北京西城8中高三上學(xué)期月月考數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)12月練習(xí)一、選擇題（本大題共8道小題，每小題5分，共40分）1．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)(）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，所以．故選．2．當(dāng)向量，時(shí),執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】時(shí)，，時(shí),,時(shí)，,時(shí)，，時(shí)，,此時(shí)，所以輸出．故選．3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則的值為(）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，且，∴,，∴，,，．故選．4．””是"”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，則，∴單調(diào)遞增,且，∴“”是""的必要條件．故選．5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為（)．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，∴，設(shè)，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，∵，又,∴由,則，即，解得，∴的面積為．故選．6．如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若函數(shù)（，且）及(，且）的圖象與線段分別交于點(diǎn)，，且，恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，滿足()．A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象可以知道，函數(shù)均為減函數(shù),所以，，∵點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn),∴直線為，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn),則它的反函數(shù)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又∵（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:，∴．故選．7．已知若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（)．A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得函數(shù)的圖象和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，,如圖所示,故．故選．8．已知點(diǎn)在曲線上,⊙過(guò)原點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，若線段，⊙和曲線上分別存在點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)，使得四邊形（點(diǎn)，,，順時(shí)針排列)是正方形,則稱點(diǎn)為曲線的“完美點(diǎn)”．那么下列結(jié)論中正確的是（）．A．曲線上不存在”完美點(diǎn)”B．曲線上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于C．曲線上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于且小于D．曲線上存在兩個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)均大于【答案】B【解析】如圖，如果點(diǎn)為“完美點(diǎn)"則有，以為圓心，為半徑作圓（如圖中虛線圓）交軸于,（可重合），交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在圓上總存在點(diǎn),使得為的角平分線，即，利用余弦定理可求得此時(shí)，即四邊形是正方形，即點(diǎn)為“完美點(diǎn)”，如圖，結(jié)合圖象可知，點(diǎn)一定是上方的交點(diǎn)，否則在拋物線上不存在使得,也一定是上方的點(diǎn)，否則,，,，不是順時(shí)針，再考慮當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)越來(lái)越大時(shí)，的變化情況：設(shè),當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓與軸相離，此時(shí)點(diǎn)不是“完美點(diǎn)"，故只需要考慮，當(dāng)增加時(shí),越來(lái)越小，且趨近于，而當(dāng)時(shí),；故曲線上存在唯一一個(gè)“完美點(diǎn)"其橫坐標(biāo)大于．故選．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則__________．【答案】【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，∵其中一條漸近線的傾斜是，∴，故．10．在中,角，，的對(duì)邊分別為，,．若，，，則__________，__________．【答案】；【解析】∵，由正弦定理可得：，∴，，∴．11．已知直線，．若，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】若，則，且，解得．12．若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題意，可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為,如圖所示，要使直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則．13．如圖，線段，點(diǎn)，分別在軸和軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，以為一邊,在第一象限內(nèi)作矩形，．設(shè)為原點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】令,則，，，，∴，∵,∴的取值范圍是．14．對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（)下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有__________．① ②③ ④()若函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】（）①②④（)或【解析】(）在時(shí)，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)，①令,即，∵，方程有一個(gè)非實(shí)根,故具有性質(zhì)．②的圖象與有交點(diǎn)，故有解，故具有性質(zhì)．③令，此方程無(wú)解，故，不具有性質(zhì)．④的圖象與的圖象有交點(diǎn)，故有解，故具有性質(zhì)．綜上所述，具有性質(zhì)的函數(shù)有:①②④．(）具有性質(zhì)，顯然，方程有根，∵的值域?yàn)椋?，解得或．三、解答題共6小題,共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．15．（本小題滿分分）函數(shù)的部分圖象如圖所示．(Ⅰ）寫出及圖中的值．（Ⅱ)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴，又,∴，由，得或，,又的周期為，結(jié)合圖象知，∴．（Ⅱ）由題意可得，∴,∵,∴，∴當(dāng),即時(shí),取得最大值，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．16．（本小題滿分分）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊局，每局射擊次，射擊命中目標(biāo)得分,未命中目標(biāo)得分，兩人局的得分情況如下：甲乙（Ⅰ）若從甲的局比賽中，隨機(jī)選取局,求這局的得分恰好相等的概率．(Ⅱ）如果,從甲、乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局，記這局的得分和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）在局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同,且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出的所有可能取值．(結(jié)論不要求證明）【答案】見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ)由已知可得從甲的局的比賽中，隨機(jī)選取局的情況有種，得分恰好相等的有種，所以這局的得分恰好相等的概率為．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的可能取值有，，，，所以，，，，所以的分布列為：．（Ⅲ）的可能值為，，．17．（本小題滿分分）如圖，在四棱錐中,底面,底面為梯形，,，且，．（Ⅰ）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面．（Ⅱ）求二面角的大小．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在,求出的長(zhǎng)；若不存在,說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】(Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)作，交于，連結(jié)，如圖所示,∵,∴，又，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面,平面,∴平面．(Ⅱ)解：∵梯形中，,，∴,∵平面，∴，，∴如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為,∵，，∴，即，令得，同理可得，∴，∵二面角為銳角，∴二面角為．（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，∴，∵,∴,解得,∴上存在點(diǎn)使得,且．18．（本小題滿分分）已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．（Ⅰ)若為的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅱ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．（Ⅲ)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析【解析】(Ⅰ）,∵為的極值點(diǎn)，∴，．（Ⅱ）∵，，當(dāng)，即時(shí)，,,此時(shí),在上單調(diào)增,當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，時(shí)，,故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，，,此時(shí)，在上單調(diào)遞減．（Ⅲ)當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增,∴的最小值為，∴,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,∴的最小值為,∵，∴,，∴,∴．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴的最小值為，∵,，∴，綜上可得：．19．（本小題滿分分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)為，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程．（Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為時(shí),求的面積．(Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得經(jīng)，為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ)由已知，橢圓方程可設(shè)為,∵兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為，∴,,故所求橢圓方程為．（Ⅱ）右焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，,由得,，解得，，∴．（Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形建菱形，因?yàn)橹本€與軸不垂直，所以設(shè)直線的方程為，由可得：,∴，，，，，其中，以、為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴，即，∴，∴，化簡(jiǎn)得,∴，∴．20．(本小題滿分分）設(shè)函數(shù)，為曲線在點(diǎn)處的切線．（Ⅰ)求的方程．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方．（Ⅲ)設(shè)，,，且滿足，求的最大值．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（Ⅰ），∴，∴的方程為，即．（Ⅱ）要證除切點(diǎn)之