熱力學統(tǒng)計物理期末復習試題

PAGE4一.填空題1.設(shè)一多元復相系有個相，每相有個組元，組元之間不起化學反應。此系統(tǒng)平衡時必同時滿足條件：、、2.熱力學第三定律的兩種表述分別叫做：能特斯定律和。3.假定一系統(tǒng)僅由兩個全同玻色粒子組成，粒子可能的量子態(tài)有4種。則系統(tǒng)可能的微觀態(tài)數(shù)為：10。4.且且5玻色分布表為；費米分布表為；玻耳茲曼分布表為。當滿足條件時，玻色分布和費米分布均過渡到玻耳茲曼分布6熱力學系統(tǒng)的四個狀態(tài)量所滿足的麥克斯韋關(guān)系為,,,。7.玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，內(nèi)能統(tǒng)計表達式為廣義力統(tǒng)計表達式為，熵的統(tǒng)計表達式為自由能的統(tǒng)計表達式為。8.單元開系的內(nèi)能、自由能、焓和吉布斯函數(shù)所滿足的全微分是：，，，。9.均勻開系的克勞修斯方程組包含如下四個微分方程：，，，等溫等容條件下系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著方向進行，當自由能減小到極小值時，系統(tǒng)達到平衡態(tài)；處在等溫等壓條件下的系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著吉布斯函數(shù)減小的方向進行，當吉布斯函數(shù)減小到極小值時，系統(tǒng)達到平衡態(tài)。11.對于含N個分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運動對熱容量無貢獻；溫度大大于振動特征溫度時，；溫度小小于轉(zhuǎn)動特征溫度時，。溫度大大于轉(zhuǎn)動特征溫度而小小于動特征溫度時，。12.玻耳茲曼系統(tǒng)的特點是：系統(tǒng)由全同可分辨粒子組成；粒子運動狀態(tài)用來描寫；確定每個粒子的量子態(tài)即可確定系統(tǒng)的微觀態(tài)；粒子所處的狀態(tài)不受泡利不相容原子的約束。13準靜態(tài)過程是指過程進行中的每一個中間態(tài)均可視為平衡態(tài)的過程；無摩擦準靜態(tài)過程的特點是外界對系綜的作用力，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。14.絕熱過程是指，系統(tǒng)狀態(tài)的改變，完全是機械或電磁作用的結(jié)果，而沒有受到其他任何影響的過程。在絕熱過程中，外界對系統(tǒng)所做的功與具體的過程無關(guān)，僅由初終兩態(tài)決定。二．簡述題1.寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的自由能的改變均大于零。即。2.寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個處在溫度和壓強不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即。3.寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵判據(jù)。一個處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的熵變均小于零。即4.玻爾茲曼關(guān)系與熵的統(tǒng)計解釋。由波耳茲曼關(guān)系可知，系統(tǒng)熵的大小反映出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所具有的可能的微觀狀態(tài)的多少。而可能的微觀狀態(tài)的多少，反映出在該宏觀平衡態(tài)下系統(tǒng)的混亂度的大小。故，熵是系統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量度。5.為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對熱容量沒有貢獻？6.為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動對熱容量貢獻可以忽略？因為雙原子分子的振動特征溫度，在常溫或低溫下，振子通過熱運動獲得能量從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對熱容量的貢獻可以忽略。能量均分定理。對于處在平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當系統(tǒng)的溫度為T時，粒子能量的表達式中的每一個獨立平方項的平均值為。8等概率原理。對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。系統(tǒng)的基本熱力學函數(shù)有哪些？什么叫特性函數(shù)？什么叫自然參量。基本熱力學函數(shù)有：物態(tài)方程，內(nèi)能，熵。特性函數(shù)：適當選擇獨立變量，只要知道一個熱力學函數(shù)就可以求偏導數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)確定，這個熱力學函數(shù)稱為特性函數(shù)。11試說明，在應用經(jīng)典理論的能量均分定理求理想氣體的熱容量時，出現(xiàn)哪些與實驗不符的結(jié)論或無法解釋的問題（至少例舉三項）？（B）滿足非簡并條件的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)（C）滿足弱簡并性條件的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)（D）非定域體系統(tǒng)10.和分別是雙原子分子的振動特征溫度和轉(zhuǎn)動特征溫度，下面說法正確的是（A）時，振動自由度完全“解凍”，但轉(zhuǎn)動自由度仍被“凍結(jié)”。（B）時，轉(zhuǎn)動自由度完全“解凍”，但振動自由度仍被“凍結(jié)”（C）時，振動自由度和轉(zhuǎn)動自由度均完全“解凍”。（D）時，振動自由度和轉(zhuǎn)動自由度均完全“解凍”。11.氣體的非簡并條件是D（A）分子平均動能遠遠大于（B）分子平均距離極大于它的尺度（C）分子數(shù)密度遠遠小于1（D）分子平均距離遠大于分子德布羅意波的平均熱波長12.不考慮粒子自旋，在邊長L的正方形區(qū)域內(nèi)運動的二維自由粒子，其中動量的大小處在范圍的粒子可能的量子態(tài)數(shù)為B（A）（B）（C）（D）五.推導與證明1.試用麥克斯韋關(guān)系，導出方程，假定可視為常量，由此導出理想氣體的絕熱過程方程（常量）。解：∵，∴由麥氏關(guān)系，絕熱過程，理想氣體，積分得（常量）∵，故：，即：（常量）2.證明:證明：選T,V為獨立變量，則而，故3.證明焓態(tài)方程：。證：選T、p作為狀態(tài)參量時，有（1）（2）而，（3）（2）代入（3）得：（4）比較（1）、（4）得：（5）（6）將麥氏關(guān)系代入（6），即得4.導出含有N個原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達式：，解：按愛因斯坦假設(shè)，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為：∵∴引入愛因斯坦特征溫度：，即得：5.導出愛因斯坦固體的熵表達式：解：設(shè)固體系統(tǒng)含有N個原子，按愛因斯坦假設(shè)，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為：6.證明，對于一維自由粒子，在長度內(nèi)，能量在~的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應關(guān)系，對于一維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。因此，在長度內(nèi)，動量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而，，故，在長度內(nèi)，能量在~范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。7.證明:①②①證明：，由全微分條件得：②證明：由，令得：8.解：在體積V內(nèi)，動量在范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為又所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：9.對于給定系統(tǒng)，若已知，，求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。解：設(shè)物態(tài)方程為，則（1）∵∴（2）將和代入（2）得（3）將和（3）代入（1）得積分得：，即：11.已知氣體系統(tǒng)通常滿足經(jīng)典極限條件且粒子動量和能量準連續(xù)變化，采用量子統(tǒng)計方法導出單原子分子理想氣體的內(nèi)能。解：氣體系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布，粒子配分函數(shù)為（對所有量子態(tài)s求和）當粒子能量準連續(xù)變化時，上述對量子態(tài)求和可用空間積分替代。因為，在6維空間中，，，，，，范圍內(nèi)的粒子，其可能的量子態(tài)數(shù)為且，粒子的能量為：。所以即，而由內(nèi)能的統(tǒng)計表達式，得：12.證明:證：（1）∵（2）（2）代入（1）（3）將麥氏關(guān)系：代入（3）得13.證明，理想氣體的摩爾自由能為：證明：選T,V為獨立變量，則理想氣體的物態(tài)方程為：，，故:，14.證明，對于二維自由粒子，在面積內(nèi)，能量在~范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應關(guān)系，對于二維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。因此，在面積內(nèi)，動量大小在范圍內(nèi)粒子的可能