高考數(shù)學(xué)理科人教通用版核心講練大一輪復(fù)習(xí)課時(shí)分層提升練十六導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)分層提升練十六導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用……30分鐘60分一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)f(x)=lnx13x3+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【解析】選C.因?yàn)閒′(x)=1xx2=0?x=1,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)∈-∞,23;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)∈-∞,2.以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑作半圓,則它的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 ()【解析】選C.如圖,CDEF為半圓O的內(nèi)接矩形,C、D為圓上的動(dòng)點(diǎn),連接OC,設(shè)∠COF=α,則CF=5sinα,OF=5cosα,所以S矩形CDEF=2×5cosα·5sinα=25sin2α0<α所以S矩形CDEF的最大值為25.3.若函數(shù)f(x)=xlnxa有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.-1e,C.-1e,【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),由f(x)=xlnxa=0,得xlnx=a,設(shè)g(x)=xlnx,則g′(x)=lnx+1,由g′(x)=lnx+1>0,得x>1e,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,由g′(x)=lnx+1<0,得0<x<1e,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.即當(dāng)x=1e時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值,g1e=1eln1e=1e4.某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù):y1=17x2,生產(chǎn)成本y2(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù):y2=2x3x2(x>0),為使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn) ()千臺(tái) 千臺(tái) 千臺(tái) 千臺(tái)【解析】選A.設(shè)利潤(rùn)為y,則y=y1y2=17x2(2x3x2)=18x22x3,y′=36x6x2,令y′=0得x=6或x=0(舍),f(x)在(0,6)上是增函數(shù),在(6,+∞)上是減函數(shù),所以x=6時(shí)y取得最大值.5.(2020·遵義模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x(2lnx1)ax+a,其中a>0,若僅存在兩個(gè)正整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是 ()ln22≤a<3ln33ln22<a≤3ln33C.a>4ln22≤3ln33【解析】選B.令f(x)=0,得x(2lnx1)=axa,令h(x)=x(2lnx1),g(x)=axa=a(x1),則h′(x)=2lnx+1,令h′(x)=0,解得:x=1e,故x∈(0,1e)時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減,x∈1e,+∞時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增,故h(x)min=h1eh(2)<g(2二、填空題(每小題5分,共15分)6.橫梁的強(qiáng)度和它的矩形橫斷面的寬成正比,并和矩形橫斷面的高的平方成正比,要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁,則橫斷面的高和寬分別為_(kāi)_______、________.

【解析】如圖所示,設(shè)矩形橫斷面的寬為x,高為y,由題意,知當(dāng)xy2取最大值時(shí),橫梁的強(qiáng)度最大.因?yàn)閥2=d2x2,所以xy2=x(d2x2)(0<x<d).令f(x)=x(d2x2)(0<x<d),求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=d23x2.令f′(x)=0,解得x=33d,或x=3當(dāng)0<x<33當(dāng)33因此,當(dāng)x=33綜上,當(dāng)矩形橫斷面的高為63d,寬為3答案:63d37.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本:C(x)=1200+275x3,又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元,總利潤(rùn)最大時(shí),產(chǎn)量應(yīng)定為_(kāi)_______【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元,又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,即a2x=k,由題知k=250000,則a2x=250000,所以a=500x總利潤(rùn)y=500x275x31y′=250x225x2,由y′=0,當(dāng)x∈(0,25)時(shí),y′>0,當(dāng)x∈(25,+∞)時(shí),y′<0,所以當(dāng)x=25時(shí),y取得最大值.答案:25件8.用一張16cm×10cm的長(zhǎng)方形紙片,經(jīng)過(guò)折疊以后,糊成了一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形紙盒,這個(gè)紙盒的最大容積是____________cm3.

【解析】設(shè)剪下的四個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x,則經(jīng)過(guò)折疊以后,糊成的長(zhǎng)方體形紙盒的底面是長(zhǎng)為162x,寬為102x的長(zhǎng)方形,其面積為(162x)(102x).長(zhǎng)方體的高為x,體積為V(x)=(162x)(102x)·x=4x352x2+160x(0<x<5),V′(x)=12(x2)x-203.由V′(x)>0,得函數(shù)V(x)=4x352x2+160x(0<x<5)在(0,2)上遞增;由V′(x)<0,得函數(shù)V(x)=4x352x2+160x(0<x<5)在(2,5)上遞減,所以這個(gè)紙盒的最大容積是V(x)max=V(2)=144答案:144三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=12x2aln(1)若a=2,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程.(2)若f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】(1)由已知得f′(x)=xax當(dāng)a=2時(shí),有f′(1)=12=1,f(1)=12所以在(1,f(1))處的切線方程為:y12化簡(jiǎn)得2x+2y3=0.(2)由(1)知,f′(x)=(x因?yàn)閍>0且x>0,令f′(x)=0,得x=a.所以當(dāng)x∈(0,a)時(shí),有f′(x)<0,則(0,a)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),有f′(x)>0,則(a,+∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.若f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),只需f(1)>0,f所以當(dāng)e<a<e22時(shí),f(x)在區(qū)間(1,e)10.某集團(tuán)為了獲得更大的收益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷(xiāo).經(jīng)調(diào)查,每投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元),可增加銷(xiāo)售額約為t2+5t(百萬(wàn)元)(0≤t≤5).(1)若該公司將當(dāng)年廣告費(fèi)的投入控制在3百萬(wàn)元之內(nèi),則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi),才能使該公司由此獲得的收益最大?(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元,分別用于廣告促銷(xiāo)和技術(shù)改造.經(jīng)預(yù)測(cè),每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元),可增加的銷(xiāo)售額約為13x3+x2+3x(百萬(wàn)元).請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案,使該公司由此獲得的收益最大.(注:收益=銷(xiāo)售額投入資金【解析】(1)設(shè)投入t(百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬(wàn)元),則有f(t)=(t2+5t)t=t2+4t=(t2)2+4(0≤t≤3).故當(dāng)t=2(百萬(wàn)元)時(shí),f(t)取得最大值4百萬(wàn)元,即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí),該公司由此獲得的收益最大.(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元),則用于廣告促銷(xiāo)的資金為(3x)(百萬(wàn)元)(0≤x≤3),又設(shè)由此而獲得的收益是g(x),則有g(shù)(x)=(13x3+x2+3x)+[(3x)2+5(3x)]3=13x3+4x+3(0≤x所以g′(x)=x2+4.令g′(x)=0,解得x=2(舍去)或x=2.又當(dāng)0≤x<2時(shí),g′(x)>0;當(dāng)2<x≤3時(shí),g′(x)<0,故g(x)在[0,2)上是增函數(shù),在(2,3]上是減函數(shù).所以當(dāng)x=2時(shí),g(x)取得最大值,即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造,1百萬(wàn)元用于廣告促銷(xiāo)時(shí),該公司由此獲得的收益最大.……20分鐘40分1.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=x22exlnxx+a(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若函數(shù)f(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)aA.0,e2C.e2-1【解析】選D.令f(x)=x22exlnx則a=x2+2ex+lnx設(shè)h(x)=x2+2ex+lnx令h1(x)=x2+2ex,h2(x)=lnx所以h′2(x)=1-lnxx2.發(fā)現(xiàn)函數(shù)h1(x),h2(x)在(0,e)上都是單調(diào)遞增的,在[e,+∞)上都是單調(diào)遞減的,所以函數(shù)h(x)=x2+2ex+lnxx在(0,e)上單調(diào)遞增,在[e,+∞)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=e時(shí),得h(x)max=e2+1e,所以函數(shù)f(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)需滿(mǎn)足a≤h(x)max,2.(5分)已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上,另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y=4x2在x軸上方的曲線上,則這種矩形中面積最大的矩形的長(zhǎng)和寬分別為 ()A.2,233 B.8C.83,2 D.4,【解析】選B.設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為(x,y),其中0<x<2,y>0,則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為(x,y),在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為(x,0),(x,0).設(shè)矩形的面積為S,則S=2x(4x2)(0<x<2),則S′=86x2.令S′=0,得x=233或x=23當(dāng)0<x<233時(shí),S′>0;當(dāng)233<x<2時(shí),S′<0.因此,當(dāng)x=233時(shí),S取得極大值,也就是最大值,此時(shí),2x=433,4x2=833.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是 ()A.(2,+∞) B.(∞,2)C.(1,+∞) D.(∞,1)【解析】選B.(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=3x2+1,顯然有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意.(2)當(dāng)a>0時(shí),由于f′(x)=3ax26x=3x(ax2),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得在(∞,0)和2a,+∞上函數(shù)單調(diào)遞增,在0,2(3)當(dāng)a<0時(shí),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在-∞,2a和(0,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞減,在2a,0上函數(shù)單調(diào)遞增,要使得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為正,則滿(mǎn)足f2a>0,即有a×2a33×2a2+1>0,則有a綜合可得a<2.4.(5分)(2020·遂寧模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+3,g(x)=x3x2,若?x1,x2∈13,2,f(x1)g(x2)≥0,A.[4,+∞) B.[3,+∞)C.[2,+∞) D.[1,+∞)【解析】選D.由題意,對(duì)于?x1,x2∈13,2,f(x1)g(x2)≥0,可得f(x)在13,2上的最小值不小于g(x)在13,2上的最大值,由g(x)=x3x2,則g′(x)=3x22x=3xx-23,可得當(dāng)x∈13,23時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈23,令h(x)=xx2lnx,x∈13,2,則h′(x)=12xlnxx,令p(x)=12xlnxx,則p′當(dāng)x∈13,2即h′(x)在13所以h′(x)在13所以h(x)在13所以h(x)在135.(10分)(2020·安順模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x(1)求f(x)的最小值.(2)對(duì)任意x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)證明:對(duì)一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx>1ex2【解析】(1)f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0得x=1e當(dāng)x∈0,當(dāng)x∈1e所以函數(shù)f(x)的最小值為f1e=1(2)問(wèn)題等價(jià)于a≤2xlnx+x2+3x=2則a≤[t(x)]min,因?yàn)閠′(x)=2x+13x2令t′(x)=0得x=1或x=3(舍),當(dāng)x∈(0,1)時(shí)t′(x)<0,函數(shù)t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)t′(x)>0,函數(shù)t(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;所以[t(x)]min=t(1)=4.即a≤4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(∞,4].(3)問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx>xex由(1)知f(x)=xlnx的最小值f1e=1設(shè)φ(x)=xex2e令φ′(x)=0得x=1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)φ′(x)>0,函數(shù)φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)φ′(x)<0,函數(shù)φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;所以[φ(x)]max=φ(1)=1e因此xlnx≥1e≥xe因?yàn)閮蓚€(gè)等號(hào)不能同時(shí)取得,所以xlnx>xex即對(duì)一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx>1ex6.(10分)(2019·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)=excosx,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)x∈π4,π2時(shí),證明(3)設(shè)xn為函數(shù)u(x)=f(x)1在區(qū)間2nπ+π4,2nπ+π2內(nèi)的零點(diǎn),其中n【解析】(1)由已知,有f′(x)=ex(cosxsinx).因此,當(dāng)x∈2kπ+π4有sinx>cosx,得f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈2kπ-3π4,2kπ+得f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-3π4,2(2)記h(x)=f(x)+g(x)π2依題意及(1),有g(shù)(x)=ex(cosxsinx),從而g′(x)=2exsinx.當(dāng)