2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一、填空題

1.（5分）過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的直線有條.

2.（5分）若正三棱錐的高和底面邊長(zhǎng)相等，則側(cè)棱和底面所成角為.

3.（5分）一個(gè)與球心距離為I的平面截球所得的圓面面積為m則該球的表面積是.

4.（5分）設(shè)°,匕是平面例外兩條直線，且a〃M,那么?！āㄊ堑臈l件.

5.（5分）將一段長(zhǎng)12cm的鐵絲折成兩兩互相垂直的三段，使三段長(zhǎng)分別為3cm、4cm>5cni,

則原鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為cm.

6.（5分）在無窮等比數(shù)列｛a”｝中，“1=1,公比q=L記T"=a22+aJ+a62+…+。2”2.則鼠血了”

2n-?oo

7.（5分）《九章算術(shù)》中稱四個(gè)面均為直角三角形的四面體為鱉腌，如圖，若四面體ABCD

為鱉%且48_L平面BCD,AB=BC=CD,則A。與平面ABC所成角大小為（結(jié)

8.（5分）已知兩條異面直線a與人所成角為30,尸是空間一點(diǎn)，若過點(diǎn)尸與。和人所成角

都是0的直線有4條,則0的范圍是.

9.（5分）設(shè)數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S”，且如=k）g2（1+1）,則滿足S?>10的〃最小值

n

為.

10.（5分）我們知道，在平面幾何中，已知AABC三邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c,面積為5,在

△4BC內(nèi)一點(diǎn)到三條邊的距離相等設(shè)為r,則有-Ir（。+>c）=S.現(xiàn)有三棱錐A-BCD

2

的兩條棱A8=CO=6,其余各棱長(zhǎng)均為5,三棱錐A-BCC內(nèi)有一點(diǎn)。到四個(gè)面的距離

相等，則此距離等于

A

H

11.(5分)若集合A={("?,ri')|(m+1)+(m+2)+,,,+(m+n)=2020,，"=Z,nGN*},

則集合A中的元素個(gè)數(shù)為.

12.(5分)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-AIBICIDI中，E為棱C。的中點(diǎn)，點(diǎn)

P，。分別為面AIBICIOI和線段51c上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEQ周長(zhǎng)的最小值為.

二.選擇題

13.(5分)設(shè)尸1、尸2、尸3、尸4為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“Pl、P2、P3、P4中有三點(diǎn)在同

一條直線上”是“Pl、P2、P3、尸4在同一個(gè)平面上”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于/(〃)=(/t+1)(n+2)”?(〃+〃)的命題時(shí)，f(k+1)

=f(k)X,及為正整數(shù)，則空格處應(yīng)填()

A.2H1B,(2k+l)(2k+2)

k+1

C.2k±LD.2k12_

k+1k+1

15.(5分)如圖1,點(diǎn)E為正方形ABC。邊8c上異于點(diǎn)8、C的動(dòng)點(diǎn)，將AABE沿AE翻

折，得到如圖2所示的四棱錐B-AEC。，且平面平面4ECD,點(diǎn)尸為線段8。上

異于點(diǎn)8、。的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐B-AECZ)中，下列說法：

①直線BE與直線CF必不在同一平面上；

②存在點(diǎn)E使得直線BEJ_平面DCE；

③存在點(diǎn)F使得直線CF與平面BAE平行;

④存在點(diǎn)E使得直線BE與直線CD垂直.

16.（5分）在三棱錐A-BCD中，AB=BC=CD=DA=S，BD=243,二面角A-8。-

C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2.則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是（）

A.12nB.C.13nD.星n

34

三、解答題

17.（12分）在①S"=/+〃+c；②。3+〃5=16且S3+S5=42；③四且$7=56.

ann

這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

設(shè)等差數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和為S”｛阮）是等比數(shù)列，,4=0,歷=上2.

2

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛-L+為｝的前〃項(xiàng)和.

18.（20分）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.已知球的直

徑是6cm,圓柱筒長(zhǎng)2cm.

（1）這種“浮球”的體積是多少c〃戶（結(jié)果精確到0.1）?

（2）要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需

19.（12分）如圖，長(zhǎng)方體A8CD-A1B1C1D1中，0A=￡>C=2,DD[=愿，E是Ci》的中

點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn).

（1）求證：￡A〃平面BOF；

（2）求證：平面8。尺L平面BCE；

（3）求二面角。-EB-C的正切值.

20.（12分）如圖所示，圓錐的頂點(diǎn)為P,底面中心為O,母線PB=5,底面半徑0A與

的夾角為仇且。8=4.

（1）求該圓錐的表面積；

（2）求過頂點(diǎn)P的平面截該圓錐所得的截面面積的最大值；

（3）點(diǎn)E在線段0P上，且0E=l,是否存在。使得異面直線AE與尸8所成角大小為

60°?若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，請(qǐng)求出。.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

21.（14分）已知數(shù)列｛斯｝與｛晟｝滿足斯+1-即=入（“+1-b”）（人為非零常數(shù)），

（1）若｛加｝是等差數(shù)列，求證：數(shù)列｛“〃｝也是等差數(shù)列；

（2）若m=2,入=3,bn=sin.n2L,求數(shù)列｛“”｝的前2021項(xiàng)和；

（3）設(shè)m=6i=入，bzt，1^二豈甘立2（〃》3,?GN*）,若對(duì)｛〃”｝中的任意兩項(xiàng)

ai、ajCi,JeN*,iWj）,依-勾|<2都成立，求實(shí)數(shù)入的取值范圍.

2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

參考答案與試題解析

一、填空題

1.（5分）過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的直線有無數(shù)條.

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可判斷.

【解答】解：在過該點(diǎn)且與已知平面平行的平面上的每一條直線均與已知平面平行，故

有無數(shù)條直線符合題意，

故答案為：無數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩個(gè)平面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）若正三棱錐的高和底面邊長(zhǎng)相等，則側(cè)棱和底面所成角為2L.

—3—

【分析】令O到正三棱錐底面上的中心，則/布。即為側(cè)棱和底面所成角，解Rt△%O

即可得到答案.

【解答】解：設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)為m

令O為正三棱錐底面上的中心，則PO即為棱錐的高，

則/以。即為側(cè)棱和底面所成角,

?.?正三棱錐的棱和底面邊長(zhǎng)都為a,

...在Rt△%。中，40=返■〃，所以PO=〃,

3

/.tanZB4O=_a_

逅a

3

：.ZPAO=—,

3

故答案為：2L.

3

-〉c

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，線面夾角，其中根據(jù)已知確定出線面夾

角的平面角是解答的關(guān)鍵.

3.（5分）一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為m則該球的表面積是8n.

【分析】由已知中一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為m我們可以求出

該圓的半徑，其中根據(jù)球半徑、截面圓半徑及球心距構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，

我們可以求出球半徑，進(jìn)而代入球的表面積公式，即可得到該球的表面積.

【解答】解：由己知中與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為TT,

故該圓的半徑為1,

故球的半徑為加

故該球的表面積S=4TTR2=87T

故答案為：8n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，其中根據(jù)球半徑、截面圓半徑及球心距構(gòu)成

直角三角形，滿足勾股定理，求出球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

4.（5分）設(shè)a,b是平面M外兩條直線，且a//M,那么a//b是b//M的充分不必要條

件.

【分析】判斷由a〃b能否得到匕〃仞，再判斷由匕〃M能否得到?！ㄘ凹纯?

【解答】解：證明充分性：若?！?,結(jié)合a〃M,且人在平面M外，可得力〃M,是充分

條件；

證明必要性：若6〃M,結(jié)合a〃M,且a,人是平面M外，則a,匕可以平行，也可以相

交或者異面，所以不是必要條件.

故a〃。是人〃M的“充分不必要”

故答案為：充分不必要.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面平行，線線平行之間的關(guān)系，充分條件和必要條件，屬于簡(jiǎn)

單題.

5.（5分）將一段長(zhǎng)12cm的鐵絲折成兩兩互相垂直的三段，使三段長(zhǎng)分別為3a/、4cm>5cm,

則原鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為_5^歷—C772.

【分析】作圖，根據(jù)題設(shè)條件可證C。，AC,再直接計(jì)算求解即可.

【解答】解：如圖所示，鐵絲被折成了兩兩垂直的三段AB,BC,CD,其中AB=5,BC

=4,8=3,

由CQ_LA8,CDLBC,ABC\BC=B,可知CQ_L平面ABC,

：.CDLAC,

于是=cnr+AC2=CD2+AB2+BC2=52+42+32=50,

；.AD=5后.

故答案為：5&.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定以及空間中兩點(diǎn)間距離的求解，考查運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題.

6.（5分）在無窮等比數(shù)列｛?！埃?，。1=1,公比<7=工，記771=422+442+462+…+“2”2.則

2>00

=4

一記一,

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷｛。2"2｝是等比數(shù)列，然后利用數(shù)列和的極限的運(yùn)算法

則求解即可.

【解答】解：在無窮等比數(shù)列｛“"｝中，611=1,公比4=工，記力1=422+042+062+…+。2”2.

2

可知｛“2/｝是等比數(shù)列，公比為：A,首項(xiàng)為：1,

164

2-y

所以：

n—81-q1-----15

16

故答案為：

15

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

7.（5分）《九章算術(shù)》中稱四個(gè)面均為直角三角形的四面體為鱉席，如圖，若四面體ABCO

為鱉麻且AB_L平面8C。，AB=BC^CD,則AD與平面ABC所成角大小為arcsin返

【分析】推導(dǎo)出BCLOC,以C為原點(diǎn)，C。為無軸，CB為y軸，過C作平面BOC的

垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A。與平面A8C所成角大小.

【解答】解：：四面體ABC。為鱉腌，且ABL平面BCD,A8=BC=C￡>,

：.BCLDC,

以C為原點(diǎn)，CD為x軸，C8為y軸，過C作平面BDC的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)AB=BC=C￡>=1,

則A(0,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

AD=(1，-1--1)，平面ABC的法向量嗎=(1,0,0),

設(shè)A。與平面A8C所成角為0,

則sin[=—I■他.n-1_=_1

IADI,InIV33

0=arcsin^/^,

3

.??AQ與平面ABC所成角大小為arcsin返.

3

故答案為：arcsin義!?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

8.（5分）已知兩條異面直線a與人所成角為30,P是空間一點(diǎn)，若過點(diǎn)尸與。和人所成角

都是0的直線有4條，則9的范圍是75°<。<90°.

【分析】過點(diǎn)。作ai〃a，b\//b,則相交直線ai,從確定一個(gè)平面a,且“1,所成的

角為150°或30°,設(shè)直線OA與m,從均成。角，作平面a于點(diǎn)8,BCLai于

點(diǎn)C,8O_Lbi于點(diǎn)。，記乙4。8=。1,/8OC=e2,（。2=15°或75°），利用cose=cos9i

?COS02,進(jìn)行角之間的大小比較，從而得到答案.

【解答】解：過點(diǎn)。作b\//b,

則相交直線m,6確定一個(gè)平面a,且ai,4所成的角為150°或30°,

設(shè)直線。4與ai,歷均成。角，

作AB_L平面a于點(diǎn)B,BCLm于點(diǎn)C,BDLbi于點(diǎn)D,

記NAOB=6i,N8OC=62（02=15°或75°）,

則有COS0=COS01,COS02,

因?yàn)?°WeiW90°,

所以O(shè)WcosOWcos。2，

當(dāng)02=15°時(shí)，由0Wcos6Wcosl5°,可得15°W9W90°；

當(dāng)。2=75°時(shí)，由0WcosBWcos75°,可得75°；

故當(dāng)。<15°時(shí)，直線/不存在：

當(dāng)。=15°時(shí)，直線/有且僅有1條；

當(dāng)15°<。<75°時(shí)，直線有且僅有2條；

當(dāng)6=75°時(shí)，直線/有且僅有3條；

當(dāng)75°<9<90°時(shí)，直線有且僅有4條；

當(dāng)。=90°時(shí)，直線/有且僅有1條.

綜上所述，0的范圍是75°<6<90°.

故答案為：75°<6<90°.

Cai

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成角的理解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與空間想象能

力，屬于中檔題.

9.(5分)設(shè)數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和為S”且s,=log2(1+工)，則滿足品>10的〃最小值為

n

1024.

【分析】根據(jù)題意可得4"=lOg2(1+—)=10g2(尸+L),則Sn=10g2(―)+10g2(―)+…

nn12

+log2(EL)=log2(2x3x…X_p+1_)=log2(n+1),從而令S”=log2(n+1)>10,

n12n

結(jié)合”eN*即可求出滿足Sn>10的”最小值.

【解答】解：根據(jù)題意，??=10g2(1+1)=10g2(止1),

nn

所以Sn=log2(―)+10g2(―)+…+10g2(-R±L)=log2(—X-2.X???X_+k)=log2(a+1),

12n12n

令S=log2(”+l)>10,則〃+1>2叫由于〃6N*,所以“21024(〃6N),

所以滿足Sn>10的n最小值為1024.

故答案為：1024.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，

屬于基礎(chǔ)題.

10.(5分)我們知道，在平面幾何中，已知△ABC三邊邊長(zhǎng)分別為。、b、c,面積為S,在

△4BC內(nèi)一點(diǎn)到三條邊的距離相等設(shè)為/?,則有工r(a+ft+c)=S.現(xiàn)有三棱錐A-BCD

2

的兩條棱A8=CZ)=6,其余各棱長(zhǎng)均為5,三棱錐A-8CD內(nèi)有一點(diǎn)。到四個(gè)面的距離

相等，則此距離等于色互.

-8一

B

【分析】把三棱錐4-BCD放置在一個(gè)長(zhǎng)方體中，設(shè)四面體所在長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為x,

y,z,由已知對(duì)角線長(zhǎng)列式求得x,y,z的值，得到四面體A-8C。的體積，再求出四面

體的表面積，由等體積法求點(diǎn)。到四個(gè)面的距離.

【解答】解：如圖，把三棱錐A-BCZ)放置在一個(gè)長(zhǎng)方體中，

設(shè)四面體所在長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為x,y,Z,

則由7+y2=36,7+z2=25，V+z2=25,

解得x=y=3&,z=J^，則四面體A-BCD的體積V=—x3^X為巧X長(zhǎng)

3

方體體積的工)，

3

22

又四面體的表面積為S=4X1X6X75-3=48(每個(gè)面都是腰長(zhǎng)為5,底邊長(zhǎng)為6

的等腰三角形)，

...點(diǎn)。到四個(gè)面的距離為2上上3互旦2.

S488

故答案為：近.

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、線、面見的距離計(jì)算，考查空間想象能力與思維能力，考

查運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，是中檔題.

11.(5分)若集合A={(m,n)|(/n+1)+(〃?+2)+…+(，〃+〃)=2020,〃?=Z,nGN*},

則集合4中的元素個(gè)數(shù)為8.

【分析】(加+2),…(加+〃)構(gòu)成等差數(shù)列，2/%+〃+1與"的奇偶性不同.

【解答】解：(2m+”n=2O2o,

即(2〃任〃+1)n—4040,

又；4040=23X5X101,而2〃?+〃+1與〃的奇偶性不同,

.?.只能有數(shù)5或101,

所以有2X2X2=8種，

分別為：(248,8),(-241,505),(30,40),(-31,101),(-402,808),(401,5),

(-2020,4040),(2019,1),共8種.

【點(diǎn)評(píng)】本題在集合的基礎(chǔ)上考查了等差數(shù)列的求和，屬于中檔題.

12.(5分)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AIBICIDI中，E為棱CCi的中點(diǎn)，點(diǎn)

P,。分別為面AIBICIDI和線段BiC上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEQ周長(zhǎng)的最小值為

【分析】由題意，△PE。周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，尸在81。上，在平面81。CB上，設(shè)E關(guān)

于81c的對(duì)稱點(diǎn)為M關(guān)于81cl的對(duì)稱點(diǎn)為M,求出即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，^PEQ周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，P在Bi。上，

在平面B1C1C8上，設(shè)E關(guān)于81c的對(duì)稱點(diǎn)為N,關(guān)于BiCi的對(duì)稱點(diǎn)為M,則

EM=2.EN=?,NMEN=135°,

，MN=,4+2-2X2X在X

故答案為。記.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查對(duì)稱點(diǎn)的運(yùn)用，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)

算能力，屬于中檔題.

二.選擇題

13.（5分）設(shè)P、尸2、尸3、尸4為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“P1、尸2、P3、尸4中有三點(diǎn)在同

一條直線上”是“Pl、P2、P3、P4在同一個(gè)平面上”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【分析】“Pl、P2、P3、P4中有三點(diǎn)在同一條直線上”="a、P2、P3、尸4在同一個(gè)平面

上"，"P、尸2、P3、P4在同一個(gè)平面上”知“尸1、P2、P3、P4中可以任意三點(diǎn)不在同一

條直線上”，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)尸1、P2、尸3、P4為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，

則“Pl、P2、P3、P4中有三點(diǎn)在同一條直線上”="Pl、P2、P3、P4在同一個(gè)平面上”,

“Pl、P2、P3、P4在同一個(gè)平面上”知“P、尸2、P3、P4中可以任意三點(diǎn)不在同一條直

線上“，

“Pl、P2、P3、尸4中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“尸1、P2、尸3、P4在同一個(gè)平面上”

的充分非必要條件.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、充要條件、必要條件的判斷，考查空間中四點(diǎn)共面等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

14.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于/(〃)—(〃+1)(〃+2)…("+")的命題時(shí)，./'(k+1)

=f(k)X,&為正整數(shù)，則空格處應(yīng)填()

A.2k+\B.(2k+l)(2k+2)

k+1

C.2k±LD.2ki2

k+1k+1

【分析】分別求出〃=*時(shí)左邊的式子，n=k+\時(shí)左邊的式子，用〃=左+1時(shí)左邊的式子,

除以〃=4時(shí)左邊的式子，即得所求.

【解答】解：由題意可得

當(dāng)〃=上時(shí)，左邊等于(KI)(A+2)—(k+k)=(Hl)32)…(2k),

當(dāng)n=k+l時(shí)，左邊等于(A+2)(&+3)…(k+k)(2)1+1)(2A+2),

故從"k"到"k+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是(2k+l)(2k+2),

k+1

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，用〃=%+1時(shí)，左

邊的式子除以"=&時(shí)，左邊的式子，是簡(jiǎn)化解題的關(guān)鍵.

15.(5分)如圖1,點(diǎn)￡為正方形ABCD邊BC上異于點(diǎn)&C的動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿4E翻

折，得到如圖2所示的四棱錐8-AECC,且平面平面AECZ),點(diǎn)尸為線段8。上

異于點(diǎn)B、。的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐8-AECD中，下列說法：

①直線BE與直線CF必不在同一平面上；

②存在點(diǎn)E使得直線BE,平面DCE；

③存在點(diǎn)F使得直線CF與平面BAE平行；

④存在點(diǎn)E使得直線BE與直線CD垂直.

以上敘述正確的是()

【分析】在①中，若直線8E與直線CF共面，則點(diǎn)8,E,C,F,。五點(diǎn)共面，由已知

得B在平面DCE外，從而直線BE與直線CF必不在同一平面上;

在②中，當(dāng)BE_LCE時(shí)，BE必同時(shí)垂直4E,但AE與BE不垂直，從而不存在點(diǎn)E使得

直線BE_L平面DCE-,

在③中，當(dāng)E是8c中點(diǎn)，且F為8。中點(diǎn)時(shí)，直線CF與平面84E平行；

在④中，C。與平面BCE不垂直，從而不存在點(diǎn)E使得直線BE與直線C。垂直.

【解答】解：在①中，若直線8E與直線CF共面，則點(diǎn)8,E,C,F,。五點(diǎn)共面,

由已知得B在平面DCE外，

所以直線BE與直線CF必不在同一平面上，故①正確；

在②中，若存在點(diǎn)E使得直線平面。CE,

貝|JBE_LCE,且BE_LC￡>,

因?yàn)槠矫嫫矫鍭ECD,平面8AEC平面AECD=^AE,

所以當(dāng)BE_LCE時(shí)，BE必同時(shí)垂直AE,

由于AE與BE不垂直，

所以不存在點(diǎn)E使得直線平面DCE,故②錯(cuò)誤；

在③中，當(dāng)E是8c中點(diǎn)，且尸為BO中點(diǎn)時(shí)，直線CF與平面BAE平行，故③正確；

在④中，因?yàn)镹AEB是銳角，ZDCE=90°,

所以CD與平面BCE不垂直，

所以不存在點(diǎn)E使得直線8E，C￡>,故④錯(cuò)誤，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.（5分）在三棱錐A-BCQ中，AB=BC=CD=DA=S，BD=20二面角A-8。-

C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2.則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是()

A.12nB.&4TC.13TTD.顯■TT

34

【分析】取30的中點(diǎn)K,連結(jié)AK,CK,得到/4KC為二面角A-8O-C的平面角，V

^XxlAKXCKXsinZA7CCXBD^2,進(jìn)而求得NAKC=120°,數(shù)形結(jié)合，得到外接

32

球半徑即可.

【解答】解：取B。的中點(diǎn)K,連結(jié)AK,CK,由已知△ABO和△8CD是全等的等腰三

角形，所以AKJ_8O,CKLBD,

；./AKC為二面角A-B￡>-C的平面角，且BO_L平面AKC,AK=CK,

所以V=AxXA/TXCKXsinZAKCXBD=2,

32_

又A^=VAD2-KD2=2,故sin/AKC=零，

因?yàn)?AKC為鈍角，

所以NAKC=120°,

設(shè)△A8Z),△BCD的外接圓的圓心分別為M,N,

則M,N分別在AK,CK上且MK=NK,連結(jié)

由(2-AM)2+3=DM2,其中4M=DM,解得AM=工，同理CN=工，

44

所以MK=NK=上，

4

過M,N分別作平面ABD,平面BC。的垂線，兩垂線的交點(diǎn)O為四面體A8CO的外接

球的球心，

連結(jié)OK,則OK平分NAKC,:.NOKN=60°,

從而02返，OK=L

42

在RtZXONC中，02=退，CN=AM=1~,

44______

夕卜接球的半徑為oc=而俞=舟|=隼，

所以四面體ABCO外接球的表面積S=4nr2=4iTXJ^-=13ir,

4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積公式，考查三棱錐體積公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔偏

難題.

三、解答題

17.（12分）在①S"=〃2+〃+c；②如+紡=16且53+S5=42；③二史文=空工且57=56.

ann

這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S”，｛加｝是等比數(shù)列，,b\=a\,

2

（1）求數(shù)列｛的｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛工+為｝的前"項(xiàng)和.

%

S，n=l

【分析】（1）在選擇條件①的情況下根據(jù)公式劭=|1、代入初步計(jì)算即

瓜鼻1，

的表達(dá)式，并根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出c的值，即可計(jì)算出數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式：在

選擇條件②的情況下先根據(jù)題意設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于

首項(xiàng)m與公差d的方程組，解出小與d的值，即可推導(dǎo)出數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；在選擇

條件③的情況下先根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)運(yùn)用累乘法推導(dǎo)出數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式，然后根

據(jù)57=56計(jì)算出a\的值，進(jìn)一步可推導(dǎo)出數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式；

（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出等比數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步計(jì)算出工的表達(dá)

Sn

式，再運(yùn)用分組求和法、裂項(xiàng)相消法、以及等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出數(shù)列｛1-+為｝

的前〃項(xiàng)和.

【解答】解：（1）方案一：選擇條件①

由題意,當(dāng)〃=1時(shí),a\=S1=12+1+C=C+2,

當(dāng)"22時(shí)，an—Sn-Sn-]=l^+n+C-（77-1）2~-1）-0=2〃，

故42=2X2=4,43=2X3=6,

Ac+2+6=2X4,解得c=0,

=

an2nf.

方案二：選擇條件②

由題意，設(shè)等差數(shù)列僅,｝的公差為乩

a[+2d+aj+4d=16

則＜3X25X4，

3a[+2-d+5al+y~d=42

ai+3d=8

整理，得J,

8a1+13d=42

'a1=2

解得I1,

,d=2

=

**?Cln2z?J〃€N*.

方案三：選擇條件③

由題意，可得[2=2,氏=旦,，

al1a22an-ln-1

各項(xiàng)相乘，可得氏=2?旦?3_=小

at12n-1

**?Cln=HCl\,

故S7=ai+〃2+,+〃7

=m+2m+?+7〃i

=28ai,

:57=56,即28m=56,

/.an=2n,/iGN*.

(2)由(1),可知?dú)v=m=2,

歷=皿=綽=4,

22

設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,則勺=些=2,

bl

.?也=2?2'11=2",

X?/Sn=2n+n^n~^'2=n(”+l),

2

?-?1_1_^―1_1,

Snn(n+l)nn+1

；.數(shù)列｛4+尻｝的前n項(xiàng)和為：

Sn

(——+/?1)+(——+/72)+?+(1+加)

S1‘2Sn

=?+__!_)+(〃]+b2+?+加)

$1$2Sn

=(i-A+A-A+>+A-_L_)+(21+22+*+2/?)

223nn+1

1Q1QiH"1

=1-l+222

n+11-2

=2"+i1.

n+1

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求前〃項(xiàng)和問題.考查了方程思想，

轉(zhuǎn)化與化歸，累乘法求通項(xiàng)公式，分組求和法、裂項(xiàng)相消法求和問題，以及邏輯推理能

力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

18.(20分)如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.已知球的直

徑是6cm,圓柱筒長(zhǎng)2cm.

(1)這種“浮球”的體積是多少c/(結(jié)果精確到().1)?

(2)要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需

【分析】(1)根據(jù)圓柱筒的直徑，可得半球的半徑R=3c〃?，從而得到上下兩個(gè)半球的體

積之和，再由柱體體積公式算出圓柱筒的體積，相加即得該“浮球”的體積大小；

(2)由球的表面積公式和圓柱側(cè)面積公式，算出一個(gè)“浮球”的表面積S,進(jìn)而得到2500

個(gè)“浮球”的表面積，再根據(jù)每平方米需要涂膠100克，即可算出總共需要膠的質(zhì)量.

【解答】解：(1)???該“浮球”的圓柱筒直徑d=6cm,

?,?半球的直徑也是6cm,可得半徑R=3cm,

，兩個(gè)半球的體積之和為V球=/兀R3V兀,27=36兀。（2分）

而V圓柱=兀區(qū)2小=兀X9X2=]8?！?分）

.?.該“浮球”的體積是：V=V然+V網(wǎng)桂=36n+187T=54n七169.6c/…（4分）

（2）根據(jù)題意，上下兩個(gè)半球的表面積是

S球表=4冗R2=4X兀X9=36兀c病…（6分）

而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為：5砒惻=如的=2X7TX3X2=12FCW…（8分）

.--1個(gè)“浮球”的表面積為s=36兀+12兀兀川

104104

因此，2500個(gè)“浮球”的表面積的和為25005=2500兀=12兀川…（10分）

104

?.?每平方米需要涂膠100克，

總共需要膠的質(zhì)量為：100X12n=1200n（克）…（12分）

答：這種浮球的體積約為169.6c機(jī)3；供需膠1200n克.…（13分）

【點(diǎn)評(píng)】本題給出由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒接成的“浮球”，計(jì)算了它的表面積和體積，

著重考查了球、圓柱的表面積公式和體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

19.（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABC。-4B1C1O1中，DA=DC^2,DD1=百，E是CiDi的中

點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn).

（1）求證：￡4〃平面8。2；

（2）求證：平面8。尺L平面BCE；

（3）求二面角￡>-EB-C的正切值.

【分析】（1）連接AC交BO于。點(diǎn)，連接。兄欲證EA〃平面BDF,在平面8。尸內(nèi)尋

找一直線與直線E4平行即可，而。尸是△ACE的中位線，。尸〃AE,又AEC平面8DF,

OFu平面BDF,滿足定理?xiàng)l件；

（2）欲證平面8￡>F_L平面8CE,找線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知。平面

BCE,又DRz平面8。凡從而得到結(jié)論；

（3）由（2）知QF_L平面BCE,過F作尸G_LBE于G點(diǎn)，連接。G,則。G在平面BCE

中的射影為FG,則NQGF即為二面角。-EB-C的平面角，在三角形。GF中求出此角

的正切值即可.

【解答】解：（1）連接AC交8。于。點(diǎn)，連接OF,可得。尸是△ACE的中位線，OF

//AE,

又AEC平面BDF,OFu平面BDF,所以EA〃平面BDF（4分）；

（2）計(jì)算可得。E=OC=2,又F是CE的中點(diǎn)，所以。尸，CE

又BC_L平面。Q1C1,所以DFLBC,又BCCCE=C,所以。F_L平面BCE

又DFu平面8。尸，所以平面BQF_L平面BCE（理）（8分）；

（3）由（2）知。F_L平面8CE,過P作FG_L2E于G點(diǎn)，連接￡>G,則DG在平面8CE

中的射影為FG,從而DGLBE,所以/OGF即為二面角。-EB-C的平面角，設(shè)其大

小為0,計(jì)算得DF=V^，F(xiàn)G平，tanS=*=^（12分）

5小

C5

【點(diǎn)評(píng)】考查線面平行的判定以及線面角的求法，利用線面垂直證線線垂直，求二面角，

本題考查的是立幾中的重點(diǎn)知識(shí)，基本技能.

20.（12分）如圖所示，圓錐的頂點(diǎn)為P,底面中心為O,母線PB=5,底面半徑OA與。8

的夾角為。，且。8=4.

（1）求該圓錐的表面積；

（2）求過頂點(diǎn)P的平面截該圓錐所得的截面面積的最大值；

(3)點(diǎn)E在線段OP上，且OE=1,是否存在0使得異面直線AE與PB所成角大小為

60°?若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，請(qǐng)求出。.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

【分析】(1)利用圓錐的表面積公式求直接解.

⑵設(shè)截面的頂角為a,則截面面積M=/x5X5sina=與sina，則當(dāng)a=90°

時(shí)，截面面積最大，從而求出最大值.

(3)取的靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)尸，連接EF,AF,由E尸〃P8可知NAEF或其補(bǔ)角

為異面直線AE與PB所成角，從而得到NAE尸=60°或120°,再利用余弦定理，即可

求出0的值.

【解答】解：(1)圓錐的表面積S=ITXPBXOB+PX082=201T+]6n=36n.

(2)過頂點(diǎn)尸的平面截該圓錐所得的截面為等腰三角形，腰長(zhǎng)為母線長(zhǎng)，即腰長(zhǎng)為5,

設(shè)截面的頂角為a,則截面面積5X5sina=-^1-sina，

易知軸截面△PCB為鈍角三角形，

...當(dāng)a=90°時(shí)，截面面積最大，最大值為空.

2

(3),；PB=5,OB=4,.,.PO=4PB2_0B2=3,

又；OE=1,...點(diǎn)E為PO的靠近點(diǎn)0的三等分點(diǎn)，

取。8的靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)凡連接EF,AF,如圖所示，

貝“。尸=母‘后尸=而識(shí)禧=￡,以￡=仙2或2=收，

?：EF//PB,：./AEF或其補(bǔ)角為異面直線AE與PB所成角

AZAEF=60°或120°,

①當(dāng)NAEF=60°時(shí)，在△AEF中，

由余弦定理可得AF2=AE2+EF2-2AE?EF?cos60°=17-殳反，

93

在△AO尸中，由余弦定理得coseiQA、蟲I2二32一=8U工,

20A-0F3216

.".Q-actcos__?_）,

3216

②當(dāng)NAEF=120°時(shí)，在△AEF中，

由余弦定理可得AF2=AE1+EF2-2A￡?EF?COS120°=17+^+員叵，

93

在AA。尸中，由余弦定理得8$。=述@句已=且立1_,

_20A-0F3216

/.0=Tt-arccos（）,

3216_

綜上所述，存在。使得