

學習重點學習難點理解等腰三角形的判定定理,并會運用其進行簡單的證明.靈活應用等腰三角形的性質(zhì)和判定定理.學習目標1.探索等腰三角形的判定定理.2.理解等腰三角形的判定定理,并會運用其進行簡單的證明.3.了解反證法的基本證明思路,并能簡單應用.前

言創(chuàng)設情境，導入新課問題2：等腰三角形兩底角相等，這個命題的條件和結(jié)論是什么？問題1：請同學們回顧一下，前面我們學習了等腰三角形的哪些性質(zhì)？(1)等腰三角形兩底角相等，也就是“等邊對等角”．(2)“三線合一”．(3)等腰三角形兩腰上的高相等，兩腰上的中線相等，兩底角的平分線相等．實踐探究，交流新知在一般三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關(guān)系？猜想：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．如何證明？數(shù)學語言：已知：在△ABC中，∠B＝∠C；求證：AB＝AC方法思考：①作高AD可以嗎？

②作角平分線AD呢？

③作中線AD呢？等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，

即“等角對等邊”．（前提條件：在同一個三角形中）開放訓練，體現(xiàn)應用例1

(教材第8頁例2)已知：如圖，AB＝DC，BD＝CA，BD與CA相交于點E，求證：△AED是等腰三角形．證明：在△ABD和△DCA中，∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB＝∠DAC∴EA＝ED∴△AED是等腰三角形開放訓練，體現(xiàn)應用例2

(教材第9頁例3)用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角．

已知：△ABC.

求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角．證明：假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A和∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設不成立．所以，一個三角形中不能有兩個角是直角．開放訓練，體現(xiàn)應用變式訓練1

如圖，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D.求證：△BCD為等腰三角形．證明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝∠ABC＝35°∴∠DBC＝∠ACB＝35°∴DB＝DC∴△BCD為等腰三角形開放訓練，體現(xiàn)應用變式訓練2

如圖，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D.求證：△BCD為等腰三角形．證明：假設AB＝AC，則∠ABC＝∠ACB∵AB＝AC，D，E分別是AC，AB的中點∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE(SAS)∴BD＝CE.這與BD≠CE相矛盾∴AB＝AC這個假設不成立∴AB≠AC課堂檢測，鞏固新知1.用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個內(nèi)角小于45°”時，首先應該假設這個三角形中(

)A．有一個內(nèi)角小于45°B．每一個內(nèi)角都小于45°C．有一個內(nèi)角大于等于45°D．每一個內(nèi)角都大于等于45°2．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過點O作BC的平行線與AB，AC分別相交于點M，N.若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周長．

D課堂檢測，鞏固新知2．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過點O作BC的平行線與AB，AC分別相交于點M，N.若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周長．

解：∵MN∥BC∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC＝∠MBO，∠ACO＝∠OCB∴∠MOB＝∠MBO，∠NOC＝∠ACO∴MB＝MO，NC＝NO∵AB＝5，AC＝6∴C△AMN＝AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋MO＋ON＝AM＋AN＋MB＋NC＝AB＋AC＝5＋6＝11∴△AMN的周長為11課堂小結(jié)，整體感知1.課堂小結(jié)：請同學們回顧本節(jié)課所學的內(nèi)容，有哪些收獲？知識點1

等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，即“等角對等邊”．（前提條件：在同一個三角形中）知識點2反證法概念：