高數(shù)多元積分學(xué)

多元積分學(xué)1.定義給定二元函數(shù)z=f(x,y)，其定義域?yàn)橛薪玳]區(qū)域D。將D分成n個(gè)小區(qū)域：，第k個(gè)小區(qū)域面積仍記為，，計(jì)算和式

，其中如果，上極限存在，稱為f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，即。其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，D叫做積分區(qū)域，為面積微元。2.二重積分性質(zhì)

(1)(2)若，且的面積為0，則(3)(4)

的面積(5)若(6)積分中值定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使的面積?！纠?】就，計(jì)算積分中值定理中的，其中D為單位圓：所圍區(qū)域。解：根據(jù)積分幾何意義，原積分值為，由此可得應(yīng)滿足，即亦即。

3.二重積分計(jì)算設(shè)D：則有積分公式設(shè)D：則有積分公式以上為所謂化重積分為累次積分公式。abcdyy【例2】設(shè)，化重積分為累次積分。（1）D為x=0,x=a,y=0,y=b所圍矩形區(qū)域；（2）D為連接點(diǎn)(0,0),(a,0),(0,b)的三角形區(qū)域；（3）D為橢圓所圍在第一象限部分。

【例3】改變二次積分次序，已知（1）01xy（2）01-11【例4】計(jì)算二重積分

（1）（答案：）（2）（答案：）xy【例5】證明空間平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍體積。證明：

abcxyz【例6】計(jì)算由四個(gè)平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的體積。解：所求體積為?！纠?

】求由平面x=0,y=0,x+y=1所圍的空間柱體被平面z=0及拋物面截得的體積。解：所求體積為。

二重積分的變量替換法假設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且變換是一對(duì)一的，則有二重積分變量替換公式：其中，是一對(duì)一的。4.二重積分的極坐標(biāo)變量替換下計(jì)算在二重積分計(jì)算中，同樣也有換元積分問(wèn)題?？紤]將直角坐標(biāo)下的積分化為極坐標(biāo)下的積分的變換：積分就化為

【例1】化直角坐標(biāo)下積分為極坐標(biāo)下積分，設(shè)：1.2.3.4.答案：1.2.3.4.【例2】計(jì)算積分。解：作變換：積分化為?！纠?】計(jì)算的內(nèi)部。解：作極坐標(biāo)變換，積分化為5.二重積分簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例1】證明概率積分：證明：顯然，積分是存在的，于是原積分

，設(shè)D：

則又由前面例知，所以，……(2)平面圖形面積

【例2】求在圓內(nèi)及圓外面積A。解：先求交點(diǎn)，處

。于是，所求面積為(3)空間體體積【例3】求球面與柱面

所圍立體體積。解：所求體積為【例4】設(shè)一形如的容器，開始盛有液體，現(xiàn)又倒進(jìn)的液體，問(wèn)液面高度上升多少？解：首先將體積寫成高度的函數(shù)，設(shè)高度為h，則體積為其中，于是

（答案：12cm）

曲面面積

設(shè)空間曲面S的方程為，D為S在oxy面上的投影（定義域），并假定函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則有S的曲面面積A積分公式：【例5】計(jì)算半徑為R的球的表面積。解：球面的方程可寫為，其中

位于oxy面上方的部分方程為其定義域?yàn)?，于是所求面積為應(yīng)用極坐標(biāo)變換，積分化為

曲線積分一.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一型曲線積分）1.定義：設(shè)C為平面上一條光滑曲線，函數(shù)f(x,y)在C上連續(xù)，用點(diǎn)將C分成n個(gè)小弧段，第k個(gè)小弧段為，其長(zhǎng)度為，做和。若極限存在，稱其值為函數(shù)f(x,y)在曲線C上的第一型曲線積分，記為，即

關(guān)于上述定義作下說(shuō)明：(1)第一型曲線積分與（積分路線）方向無(wú)關(guān)。(2)所謂光滑指曲線有連續(xù)的切線。按照積分可加性，C為分段光滑即可。2.第一型曲線積分性質(zhì)

(1)(2)(3)若，則

的長(zhǎng)度，其中M為|f(x,y)|在C上的最大值。3.第一型曲線積分計(jì)算方法（1）若曲線C：，則有公式（2）若曲線C：，則有公式

【例1】計(jì)算，其中C為自點(diǎn)(0,0)至(1,1)解：按公式積分=【例2】計(jì)算，其中曲線C:從t=0到的弧段解：按公式積分

=【例3】計(jì)算，其中C為圓周，直線y=x及x軸在第一象限中所圍成的圖形邊界。解：由積分可加性，原積分分為三個(gè)積分的和，其中在直線y=x上，為

；在圓周上，為；

在x軸上

，為，故原積分等于yx

二.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二型曲線積分）1.定義：設(shè)C為平面上一條有向光滑曲線，函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在C上連續(xù)，用點(diǎn)將C分成n個(gè)小弧段，第k個(gè)小弧，做。若，存在，稱其值為函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在曲線C上的第二型曲線積分，記為2.第二型曲線積分性質(zhì)(1)第二型曲線積分與（積分路線）方向有關(guān)。即其中表示C的反向。閉合路徑規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎颉?2)若，則3.第二型曲線積分計(jì)算方法（1）若曲線C：，則有公式其中對(duì)應(yīng)C的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)C的終點(diǎn)。（2）若曲線C：，則有公式【例4】其中(1)單位圓從A(1,0)到B(0,1)段；(2)上半圓周從A(1,0)到C(-1,0)

，方向逆時(shí)針，在從C

沿直線到A。解：（1）令，，積分化為（2）

格林公式及其應(yīng)用定理

設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有其中L是D的正向邊界。上公式稱為格林公式。證明分單連通區(qū)域及多連通區(qū)域兩種情景加以說(shuō)明。

格林公式應(yīng)用由L所圍區(qū)域D的面積A計(jì)算公式：【例1】求橢圓所圍圖形面積。解：【例2】設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線，證明【例3】計(jì)算積分，其中L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，方向逆時(shí)針。解：令，。則有因此，按格林公式原積分

第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理設(shè)區(qū)域D是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則積分與路徑