北京市西城區(qū)第中學(xué)屆高三上學(xué)期月月考數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高三數(shù)學(xué)理科12月考試卷一、選擇題（本大題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出,的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目是要求的一項(xiàng)）1。集合，,那么“”是“"的（）．A。充分而不必要條件B。必要而不充分條件C。充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵集合，，∴，∴“”是“"的充分而不必要條件．選．2。已知是定義在上的奇函數(shù)，則的值為(）．A。B。C.D.【答案】B【解析】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，解得,且，∴．選．3。已知，為兩條直線，，為兩個(gè)平面，給定下列四個(gè)命題:①,；②,;③,;④，．其中不正確的是（)．A.個(gè)B。個(gè)C。個(gè)D。個(gè)【答案】D【解析】對(duì)于①，若，，則或，故①錯(cuò)誤;對(duì)于②，若，，則或，故②錯(cuò)誤;對(duì)于③，若，，則或，故③錯(cuò)誤;對(duì)于④，若，，則或,故④錯(cuò)誤．綜上不正確的有個(gè)．選．4。已知點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到軸的距離相等，則的值為（)．A。B。C。D.【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)P到W的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)P到x軸的距離相等，所以點(diǎn)是拋物線通徑的一個(gè)端點(diǎn)，所以，故選B?？键c(diǎn)：拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì);【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；中檔題;拋物線是一種重要的圓錐曲線,在高考中，經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離問題。5.已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是(）．A.B。C.D?！敬鸢浮緼【解析】∵函數(shù)的最小正周期為，∴，∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，∴，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減，∵，,，又,∴,即．選．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)，判斷函數(shù)值大小的關(guān)鍵是如何將變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，在得到函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上,將問題的重點(diǎn)轉(zhuǎn)化為如何尋找一個(gè)合適的單調(diào)區(qū)間，在解題中得到,后,將問題轉(zhuǎn)化到區(qū)間上處理即可。6。平面向量與的夾角為,,，則（）．A.B。C.D?！敬鸢浮緾【解析】∵與的夾角為，，，∴，∴．選．7.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，，可以是（)．A。B。C。D?！敬鸢浮緿【解析】∵,,,，∴．選項(xiàng)中，的零點(diǎn)為,不滿足；選項(xiàng)中，函數(shù)的零點(diǎn)為，不滿足；選項(xiàng)C中，函數(shù)的零點(diǎn)為，不滿足；選項(xiàng)D中，函數(shù)的零點(diǎn)為,滿足．選．點(diǎn)睛：（1）通過分析題意可發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)不易求出,因此根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷出其零點(diǎn)所在的區(qū)間,然后通過求出所給選項(xiàng)中各函數(shù)的零點(diǎn)后進(jìn)行比較后得出結(jié)論。（2）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件。另外定理只是給出了零點(diǎn)的存在性，而沒有給出具體的求零點(diǎn)的方法,也沒有給出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，具體問題還需要通過函數(shù)的圖象去判斷。8.已知正方形的棱長為，，分別是邊，的中點(diǎn),點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面與棱交于點(diǎn)，設(shè)，平行四邊形的面積為,設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)的解析式為（）．A.B.C。D.【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意，因?yàn)槠矫嫫矫?直線平面，所以平面,且平面，平面平面,所以，所以，四邊形為平行四邊形，同時(shí)，所以四邊形為菱形，其面積是：,所以，答案為A．考點(diǎn)：1．線面平行的性質(zhì)定理；2．菱形的面積公式．二、填空題（本大題共6小題,每小題5分,共30分．把答案填在答題紙相應(yīng)位置的橫線上．）9。一個(gè)幾何圖的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】根據(jù)三視圖可得到幾何體的直觀圖,如圖所示。所以該幾何體為直四棱柱,且底面為直角梯形（梯形上底為1，下底為2，高為1），高為1?！嘣搸缀误w的體積。答案：10。已知直線不通過第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________．【答案】【解析】由題意得直線恒過定點(diǎn)，且斜率為，∵直線不通過第一象限，∴,解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案:11.橢圓一個(gè)長軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，以為直角頂點(diǎn)做一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，則此直角三角形的面積等于__________．【答案】【解析】由題意得A是直角頂點(diǎn)，所以直角邊的斜率是1和。不妨設(shè)A是，一條直角邊所在直線為,該直線與橢圓交點(diǎn)為C。由，解得或（舍去）?！嘀本€和橢圓交點(diǎn)是?！唷４鸢福?2。復(fù)數(shù)，，則實(shí)部的最大值__________，虛部的最大值__________．【答案】（1).（2)?！窘馕觥俊?,∴，∴的實(shí)部為,∴實(shí)部的最大值為，的虛部為，∴虛部的最大值為．13.、兩地街道如圖所示，某人要從地前往地，則路最短的走法有__________種．【答案】10【解析】根據(jù)題意，從地前往地需要走次，其中向上走次,向右走次,故從次中選次向右，剩下次向上即可，因此有種不同的走法．答案：1014.若對(duì)任意，有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，則稱為關(guān)于,的二元函數(shù)，現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的為關(guān)于實(shí)數(shù)，的廣義“距離”．(）非負(fù)性：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（)對(duì)稱性：；()三角形不等式：對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立．給出三個(gè)二元函數(shù)：①;②；③，則所有能夠成為關(guān)于,的廣義“距離"的序號(hào)為__________．【答案】①【解析】對(duì)于①，由于,故滿足非負(fù)性;又，故滿足對(duì)稱性；另外，故滿足三角形不等式。所以①能夠成為關(guān)于，的廣義“距離”．對(duì)于②,不妨設(shè)，則有，此時(shí)有，而，故不成立，所以不滿足三角形不等式，故②不能成為關(guān)于，的廣義“距離"．對(duì)于③，由于時(shí)，無意義，故③不能成為關(guān)于，的廣義“距離”．綜上①符合題意．答案：①點(diǎn)睛：（1）此類問題考查學(xué)生的閱讀理解和應(yīng)用新知識(shí)解決問題的能力,解答此類問題的關(guān)鍵是讀懂題意，并從中選取解決問題所需的知識(shí)和方法.（2)判斷某個(gè)命題是否成立時(shí)，可以通過推理進(jìn)行判斷；有時(shí)在不容易進(jìn)行推理的時(shí)候，可通過舉反例的方法進(jìn)行排除。三、解答題（本大題共6小題，共80分）15.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、．角，．（）求角的值．(）若，求邊、、的值．【答案】（）（)，,．【解析】試題分析：（1）由并結(jié)合正弦定理得，又，故得，從而．（2）及數(shù)量積的定義得，由正弦定理得，結(jié)合及余弦定理得到，解得，從而，．試題解析:（）由正弦定理及條件得，∵，∴，∴，又，∴．（)∵，，∴，∴，由正弦定理得，故,∴，又。在中，由余弦定理得，整理得∴,∴,．故.16.學(xué)校高一年級(jí)開設(shè)、、、、五門選修課，每位同學(xué)須彼此獨(dú)立地選三課程,其中甲同學(xué)必選課程，不選課程，另從其余課程中隨機(jī)任選兩門課程．乙、丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機(jī)任選三門課程．(Ⅰ）求甲同學(xué)選中課程且乙同學(xué)未選中課程的概率．(Ⅱ)用表示甲、乙、丙選中課程的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ)見解析【解析】試題分析：（Ⅰ)首先求得甲同學(xué)選中課程的概率和乙同學(xué)選中課程的概率，進(jìn)而求得甲選中而乙未選中的概率為;（Ⅱ）丙同學(xué)選中課程的概率為,進(jìn)而得到的可能取值為：，進(jìn)而求得各自的概率,得到其分布列和期望．試題解析：（Ⅰ）設(shè)事件為“甲同學(xué)選中課程”,事件為“乙同學(xué)選中課程”．則，．因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以甲同學(xué)選中課程且乙同學(xué)未選中課程的概率為．（Ⅱ）設(shè)事件為“丙同學(xué)選中課程”．則．的可能取值為：．．．．．為分布列為：

．考點(diǎn):1．相互獨(dú)立事件的概率;2．事件的分布列和期望．17。如圖，在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,，，，分別為，的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，求證：平面．（Ⅲ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等,求的值．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析(Ⅲ）【解析】試題分析:(1）在平行四邊形中，由條件可得，進(jìn)而可得.由側(cè)面底面,得底面，故得,所以可證得平面．（2)先證明平面平面,由面面平行的性質(zhì)可得平面．（3)建立空間直角坐標(biāo)系，通過求出平面的法向量，根據(jù)線面角的向量公式可得。試題解析：(1)證明：在平行四邊形中，∵，，，∴,∴，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∵側(cè)面底面,且，∴底面,又底面，∴，又，平面，平面，∴平面．(2）證明：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，又平面，平面,∴平面，同理平面，又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面．(3）解：由底面，，可得，，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，,，，，，所以，，，設(shè),則,∴，，易得平面的法向量，設(shè)平面的法向量為,則:由，得,令，得，∵直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等,∴，即，∴，解得或（舍去），故．點(diǎn)睛:用向量法確定空間中點(diǎn)的位置的方法根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由條件確定有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用共線向量用參數(shù)（參數(shù)的范圍要事先確定）確定出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的運(yùn)算得到平面的法向量或直線的方向向量，根據(jù)所給的線面角(或二面角）的大小進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)而求得參數(shù)的值，通過與事先確定的參數(shù)的范圍進(jìn)行比較，來判斷參數(shù)的值是否符合題意，進(jìn)而得出點(diǎn)是否存在的結(jié)論。18。已知常數(shù)，向量，經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線交于點(diǎn)，其中．（）求點(diǎn)的軌跡方程,并指出軌跡．（）若點(diǎn),當(dāng)時(shí)，為軌跡上任意一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（），軌跡見解析(）【解析】試題分析：（1)由題意求得直線的方程，消去參數(shù)可得點(diǎn)的軌跡方程為，通過對(duì)的討論可得軌跡可能為圓、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.（2）當(dāng)時(shí),軌跡的方程為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可得,故當(dāng)時(shí),取得最小值。試題解析:（）由題意得，∴直線的方程為：①，又，∴直線的方程為：②,由①，②消去參數(shù)得,整理得，故點(diǎn)的軌跡方程為．當(dāng)時(shí),軌跡是以為圓心，半徑為的圓;當(dāng)時(shí),軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．（）當(dāng)時(shí)，軌跡的方程為，∵為軌跡是任意一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)，則∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．點(diǎn)睛:求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y)中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫參數(shù)法，如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可，解題時(shí)注意選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響．19。已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（Ⅱ）當(dāng)時(shí),若曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求的取值范圍．【答案】（Ⅰ)(Ⅱ）【解析】試題分析：(1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可。（2)將問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)時(shí)，不等式恒成立。構(gòu)造函數(shù)設(shè)，,只需證明即可。因此將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值即可。學(xué)％科%網(wǎng)。..學(xué)％科%網(wǎng)。.。學(xué)％科％網(wǎng)...學(xué)%科%網(wǎng)...學(xué)%科％網(wǎng)。.。學(xué)％科%網(wǎng)..。學(xué)％科％網(wǎng).。.學(xué)%科%網(wǎng)。.。學(xué)%科％網(wǎng).。。學(xué)％科％網(wǎng).。.試題解析:（1)當(dāng)時(shí),，，∴,∴，又,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）“當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),"等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，恒成立。"設(shè)，，則，①當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞減,故，根據(jù)題意有，解得.②當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減?！撸嗖环项}意．③當(dāng)，即時(shí)，注意到,顯然不合題意．綜上所述,實(shí)數(shù)．20。已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心離為,點(diǎn)滿足條件．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，記和的面積分別為、，求證：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ)解:因?yàn)闄E圓C的方程為,根據(jù)橢圓的性質(zhì)和數(shù)據(jù)建立方程即可求出結(jié)果；（